数学文卷·2018届湖南省长沙市铁路一中高三第一次阶段性考试（2017

数学文卷·2018届湖南省长沙市铁路一中高三第一次阶段性考试（2017

‎2018届长铁一中高三第一次阶段性测试试卷 文科数学 总分：150分 时量：120分钟 一、 选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1、已知集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎2、已知为虚数单位，复数，则复数在复平面内对应的点位于（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎3、已知命题。则下列命题是真命题的是 （ ）‎ A . B. C. D.‎ ‎4、设，则“”是“”的 ( )‎ A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎5、已知直线，．若，‎ 则实数的值是 ‎ A.或 B.或 C. D. ‎6、已知的图象在x=-1与x=1处的切线互相垂直，则a=( )‎ A.-1 B.0 C.1 D.2‎ ‎7、执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（）‎ ‎8、已知圆截直线所得线段的长度是，则圆与圆的位置关系是 ‎ A.内切 B.相交 C.外切 D.相离 ‎9、为了测量A、C两点间的距离，选取同一平面上的B、D两点，测出四边形ABCD各边的长度（单位：）：，，，，且与互补，则AC的长为（ ）。‎ ‎ A. 6 B. 7 C. 8 D. 9‎ ‎10、函数y=xsinx+cosx的图像大致是 （ ）‎ ‎11、有六名同学参加演讲比赛，编号分别为1，2，3，4，5，6，比赛结果设特等奖一名，四名同学对于谁获得特等奖进行预测. 说：不是1号就是2号获得特等奖；说:3号不可能获得特等奖；说: 4，5，6号不可能获得特等奖；说；能获得特等奖的是4，5，6号中的一个.公布的比赛结果表明，中只有一个判断正确.根据以上信息，获得特等奖的是（）号同学.‎ 号中的一个 ‎12、已知椭圆D：＋＝1(a>b>0)的长轴端点与焦点分别为双曲线E的焦点与实轴端点，若椭圆D与双曲线E的一个交点在直线y＝2x上，则椭圆D的离心率为(　　)‎ A.－1 B.－C. D. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分 ‎13、若直线与圆相切，则k的值是；‎ ‎14、以双曲线的左焦点为圆心，实轴长为半径的圆的标准方程为；‎ ‎15、如图所示，四面体中，，，，，则四面体的外接球的表面积为 ；‎ 16、 若对于任意的都有，则a的最大值为.‎ 17、 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17．（本小题满分10分）‎ 设等差数列的前n项和为,且,.‎ ‎(Ⅰ) 求数列的通项公式;‎ ‎(Ⅱ) 若数列满足，求的前n项和.‎ ‎18. （本小题满分12分）‎ 已知函数f（x）=2sinxcosx﹣cos2x，x∈R．‎ ‎（1）求函数f（x）的单调递增区间；‎ ‎（2）在△ABC中，内角A、B、C所对边的长分别是a、b、c，若f（A）=2，C=，c=2，求△ABC的面积S△ABC的值．‎ ‎19. （本小题满分12分）‎ 已知函数.‎ ‎（Ⅰ）若,求函数的单调递减区间；‎ ‎（Ⅱ）若，求函数在区间上的最大值；‎ ‎20. （本小题满分12分）‎ 如图，在底面是正方形的四棱锥中，面，交于点，‎ 是中点，为上一动点．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）确定点在线段上的位置，使//平面，并说明理由．‎ ‎（3）如果PA=AB=2，求三棱锥B-CDF的体积 ‎21.（本小题满分12分）‎ 已知椭圆的离心率为，以坐标原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程.‎ ‎（2）设点，、是椭圆上关于轴对称的任意两个不同的点，连接交椭圆于另一点,证明：直线与轴相交于定点。‎ ‎22. （本小题满分12分）‎ 已知函数 ，．‎ ‎（1）若，求 在 上的最大值；‎ ‎（2）若不等式 对所有的 ， 都成立，求 的取值范围．‎ ‎2018届长铁一中高三第一次阶段性考试试卷 文科数学 总分：150分时量：120分钟 一、 选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1、已知集合，，则（B）‎ A. B. C. D. ‎ ‎2、已知为虚数单位，复数，则复数在复平面内对应的点位于（ A ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎3、已知命题。则下列命题是真命题的是（A）‎ A . B. C. D.‎ ‎4、设，则“”是“”的 ( B )‎ A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎5、已知直线，．若，‎ 则实数的值是 (A)‎ A. 或 B.或 C. D. ‎6、已知的图象在x=-1与x=1处的切线互相垂直，则a=( A )‎ A.