【数学】2018届一轮复习人教A版 古典概型 学案

【数学】2018届一轮复习人教A版 古典概型 学案

第5讲　古典概型 最新考纲　1.理解古典概型及其概率计算公式；2.会计算一些随机事件所包含的基本事件数及事件发生的概率.‎ 知 识 梳 理 ‎1.基本事件的特点 ‎(1)任何两个基本事件是互斥的.‎ ‎(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和.‎ ‎2.古典概型 具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型.‎ ‎(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个.‎ ‎(2)每个基本事件出现的可能性相等.‎ ‎3.如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是；如果某个事件A包括的结果有m个，那么事件A的概率P(A)＝.‎ ‎4.古典概型的概率公式 P(A)＝.‎ 诊 断 自 测 ‎1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)‎ ‎(1)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发芽与不发芽”.(　　)‎ ‎(2)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能事件.(　　)‎ ‎(3)从－3，－2，－1，0，1，2中任取一数，取到的数小于0与不小于0的可能性相同.(　　)‎ ‎(4)利用古典概型的概率可求“在边长为2的正方形内任取一点，这点到正方形中心距离小于或等于‎1”‎的概率.(　　)‎ 解析　对于(1)，发芽与不发芽不一定是等可能，所以(1)不正确；对于(2)，三个事件不是等可能，其中“一正一反”应包括正反与反正两个基本事件，所以(2)不正确；对于(4)，应利用几何概型求概率，所以(4)不正确.‎ 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)×‎ ‎2.(必修3P127例3改编)掷两颗均匀的骰子，则点数之和为5的概率等于(　　)‎ A. B. C. D. 解析　所有基本事件的个数为6×6＝36，点数之和为5的基本事件有(1，4)，(2，3)，(3，‎ ‎2)，(4，1)共4个，故所求概率为P＝＝.‎ 答案　B ‎3.(2016·北京卷)从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为(　　)‎ A. B. C. D. 解析　甲被选中的概率为P＝＝＝.‎ 答案　B ‎4.(2017·嘉兴一模)从3名男同学，2名女同学中任选2人参加知识竞赛，则选到的2名同学中至少有1名男同学的概率是________.‎ 解析　所求概率为P＝1－＝.‎ 答案　 ‎5.从1，2，3，4，5，6这6个数字中，任取2个数字相加，其和为奇数的概率是________.‎ 解析　和为奇数的两个数为一奇一偶，故所求概率为P＝＝＝.‎ 答案　 ‎6.(2017·金华十校联考)如果下了课后，教室里最后还剩下3位女同学，2位男同学，一会儿又走了一位女同学.如果没有两位同学一块儿走，则下一位是男同学走的可能性为________.‎ 解析　已知走了一位女同学，还剩下两位女同学和两位男同学，所有走的可能顺序为(女，女，男，男)，(女，男，女，男)，(女，男，男，女)，(男，男，女，女)，(男，女，男，女)，(男，女，女，男)一共6种.‎ 那么下一位是男同学的可能性只有(男，男，女，女)，(男，女，男，女)，(男，女，女，男)，故P＝＝，‎ ‎∴下一位是女同学走的可能性为1－＝.‎ 答案　 考点一　基本事件与古典概型的判断 ‎【例1】 袋中有大小相同的5个白球，3个黑球和3个红球，每球有一个区别于其他球的编号，从中摸出一个球.‎ ‎(1)有多少种不同的摸法？如果把每个球的编号看作一个基本事件建立概率模型，该模型是不是古典概型？‎ ‎(2)若按球的颜色为划分基本事件的依据，有多少个基本事件？以这些基本事件建立概率模型，该模型是不是古典概型？‎ 解　(1)由于共有11个球，且每个球有不同的编号，故共有11种不同的摸法.‎ 又因为所有球大小相同，因此每个球被摸中的可能性相等，‎ 故以球的编号为基本事件的概率模型为古典概型.‎ ‎(2)由于11个球共有3种颜色，因此共有3个基本事件，分别记为A：“摸到白球”，B：“摸到黑球”，C：“摸到红球”，‎ 又因为所有球大小相同，所以一次摸球每个球被摸中的可能性均为，而白球有5个，‎ 故一次摸球摸到白球的可能性为，‎ 同理可知摸到黑球、红球的可能性均为，‎ 显然这三个基本事件出现的可能性不相等，‎ 所以以颜色为划分基本事件的依据的概率模型不是古典概型.‎ 规律方法　古典概型需满足两个条件：①对于每次随机试验来说，只可能出现有限个不同的试验结果；②对于所有不同的试验结果而言，它们出现的可能性是相等的.‎ ‎【训练1】 (1)下列问题中是古典概型的是(　　)‎ A.种下一粒杨树种子，求其能长成大树的概率 B.掷一颗质地不均匀的骰子，求出现1点的概率 C.在区间[1，4]上任取一数，求这个数大于1.5的概率 D.同时掷两颗骰子，求向上的点数之和是5的概率 ‎(2)将一枚硬币抛掷三次共有________种结果.