2017-2018学年广东省中山市第一中学高二下学期第三次统测（期末模拟）数学（文）试题-解析版

2017-2018学年广东省中山市第一中学高二下学期第三次统测（期末模拟）数学（文）试题-解析版

绝密★启用前 广东省中山市第一中学2017-2018学年高二下学期第三次统测（期末模拟）数学（文）试题 注意事项：‎ ‎1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 ‎2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题）‎ 请点击修改第I卷的文字说明 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．已知命题p：∃x∈R，x2﹣x﹣2≥0，那么命题¬p为（ ）‎ A．∃x∈R，x2﹣x﹣2≤0 ‎ B．∃x∈R，x2﹣x﹣2＜0‎ C．∀x∈R，x2﹣x﹣2≤0 ‎ D．∀x∈R，x2﹣x﹣2＜0‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：根据特称命题的否定是全称命题进行判断即可．‎ 解：命题是特称命题，则命题的否定是：∀x∈R，x2﹣x﹣2＜0，‎ 故选：D 考点：命题的否定．‎ ‎2．已知复数（其中，是虚数单位），则的值为（ ）‎ A． B． C．0 D．2‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：‎ ‎∴，‎ 由复数相等的条件可得 故选C．‎ 考点：1．复数的乘除运算；2．复数相等的充要条件．‎ ‎3．已知过点的双曲线的离心率为，则该双曲线的实轴长为 A. 2 B. C. 4 D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：由题意得，所以实轴长为所以选A.‎ 考点：双曲线离心率 ‎【方法点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，建立关于a，b，c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.‎ ‎4．用反证法证明“若x+y≤0则x≤0或y≤0”时，应假设（ ）‎ A. x＞0或y＞0 B. x＞0且y＞0 C. xy＞0 D. x+y＜0‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：假设结论的反面成立，注意“或”与“且”转换．‎ 详解：“x≤0或y≤0”的反面是“且”．‎ 故选B．‎ 点睛：本题考查反证法，实际上用反证法证明时，涉及到命题的否定，结论的反面要注意“或”与“且”转换，存在量词与全称量词的互相转换．‎ ‎5．已知条件p:，条件q：直线与圆相切，则p是q的（）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充分必要 D. 既不充分也不必要 ‎【答案】C ‎【解析】分析：利用直线与圆相切的充要条件求出命题中的范围，由集合的关系可得．‎ 详解：命题为真时，，解得，∴是的充要条件．‎ 点睛：在判断充分必要条件时，可根据集合间的包含关系得出结论：‎ 命题为真对应集合，命题为真对应集合，则：‎ ‎ 是的充分条件， 是的必要条件， 是的充要条件，是的真子集是的充分不必要条件．是的真子集是的必要不充分条件．‎ ‎6．函数在点处的切线方程是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：求出导数，得切线斜率，可写出切线方程：．‎ 详解：由题意，则，又，所以所求切线方程为．‎ 故选C．‎ 点睛：函数的图象在点处的切线方程为，要注意与函数的图象过点的切线的区别与联系，求过点的切线方程，一般设切点坐标为，写出切线方程，利用它过点，代入有，由此求出切点横坐标，得切线方程，此时切线可能多于一条．‎ ‎7．已知x与y之间的一组数据：‎ x ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ y ‎1‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎7‎ 则y与x的线性回归方程为必过点（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：求出，得结论．‎ 详解：由已知，，即回归直线必过点，故选B．‎ 点睛：回归直线未必过样本数据点，但必过平衡点．‎ ‎8．是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：根据是的必要不充分条件，可得是解集的子集，根据包含关系列不等式求解即可.‎ 详解：因为是的必要不充分条件，‎ 所以是解集的子集，‎ 所以解集只能是，‎ 可得，即实数的取值范围是，故选C.