广东省中山市中山纪念中学2019-2020学年高三年级上学期校内第一次质量检测试题--文科数学（含答案）

广东省中山市中山纪念中学2019-2020学年高三年级上学期校内第一次质量检测试题--文科数学（含答案）

中山纪念中学 2019-2020 学年高三校内第一次质量检测试题 文科数学 全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟． 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分. 在每小题给出的四个选 项中，只有一项符合题目要求。 1.设复数 1 1z i  ， 2 3 4z i  ，则 1 2z z 在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2.设集合 03 xA x x      ，  1B x y x    ，则 A B  （ ） A.  3 1x x    B.  3 1x x    C.  1x x   D.  3x x   3.已知函数 (2 +1) 3 2f x x  ，则 (5)f ＝( ) A．8 B．5 C．17 D．11 4. 已知函数 ( )f x 是定义在 R 上的奇函数，当 ( ,0)x  时， 3 2( ) 2f x x x  ， 则 (3)f ＝（ ） A．9 B.-9 C.45 D.-45 5.下列叙述正确的是 A. 若 ,则 B. 方程 表示的曲线是椭圆 C. “ 香䁕 ”是“数列 a,b,c 为等比数列”的充要条件 D. 若命题 P： , 䁕 ,则 ¬ , 6.已知双曲线 2 2 2: 116 x yE m   的离心率为 5 4 ，则双曲线 E 的焦距为（ ） A.4 B.5 C.8 D.10 7.如果奇函数  f x 在区间  , 0a b b a  上是增函数，且最小值为 m ，那么 ( )f x 在区 间 ,b a  上是（ ） A.增函数且最小值为 m B.增函数且最大值为 m C.减函数且最小值为 m D.减函数且最大值为 m 8. 当 0 1a b   时，下列不等式中正确的是 （ ） A. (1 ) (1 )a ba b   B.(1 ) (1 )a ba b   C. 2)1()1( b b aa  D. bb aa )1()1( 1  9. 设 是三个不重合的平面， 是直线，给出下列命题， 若 ㌳ ㌳ ，则 ㌳ ； 若 上两点到 的距离相等，则 tt ； 若 ㌳ tt ，则 ㌳ ； 若 tt ， 且 tt ，则 tt ．其中正确的命题是 A. B. C. D. 10. 已知奇函数 的定义域为 R，若 为偶函数，且 ， 则 Ͳ ൅ A. B. C. 0 D. -1 11. 已知三棱锥 A BCD 的所有顶点都在球 O的球面上， AD  平面 ABC ， 90BAC   ， 2AD  ，若球 O的表面积为 29π ，则三棱锥 A BCD 的体积的最大值为（ ） A． 25 3 B． 25 2 C． 25 6 D． 25 4 12. 若函数 ( )f x = 香 香 䁕 且 ( )f x 在 R 上为增函数，则实数 a 的取值范围是 （ ） A. ∞ B. C. D. 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13.函数 2 1, 1 3( ) ( 4), 3 x xf x f x x        ，则 (9)f  ______． 14. 如图，直三棱柱的正（主）视图是边长为 2 的正方形，且俯 视图为一个等边三角形，则该三棱柱的左视图面积为__ ． 15. 抛物线 2 8y x 上一点  0 0,M x y 到其焦点的距离为 6 ，则 点 M 到坐标原点O 的距离为 . 16. 已知函数   2xf x e ax  ，对任意 1 0x  ， 2 0x  且 1 2x x ， 都有      2 1 2 1 0x x f x f x   ，则实数 a 的取值范围是 . 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17～21 题为必考 题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选做题，请考生在第 22、23 题中任选 一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 17.（本小题 12 分）如图，直三棱柱 1 1 1ABC A B C 的底面是边长为 2 的正三角形， ,E F 分 别是 1,BC CC 的中点。 （１）证明：平面 AEF  平面 1 1B BCC ； （２）若直线 1AC 与平面 1 1A ABB 所成的角为 45 ，求三棱锥 F AEC 的体积． 18. （本小题 12 分）经过多年的运作，“双十一”抢购活动已经演变成为整个电商行业的 大型集体促销盛宴．为迎接 2019 年“双十一”网购狂欢节，某厂商拟投入适当的广告费， 对网上所售产品进行促销．经调查测算，该促销产品在“双十一”的销售量 p 万件与促销 费用 x 万元满足 23 1p x    （其中 0 x a  ，a 为正常数）．已知生产该批产品 p 万件还 需投入成本10 2p 万元（不含促销费用），产品的销售价格定为( 204 p  )元/件，假定厂家 的生产能力完全能满足市场的销售需求． （Ⅰ）将该产品的利润 y 万元表示为促销费用 x 万元的函数； （Ⅱ）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？ 19. （本小题 12 分）如图，在三棱锥 ܣ 中，平面 ܣ ㌳ 平面 ܣ ， ܣ 为等边三 角形， ㌳ ܣ 且 ܣ ， ， 分别为 ܣ ， 的 中点． (1) 求证： ㌳ 平面 ܣ ； (2) 求直线 VC 和平面 VAB 所成角的正切值； (3) 求三棱锥 ܣ 的体积． 20. （本小题 12 分） 已知抛物线 2: 4C x y 和动直线 :l 1y kx  .直线l 交抛物线C 于 ,A B 两点，抛物线 C 在 ,A B 处的切线的交点为 N . ﹙1﹚当 3k  时,求以 AB 为直径的圆的方程; ﹙2﹚求 ABN 面积的最小值． 21. （本小题 12 分）已知函数 ( ) sin 1f x ax x   ， [0,π]x ． （1）若 1 2a  ，求 ( )f x 的最大值； （2）当 2 πa  时，求证： ( ) cos 0f x x  ． 第 22、23 题为选做题，请考生在第 22、23 题中任选一题作答。本小题满分 10 分，如果多做，则按所做的第一题计分。 22. 在平面直角坐标系 xOy 中，圆C 的圆心为 10, 2      ，半径为 1 2 ，现以原点为极点， x 轴 的正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求圆 C 的极坐标方程； （2）设 M ， N 是圆 C 上两个动点，满足 2π 3MON  ，求 OM ON 的最小值. 23. 已知函数   1 1f x x x m     ， m R ， （Ⅰ）若不等式   2f x m  恒成立，求实数 m 的取值范围； （Ⅱ）求不等式   2f x m  的解集. 附加题： 24. （本小题 10 分）对于函数 香 香 ，若存在实数 ，使 成立，则称 为 的不动点. （1）当 2, 2a b   时，求 的不动点； （2）若对于任何实数b ，函数 恒有两相异的不动点，求实数 a 的取值范围； （3）在（2）的条件下，若 的图象上 A、B 两点的横坐标是函数 的不动点，且 直线 香 是线段 AB 的垂直平分线，求实数 b 的最小值.