【数学】2018届一轮复习人教A版第四章三角函数、解三角形第4讲函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象及应用学案

【数学】2018届一轮复习人教A版第四章三角函数、解三角形第4讲函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象及应用学案

第4讲　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用 最新考纲　1.了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义；能画出y＝Asin(ωx＋φ)的图象，了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响；2.会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.‎ 知 识 梳 理 ‎1.“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的简图 ‎“五点法”作图的五点是在一个周期内的最高点、最低点及与x轴相交的三个点，作图时的一般步骤为：‎ ‎(1)定点：如下表所示.‎ x ‎－ ωx＋φ ‎0‎ π ‎2π y＝Asin(ωx＋φ)‎ ‎0‎ A ‎0‎ ‎－A ‎0‎ ‎(2)作图：在坐标系中描出这五个关键点，用平滑的曲线顺次连接得到y＝Asin(ωx＋φ)在一个周期内的图象.‎ ‎(3)扩展：将所得图象，按周期向两侧扩展可得y＝Asin(ωx＋φ)在R上的图象.‎ ‎2.函数y＝Asin(ωx＋φ)中各量的物理意义 当函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，x∈[0，＋∞)表示简谐振动时，几个相关的概念如下表：‎ 简谐振动 振幅 周期 频率 相位 初相 y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，‎ x∈[0，＋∞)‎ A T＝ f＝ ωx＋φ φ ‎3.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的两种途径 诊 断 自 测 ‎1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)‎ ‎(1)将函数y＝3sin 2x的图象左移个单位长度后所得图象的解析式是y＝3sin.(　　)‎ ‎(2)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度一致.(　　)‎ ‎(3)函数y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为.(　　)‎ ‎(4)由图象求解析式时，振幅A的大小是由一个周期内图象中最高点的值与最低点的值确定的.(　　)‎ 解析　(1)将函数y＝3sin 2x的图象向左平移个单位长度后所得图象的解析式是y＝3cos 2x.‎ ‎(2)“先平移，后伸缩”的平移单位长度为|φ|，而“先伸缩，后平移”的平移单位长度为.故当ω≠1时平移的长度不相等.‎ 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√‎ ‎2.y＝2sin的振幅、频率和初相分别为(　　)‎ A.2，，－ B.2，，－ C.2，，－ D.2，，－ 答案　A ‎3.(2016·全国Ⅰ卷)若将函数y＝2sin的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为(　　)‎ A.y＝2sin B.y＝2sin C.y＝2sin D.y＝2sin 解析　函数y＝2sin的周期为π，将函数y＝2sin的图象向右平移个周期即个单位，所得函数为y＝2sin＝2sin，故选D.‎ 答案　D ‎4.(2017·衡水中学金卷)将函数y＝sin 的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)，再向右平移个单位，所得函数图象的一个对称中心是(　　)‎ A. B. C. D. 解析　将函数y＝sin的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍，可得函数y＝sin的图象，再向 右平移个单位长度，所得函数的解析式为y＝sin 2x，‎ 令2x＝kπ，x＝(k∈Z)，故所得函数的对称中心为，(k∈Z)，故所得函数的一个对称中心是，故选D.‎ 答案　D ‎5.(2017·金华调研)函数f(x)＝2sin(ωx＋φ) 的图象如图所示，则ω＝________，φ＝________.‎ 解析　由题中图象知T＝π，∴ω＝2，把(0，1)代入f(x)＝2sin(2x＋φ)，得1＝2sin φ，∴sin φ＝，∵|φ|<，∴φ＝.‎ 答案　2　 ‎6.(必修4P60例1改编)如图，某地一天，从6～14时的温度变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0，0＜φ＜π)，则这段曲线的函数解析式为________.‎ 解析　从图中可以看出，从6～14时是函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的半个周期，又×＝14－6，‎ 所以ω＝.由图可得A＝(30－10)＝10，‎ b＝(30＋10)＝20.又×10＋φ＝2π，解得φ＝，‎ ‎∴y＝10sin＋20，x∈[6，14].