‎ 点睛：本题主要考查一元二次不等式的解法，充分条件与必要条件,集合的子集，意在考查学生综合应用所学知识解决问题的能力.‎ ‎9．若函数在 上是减函数，则 的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：在上是减函数等价于在上恒成立，利用分离参数求解即可.‎ 详解：因为在上是减函数，‎ 所以在上恒成立，‎ 即，即，‎ ‎，故选A.‎ 点睛：本题主要考查“分离参数”在解题中的应用、函数的定义域及利用单调性求参数的范围，属于中档题. 利用单调性求参数的范围的常见方法：① 视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数需注意若函数在区间上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的; ② 利用导数转化为不等式或恒成立问题求参数范围.‎ ‎10．设椭圆的焦点为, ，‎ 若，则该椭圆离心率取得最小值时的椭圆方程为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：，由可得的不等式，从而求得的最小值，即离心率最小．‎ 详解：，由得，∴，即．∴的最小值为1，即离心率最小时，，∴椭圆方程为，‎ 故选A．‎ 点睛：本题考查求椭圆标准方程，目标明确，而离心率最小，由于是确定的，因此只要最小，由已知可得关于的不等关系，从而易求得解．‎ ‎11．若命题“∃x0∈R，x＋(a－1)x0＋1<0”是真命题，则实数a的取值范围是(　　)‎ A. [－1,3] B. (－1,3)‎ C. (－∞，－1]∪[3，＋∞) D. (－∞，－1)∪(3，＋∞)‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：命题说明二次函数的最小值小于0．借助判别式易于求解．‎ 详解：即函数的最小值小于0，‎ ‎∴，解得或．‎ 故选D．‎ 点睛：本题考查存在性命题为真时的等价转换，解题关键是理解题意，实质上是二次函数的最小值小于0，解题时要注意“存在”与“任意”的区别．‎ 命题“对任意，成立”等价于“”．‎ ‎12．抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形，阿基米德三角形有一些有趣的性质，如:若抛物线的弦过焦点，则过弦的端点的两条切线的交点在其准线上.设抛物线 ＞，弦AB过焦点，△ABQ为其阿基米德三角形，则△ABQ的面积的最小值为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：设，设直线方程与抛物线方程联立可求得焦点弦的性质，设切线方程分别与抛物线方程联立可求得两切线的斜率之间的的关系，得两切线相互垂直，从而知，因此有，当最小时，三角形面积最小．‎ 详解：如图所示，设，则，‎ 设直线，联立，‎ 化为，‎ ‎∴，．‎ 设过点的切线为，‎ 由得，‎ ‎∵直线为切线，‎ ‎∴，化简得，‎ 同理设过点的切线斜率为，可得，‎ ‎∴，∴，∴，即两切线垂直，是直角三角形．‎ ‎∴，当且仅当为通径时等号成立．‎ ‎，‎ ‎∴当最小时，最小．即的最小值为．‎ 故选B．‎ 点睛：本题难点在于一是不能通过联立方程组通过三角形三边所在直线的斜率关系得出其为直角三角形，二是不知抛物线的过焦点的弦中通径最短，三是不会灵活应用基本不等式求得不等关系从而得最小值．‎ 第II卷（非选择题）‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．已知cos=, coscos=,coscoscos=……‎ 根据以上等式，可猜想出一般性的结论是________________．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】试题分析：观察前三个等式两边的特点，总结其一般规律可得到一般结论 考点：类比推理 ‎14．执行如图所示的算法流程图，则输出的值为__________．‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】由流程图得函数 ‎ 结束循环,输出4‎ 点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.‎ ‎15．甲、乙、丙三位教师分别在一中、二中、三中三所中学里教不同的学科语文，数学,英语,已知:‎ ‎①甲不在一中工作,乙不在二中工作;‎ ‎②在一中工作的教师不教英语学科；‎ ‎③在二中工作的教师教语文学科；‎ ‎④乙不教数学学科.‎ 可以判断乙工作地方和教的学科分别是________，_________．‎ ‎【答案】 三中. 英语.‎ ‎【解析】分析：可从其中一个命题出发逐一推导，遇到可能有不同结论时分类讨论，注意大前提的保证．‎ 详解：甲不在一中，则甲在二中或三中，若甲在二中，则只能　教语文，由④乙教英语，再由②乙只有在三中；若甲在三中，则由①乙只能在一中，丙在二中，由②④乙教语文，但由③丙教语文，矛盾，∴乙教英语且在三中．