‎ 解析　(1)A、B两项中的基本事件的发生不是等可能的；‎ C项中基本事件的个数是无限多个；‎ D项中基本事件的发生是等可能的，且是有限个.‎ ‎(2)设出现正面为1，反面为0，则共有(1，1，1)，(1，1，0)，(1，0，1)，(1，0，0)，(0，1，1)，(0，1，0)，(0，0，1)，(0，0，0)8种结果.‎ 答案　(1)D　(2)8‎ 考点二　简单的古典概型的概率 ‎【例2】 将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，求：‎ ‎(1)两数中至少有一个奇数的概率；‎ ‎(2)以第一次向上点数为横坐标x，第二次向上的点数为纵坐标y的点(x，y)在圆x2＋y2＝15的外部或圆上的概率.‎ 解　由题意，先后掷2次，向上的点数(x，y)共有n＝6×6＝36种等可能结果，为古典概型.‎ ‎(1)记“两数中至少有一个奇数”为事件B，则事件B与“两数均为偶数”为对立事件，记为.‎ ‎∵事件包含的基本事件数m＝CC＝9.‎ ‎∴P()＝＝，则P(B)＝1－P()＝，‎ 因此，两数中至少有一个奇数的概率为.‎ ‎(2)点(x，y)在圆x2＋y2＝15的内部记为事件C，则表示“点(x，y)在圆x2＋y2＝15上或圆的外部”.‎ 又事件C包含基本事件：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)共有8个.‎ ‎∴P(C)＝＝，从而P()＝1－P(C)＝1－＝.‎ ‎∴点(x，y)在圆x2＋y2＝15上或圆外部的概率为.‎ 规律方法　计算古典概型的概率可分三步：‎ ‎(1)算出基本事件的总个数n；‎ ‎(2)求出事件A所包含的基本事件个数m；‎ ‎(3)代入公式求出概率P.解题时可根据需要灵活选择列举法、列表法或树形图法.‎ ‎【训练2】 (1)(2015·广东卷)袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球.从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为(　　)‎ A. B. C. D.1‎ ‎(2)(2016·江苏卷)将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是________.‎ 解析　(1)从袋中任取2个球共有C＝105种取法，其中恰好1个白球1个红球共有CC＝50种取法，所以所取的球恰好1个白球1个红球的概率为＝.‎ ‎(2)将一颗质地无均匀的骰子先后抛掷2次，所有等可能的结果有36种，其中点数之和不小于10的有(6，6)，(6，5)，(6，4)，(5，6)，(5，5)，(4，6)，共6种，故所求概率为1－＝.‎ 答案　(1)B　(2) 考点三　复杂的古典概型的概率 ‎【例3】 (2015·四川卷改编)某市A，B两所中学的学生组队参加辩论赛，A 中学推荐了3名男生、2名女生，B中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训.由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队.‎ ‎(1)求A中学至少有1名学生入选代表队的概率；‎ ‎(2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，求参赛女生人数不少于2人的概率.‎ 解　(1)由题意，参加集训的男、女生各有6名.‎ 参赛学生全从B中学抽取(等价于A中学没有学生入选代表队)的概率为＝，‎ 因此，A中学至少有1名学生入选代表队的概率为 ‎1－＝.‎ ‎(2)设“参赛的4人中女生不少于2人”为事件A，记“参赛女生有2人”为事件B，“参赛女生有3人”为事件C.‎ 则P(B)＝＝，P(C)＝＝.‎ 由互斥事件的概率加法，‎ 得P(A)＝P(B)＋P(C)＝＋＝，‎ 故所求事件的概率为.‎ 规律方法　(1)求较复杂事件的概率问题，解题关键是理解题目的实际含义，把实际问题转化为概率模型，必要时将所求事件转化成彼此互斥事件的和，或者先求其对立事件的概率，进而再用互斥事件的概率加法公式或对立事件的概率公式求解.‎ ‎(2)注意区别排列与组合，以及计数原理的正确使用.‎ ‎【训练3】 (2016·威海模拟)一个盒子里装有大小均匀的6个小球，其中有红球4个，编号分别为1，2，3，4，白球2个，编号分别为4，5，从盒子中任取3个小球(假设取到任何一个小球的可能性相同).‎ ‎(1)求取出的3个小球中，含有编号为4的小球的概率；‎ ‎(2)在取出的3个小球中，求小球编号最大值为4的概率.‎ 解　基本事件总数为n＝C＝20，‎ ‎(1)取出的3个小球中，含有编号为4的小球的基本事件个数为m＝CC＋CC＝16，‎ ‎∴取出的3个球中，含有编号为4的小球的概率P＝＝＝.‎ ‎(2)小球编号最大值为4的基本事件个数为CC＋CC＝9，‎ 所以，小球编号最大值为4的概率P＝.‎ ‎[思想方法]‎ ‎1.古典概型计算三步曲 第一，本试验是否是等可能的；第二，本试验的基本事件有多少个；第三，事件A是什么，它包含的基本事件有多少个.‎ ‎2.确定基本事件个数的方法 列举法、列表法、树状图法或利用排列、组合.‎ ‎[易错防范]‎ ‎1.古典概型的重要思想是事件发生的等可能性，一定要注意在计算基本事件总数和事件包括的基本事件个数时，它们是不是等可能的.‎ ‎2.对较复杂的古典概型，其基本事件的个数常涉及排列数、组合数的计算，计算时要首先判断事件是否与顺序有关，以确定是按排列处理，还是按组合处理.‎