-1 B.0 C.1 D.2‎ ‎7、执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（B）‎ ‎8、已知圆截直线所得线段的长度是，则圆与圆的位置关系是(B)‎ ‎ A.内切 B.相交 C.外切 D.相离 ‎9、为了测量A、C两点间的距离，选取同一平面上的B、D两点，测出四边形ABCD各边的长度（单位：）：，，，，且与互补，则AC的长为（B ）。‎ ‎ A. 6 B. 7 C. 8 D. 9‎ ‎10.函数y=xsinx+cosx的图像大致是 (D)‎ ‎11、有六名同学参加演讲比赛，编号分别为1，2，3，4，5，6，比赛结果设特等奖一名，四名同学对于谁获得特等奖进行预测. 说：不是1号就是2号获得特等奖；说:3号不可能获得特等奖；说: 4，5，6号不可能获得特等奖；说；能获得特等奖的是4，5，6号中的一个.公布的比赛结果表明，中只有一个判断正确.根据以上信息，获得特等奖的是（C）号同学.‎ 号中的一个 ‎12、已知椭圆D：＋＝1(a>b>0)的长轴端点与焦点分别为双曲线E的焦点与实轴端点，若椭圆D与双曲线E的一个交点在直线y＝2x上，则椭圆D的离心率为(　B　)‎ A.－1B.－C.D. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13、若直线与圆相切，则k的值是；‎ ‎14、以双曲线的左焦点为圆心，实轴长为半径的圆的标准方程为；‎ ‎15、如图所示，四面体中，，，，，则四面体的外接球的表面积为25‎ ‎16、若对于任意的都有，则a的最大值为 1 .‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17．（本小题满分10分）‎ 设等差数列的前n项和为,且,.‎ ‎(Ⅰ) 求数列的通项公式;‎ ‎(Ⅱ) 若数列满足，求的前n项和.‎ ‎（1）解:由已知有, 则 ‎（2）, ‎ 则 ‎18. （本小题满分12分）‎ 已知函数f（x）=2sinxcosx﹣cos2x，x∈R．‎ ‎（1）求函数f（x）的单调递增区间；‎ ‎（2）在△ABC中，内角A、B、C所对边的长分别是a、b、c，若f（A）=2，C=，c=2，求△ABC的面积S△ABC的值．‎ 解：（1）∵f（x）=2sinxcosx﹣cos2x=sin2x﹣cos2x=2sin（2x﹣），‎ ‎∴令2k≤2x﹣≤2k，k∈Z可解得k≤x≤k，k∈Z，‎ 即有函数f（x）的单调递增区间为：[k，k]，k∈Z，‎ ‎（2）∵f（A）=2sin（2A﹣）=2，‎ ‎∴2A﹣=2k，k∈Z，即有A=k，k∈Z，‎ ‎∵角A为△ABC中的内角，有0＜A＜π，‎ ‎∴k=0时，A=，B=π﹣A﹣C=，‎ 故由正弦定理可得：，解得a=，‎ ‎∴S△ABC=acsinB=sin=．‎ ‎19. （本小题满分12分）‎ 已知函数.‎ ‎（Ⅰ）若,求函数的单调递减区间；‎ ‎（Ⅱ）若，求函数在区间上的最大值；‎ 解：（Ⅰ）当时，.‎ ‎，. ‎ ‎ 令.‎ ‎ 因为 ，‎ ‎ 所以 ‎ ‎ 所以 函数的单调递减区间是. ‎ ‎ （Ⅱ）,.‎ 令，由，解得，（舍去）. ‎ 当，即时，在区间上，函数是减函数.‎ 所以 函数在区间上的最大值为； ‎ 当，即时，在上变化时，的变化情况如下表 ‎+‎ ‎-‎ ‎↗‎ ‎↘‎ 所以 函数在区间上的最大值为.‎ 综上所述：当时，函数在区间上的最大值为；‎ 当时，函数在区间上的最大值为.‎ ‎20. （本小题满分12分）‎ 如图，在底面是正方形的四棱锥中，面，交于点，是中点，为上一动点．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）确定点在线段上的位置，使//平面，并说明理由．‎ ‎（3）如果PA=AB=2，求三棱锥B-CDF的体积 ‎⑴∵面，四边形是正方形，‎ 其对角线、交于点，∴，．2分∴平面，‎ ‎∵平面，∴ 4分 ‎⑵当为中点，即时，/平面，5分 理由如下：‎ 连结，由为中点，为中点，知6分 而平面，平面，‎ 故//平面．8分 ‎（3）三棱锥B-CDF的体积为.12分 ‎21.（本小题满分12分）‎ 已知椭圆的离心率为，以坐标原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程.‎ ‎（2）设点，、是椭圆上关于轴对称的任意两个不同的点，连接交椭圆于另一点,证明：直线与轴相交于定点。‎ 解：（1）以坐标原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆为 直线与圆相切，‎ 解得故椭圆的方程为.‎ ‎（2）由题意知直线的斜率存在，所以设直线的方程为，‎ 由，得，‎ 设点，，则，‎ ‎，①‎ 直线的方程为，令得，‎ 有，代入上式，整理得②‎ 将①式代入②式整理得，‎ 所以直线与轴相交于定点.‎ ‎22. （本小题满分12分）‎ 已知函数，．‎ ‎（1）若，求在上的最大值；‎ ‎（2）若不等式对所有的，都成立，求的取值范围．‎ ‎      （1）由（1）得，定义域为．‎ 此时．……4分 令，解得，令，得．‎ 所以在上单调递增，在上单调递减，‎ 所以在上的最大值为．‎ ‎3）若不等式对所有的，都成立，‎ 即对所有的，都成立，‎ 即对所有的，都成立，‎ 即对恒成立．‎ 即对恒成立，‎ 即大于或等于在区间的最大值．‎ 令，则，‎ 当时，，单调递增，所以，的最大值为，即．‎ 所以的取值范围为．‎