‎ 点睛：本题考查推理问题，我们常用的推理有合情和演绎推理，其中合情推理包含归纳类比推理两种．‎ ‎    ⑴合情推理:归纳推理和类比推理都是根据已有事实,经过观察、分析、比较、联想,在进行归纳、类比,然后提出猜想的推理,我们把它们称为合情推理。     ①归纳推理:由某类食物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者有个别事实概括出一般结论的推理,称为归纳推理,简称归纳。     注:归纳推理是由部分到整体,由个别到一般的推理。     ②类比推理:由两类对象具有类似和其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理,称为类比推理,简称类比。     注:类比推理是特殊到特殊的推理。     ⑵演绎推理:从一般的原理出发,推出某个特殊情况下的结论,这种推理叫演绎推理。     注:演绎推理是由一般到特殊的推理。     "三段论"是演绎推理的一般模式,包括:⑴大前提---------已知的一般结论;⑵小前提---------所研究的特殊情况;⑶结  论---------根据一般原理,对特殊情况得出的判断 ‎16．设，当取得极大值，当取得极小值，则的取值范围是 ．‎ ‎【答案】．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：因为，所以，因为函数 在区间取得极大值，在取得极小值，所以在和内各有一根，即满足：，即，在直角坐标系中，画出其表示的区域，如下图所示．‎ 表示点与可行域内的点的连线的斜率．当点时，取得最大值，且为1但不等取得等号；当点时，取得最小值，且为但不等取得等号；故应填．‎ 考点：1、导数在研究函数的极值中的应用；2、简单的线性规划．‎ ‎【易错点晴】本题综合考查了导数在研究函数的极值中的应用和简单的线性规划问题，渗透了数形结合的思想，重点考查学生对学科内知识的综合应用能力，属中高档题．解答该题过程中最容易出现以下错误：其一是未能准确运用导数求解函数极值问题，导致错误的出现；其二是不能运用二次函数图像分析二次函数的根的分布问题，从而导致错误的出现；其三是不能有机的将问题转化为简单的线性规划问题，导致思维受阻．‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．已知函数，其中t∈R.‎ ‎(1)当t＝1时，求曲线在点处的切线方程；‎ ‎(2)当t≠0时，求的单调区间．‎ ‎【答案】(1) y＝－6x.‎ ‎(2)见解析.‎ ‎【解析】分析：（1）求出导数，得到切线斜率，然后可得切线方程；‎ ‎（2）求出导函数，由得或，按和的大小分类讨论后可得的正负及单调区间．‎ 详解： (1)当t＝1时，f(x)＝4x3＋3x2－6x，f(0)＝0，f′(x)＝12x2＋6x－6，f′(0)＝－6.‎ 所以曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝－6x.‎ ‎(2) f′(x)＝12x2＋6tx－6t2. 令f′(x)＝0，解得x＝－t或x＝.‎ 因为t≠0，所以分两种情况讨论：‎ ‎①若t<0，则<－t.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：‎ x ‎(－t，＋∞)‎ f′(x)‎ ‎＋‎ ‎－‎ ‎＋‎ f(x)‎ ‎↗‎ ‎↘‎ ‎↗‎ 所以f(x)的单调递增区间是，(－t，＋∞)；f(x)的单调递减区间是.‎ ‎②若t>0，则－t<.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：‎ x ‎(－∞，－t)‎ f′(x)‎ ‎＋‎ ‎－‎ ‎＋‎ f(x)‎ ‎↗‎ ‎↘‎ ‎↗‎ 所以f(x)的单调递增区间是(－∞，－t)，；f(x)的单调递减区间是.‎ 点睛：求单调区间，一般先求出导函数，然后解不等式得增区间，解不等式得减区间，注意对中两根的大小比较或有根无根的讨论等，本题求单调区间可通过列表说明． ‎ ‎18．设，，且.‎ 证明：(1) ；‎ ‎(2) 与不可能同时成立．‎ ‎【答案】(1)见解析.‎ ‎(2)见解析.‎ ‎【解析】试题分析：本题考查基本不等式和反证法,结合转化思想证明不等式,意在考查考生对基本不等式的掌握和反证法的应用.‎ ‎(i)构造基本不等式求出代数式的最值,直接证明不等式成立;(ii)直接证明较难,假设两个不等式同时成立,利用(i)的结论,得出矛盾,则假设不成立.‎ 试题解析：‎ 由,,得. ------2分 ‎(1)由基本不等式及,有,即------6分 ‎(2)假设与同时成立, ------7分 则由及a>0得0

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