数学文卷·2018届福建省厦门市湖滨中学高二下学期期中考试（2017-04）

数学文卷·2018届福建省厦门市湖滨中学高二下学期期中考试（2017-04）

厦门市湖滨中学2016---2017学年第二学期期中考 高二数学（文科）试卷 ‎ 2017年4月 ‎ 命题人： 马中明 ‎ ‎ 审核人：_____________‎ 一、选择题（每题5分）‎ ‎1.在复平面内对应的点在第四象限，则实数的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎2.用反证法证明命题：“若为不全相等的实数，且，则至少有一个负数”，假设原命题不成立的内容是（　　）‎ ‎ A.都大于0 B．都是非负数 ‎ C．至多两个负数 D．至多一个负数 ‎3.已知函数，则等于（ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎4.在两个变量与的回归模型中，选择了4个不同模型，其中拟合效果最好的模型是（ ）‎ ‎ A.相关指数为的模型 B. 相关指数为的模型 ‎ ‎ C. 相关指数为的模型 D. 相关指数为的模型 ‎ ‎5.给出演绎推理的“三段论”：‎ 直线平行于平面，则平行于平面内所有的直线；(大前提)‎ 已知直线∥平面，直线平面；(小前提)‎ 则直线∥直线.(结论)‎ 那么这个推理是(　　)‎ A．大前提错误 B．小前提错误 C．推理形式错误 D．正确的 ‎6.下表是某厂1～4月份用水量(单位：百吨)的一组数据：‎ 月份x ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ 用水量y ‎4.5‎ ‎4‎ ‎3‎ ‎2.5‎ 由散点图可知，用水量y与月份x之间有较好的线性相关关系，其线性回归直线方程 是＝－0.7x＋a，则a等于(　　)‎ A．10.5　　 　 B．5.15　 　‎ ‎7.设函数f(x)＝＋lnx，则(　　) ‎ C．5.2　　　 D．5.25‎ ‎ A．x＝为f(x)的极大值点 B．x＝为f(x)的极小值点 ‎ C．x＝2为f(x)的极大值点 D．x＝2为f(x)的极小值点 ‎8.已知函数的部分图像如图，则的解析式可能为（ ）‎ ‎ A. B. ‎ ‎ C. D. ‎ ‎9.将正整数按下表排列：‎ 第1列 第2列 第3列 第4列 第1行 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ 第2行 ‎8‎ ‎7‎ ‎6‎ ‎5‎ 第3行 ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 第4行 ‎16‎ ‎15‎ ‎14‎ ‎13‎ ‎....‎ ‎...‎ ‎...‎ ‎...‎ ‎...‎ ‎ ‎ 则101在（ ）‎ ‎ A. 第26行，第4列 B.第26行，第1列 C. 第25行，第4列 D. 第25行，第1列 ‎10.执行如图所示的程序框图,如果输入的t=0.01,则输出的n=　(　　)‎ A.5 B.6 C.7 D.8‎ ‎11.定义在上的函数，其导函数是，若，则下列结果一定正确的是（　　）‎ A. B. C. D.‎ ‎12.设函数，其中，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D.‎ 二、填空题（每题5分）‎ ‎13.i是虚数单位，复数满足，则的实部为______.‎ ‎14.有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3. 甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________.‎ ‎15.1854年，地质学家.劳夫特斯在森凯莱（古巴比伦地名）挖掘出两块泥板，其中一块泥板记着：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎......‎ 照此规律，= .（写成“”的形式）‎ ‎16.已知函数有且仅有三个极值点，则的取值范围是 .‎ 三、解答题 ‎17(10分)计算：‎ ‎(Ⅰ)；(Ⅱ)＋.‎ ‎18(12分).在某次电影展映活动中，展映的影片类型有科幻片和文艺片两种.统计数据显示,100名男性观众中选择科幻片的有60名，60名女性观众中选择文艺片的有40名.‎ ‎（Ⅰ）根据已知条件完成列联表：‎ 科幻片 文艺片 合计 男 女 合计 ‎（Ⅱ）判断能否在犯错误的概率不超过0.01的情况下认为“观影类型与性别有关”？‎ 随机变量（其中）‎ 临界值表 ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎19（12分）.已知函数 ‎（Ⅰ）若函数在点处的切线方程为，求的值；‎ ‎（Ⅱ）求函数的极值.‎ ‎20(12分).网购已成为当今消费者喜欢的购物方式，某机构对A、B、C、D四家同类运动服装网店的关注人数（千人）与其商品销售件数（百件）进行统计对比，得到表格：‎ 网店名称 A B C D x ‎3‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎7‎ y ‎11‎ ‎12‎ ‎20‎ ‎17‎ 由散点图得知，可以用回归直线方程来近似刻画它们之间的关系 ‎（Ⅰ）求y与x的回归直线方程；‎ ‎（Ⅱ）在（Ⅰ）的回归模型中，请用R2说明，销售件数的差异有多大程度是由关注人数引起的？（精确到0.01）‎ 参考公式：‎ ‎ ‎ 参考数据： ‎ ‎21（12分）.已知函数，其中.‎ ‎（Ⅰ）设是的导函数，求的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）证明：存在，使得在区间内恒成立，且在区间内有唯一解.‎ ‎22(12分).设函数f(x)＝ex－ax－2.‎ ‎（Ⅰ）讨论f(x)的单调性；‎ ‎（Ⅱ）若a＝1，k为整数，且当x>0时，(x－k)f′(x)＋x＋1>0，求k的最大值．‎ 湖滨中学2016—2017学年下学期高二文科数学期中考答案 一、选择题：‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 A B C A A D D B A C D D 二、 填空题：‎ ‎13. 1 14. 1和3 15. 16.‎ ‎12.解析：设g(x)=ex(2x-1),y=ax-a,由题意知存在唯一的整数x0,使得g(x0)在直线y=ax-a的下方.因为g′(x)= ex(2x+1),所以当x<-时,g′(x)<0,当x>-时,g′(x)>0,‎ 所以,当x=-时,[g(x)]min=-2.‎ 当x=0时,g(0)=-1,g(1)=e,直线y=ax-a恒过点(1,0),且斜率为a,故-a>g(0)=-1,‎ 且g(-1)=-3e-1≥-a-a,解得≤a<1.‎ ‎16解析：‎ ‎① 当时 ‎，此时在上不存在极值点，在上有且只有一个极值点，显然不成立 ‎② 当时 ‎ ‎ ‎ 若,则，对称轴，在上不存在极值点 ‎ 若，则，，‎ ‎ 令，（），则，即在上单调递增 ‎ ∴有且仅有1个零，即有且仅有一个零点，即只有一个极值点 ‎ 显然不成立 ‎③ 当时 ‎ 若，则，对称轴，在存在1个极值点 ‎ 若，则，‎ ‎ 令，（），则 ‎ 由可得，由可得 ‎ ∴在上单调递增，在上单调递减，则 ‎ 要让有2个极值点，须让有两个零点，即只须让 即，得 ‎ 综上 二、 解答题：‎ ‎17.解：(1)＝＝－1－3i.‎ ‎(2)＋＝＋ ‎＝＋＝－1.‎ ‎　18.解：‎ ‎（1）‎ 科幻片 文艺片 合计 男 ‎60‎ ‎40‎ ‎100‎ 女 ‎20‎ ‎40‎ ‎60‎ 合计 ‎80‎ ‎80‎ ‎160‎ ‎（2）假设观影类型与性别无关 由表中数据可得 ‎∴能在犯错误的概率不超过0.01的情况下认为“观影类型与性别有关”.‎ ‎19.解：（1）f′（x）=3x2﹣6x﹣9，‎ 根据题意，；‎ ‎∴x0=0，或2；‎ ‎∴①当x0=0时，f（x0）=﹣3；‎ ‎∴切线方程为y=﹣9x﹣3；‎ ‎∴b=﹣3；‎ ‎②当x0=2时，f（x0）=﹣25；‎ 切线方程为y=﹣9x﹣7；‎ ‎∴b=﹣7；‎ ‎（2）f′（x）=3（x﹣3）（x+1）；‎ ‎∴x＜﹣1时，f′（x）＞0，﹣1＜x＜3时，f′（x）＜0，x＞3时，f′（x）＞0；‎ ‎∴f（x）的极大值为f（﹣1）=2，f（x）的极小值为f（3）=﹣30．‎ ‎20.解：（1）由==5， ==15， xiyi=320， =110，‎ ‎===2，‎ ‎∴=15﹣2×5=5，‎ ‎∴线性回归方程为=2x+5；‎ ‎（2）（yi﹣）2=54，（yi﹣）2=14，‎ R2═1﹣=1﹣=0.74，‎ 说明销售件数的差异有74%程度是由关注人数引起的．‎ ‎21．解析：（1）由已知，函数的定义域为，‎ 所以 所以 当单调递减；‎ 当单调递增。‎ （2） ‎，由（1）得在上单调递增，且，，由零点存在定理知存在唯一的使得 ①.所以当 时，单调递减；当时，单调递增.又，所以满足在区间内有唯一解等价于：当时，即可.‎ 即，结合①式解得.‎ 令，显然单调递减，，，由零点存在定理知储存在使得，即成立.由①式可得，解得.从而结论得证.‎ ‎22.解：(1)f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝ex－a.‎ 若a≤0，则f′(x)>0，所以f(x)在(－∞，＋∞)单调递增．‎ 若a>0，则当x∈(－∞，lna)时，f′(x)<0；‎ 当x∈(lna，＋∞)时，f′(x)>0，‎ 所以，f(x)在(－∞，lna)单调递减，在(lna，＋∞)单调递增．‎ ‎(2)由于a＝1，所以(x－k)f′(x)＋x＋1＝(x－k)(ex－1)＋x＋1.‎ 故当x>0时，(x－k)f′(x)＋x＋1>0等价于 k<＋x　(x>0)．　　　　①‎ 令g(x)＝＋x，‎ 则g′(x)＝＋1＝.‎ 由(1)知，函数h(x)＝ex－x－2在(0，＋∞)单调递增．而h(1)<0，h(2)>0，所以h(x)在(0，＋∞)存在唯一的零点．故g′(x)在(0，＋∞)存在唯一的零点．设此零点为α，则α∈(1,2)．‎ 当x∈(0，α)时，g′(x)<0；当x∈(α，＋∞)时，g′(x)>0.所以g(x)在(0，＋∞)的最小值为g(α)．‎ 又由g′(α)＝0，可得eα＝α＋2，所以g(α)＝α＋1∈(2,3)．‎ 由于①式等价于k

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