‎ 答案　y＝10sin＋20，x∈[6，14]‎ 考点一　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换 ‎【例1】 设函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω＞0)的周期为π.‎ ‎(1)用五点法作出它在长度为一个周期的闭区间上的图象；‎ ‎(2)说明函数f(x)的图象可由y＝sin x的图象经过怎样的变换而得到.‎ 解　f(x)＝sin ωx＋cos ωx ‎＝2＝2sin，‎ 又∵T＝π，∴＝π，‎ 即ω＝2，∴f(x)＝2sin.‎ ‎(1)令z＝2x＋，则y＝2sin＝2sin z.‎ 列表，并描点画出图象：‎ x ‎－ z ‎0‎ π ‎2π y＝sin z ‎0‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎－1‎ ‎0‎ y＝2sin ‎0‎ ‎2‎ ‎0‎ ‎－2‎ ‎0‎ ‎(2)法一　把y＝sin x的图象上所有的点向左平移个单位，得到y＝sin的图象；再把y＝sin的图象上的点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到y＝sin的图象；最后把y＝sin上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，即可得到y＝2sin的图象.‎ 法二　将y＝sin x的图象上每一点的横坐标缩短为原来的倍(纵坐标不变)，得到y＝sin 2x的图象；再将y＝sin 2x的图象向左平移个单位，得到y＝sin 2＝sin的图象；再将y＝sin的图象上每一点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，得到y＝2sin的图象.‎ 规律方法　作函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象常用如下两种方法：‎ ‎(1)五点法作图，用“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z＝ωx＋φ，由z取0，，π，π，2π来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象；‎ ‎(2)图象的变换法，由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象有两种途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.‎ ‎【训练1】 设函数f(x)＝cos(ωx＋φ)的最小正周期为π，且f＝.‎ ‎(1)求ω和φ的值；‎ ‎(2)在给定坐标系中作出函数f(x)在[0，π]上的图象.‎ 解　(1)∵T＝＝π，ω＝2，‎ 又f＝cos＝，‎ ‎∴sin φ＝－，‎ 又－＜φ＜0，∴＝－.‎ ‎(2)由(1)得f(x)＝cos，列表：‎ ‎2x－ ‎－ ‎0‎ π π π x ‎0‎ π π π π f(x)‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎－1‎ ‎0‎ 描点画出图象(如图).‎ 考点二　由图象求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式 ‎【例2】 (1)将函数f(x)＝sin(2x＋θ)的图象向右平移φ(0＜φ＜π)个单位长度后，得到函数g(x)的图象，若f(x)，g(x)的图象都经过点P，则φ的值为________.‎ ‎(2)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π)的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式为________.‎ 解析　(1)将函数f(x)＝sin(2x＋θ)的图象向右平移φ(0<φ<π)个单位长度后，得到函数g(x)＝sin[2(x－φ)＋θ]＝sin(2x－2φ＋θ)的图象，若f(x)，g(x)的图象都经过点P，‎ 所以sin θ＝，sin(－2φ＋θ)＝，‎ 所以θ＝，sin＝.又0＜φ＜π，所以－＜－2φ＜，所以－2φ＝－.‎ 即φ＝.‎ ‎(2)由题图可知A＝，‎ 法一　＝－＝，‎ 所以T＝π，故ω＝2，‎ 因此f(x)＝sin(2x＋φ)，‎ 又对应五点法作图中的第三个点，‎ 因此2×＋φ＝π，所以φ＝，故f(x)＝sin.‎ 法二　以为第二个“零点”，为最小值点，‎ 列方程组解得 故f(x)＝sin.‎ 答案　(1)　(2)f(x)＝sin 规律方法　已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：‎ ‎(1)五点法，由ω＝即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0，则令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ；‎ ‎(2)代入法，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.‎ ‎【训练2】 (2016·全国Ⅱ卷)函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则(　　)‎ A.y＝2sin B.y＝2sin C.y＝2sin D.y＝2sin 解析　由题图可知，T＝2＝π，所以ω＝2，由五点作图法可知2×＋φ＝，所以φ＝－，所以函数的解析式为y＝2sin，故选A.‎ 答案　A 考点三　三角函数模型及其应用 ‎【例3】 某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：f(t)＝10－cost－sint，t∈[0，24).‎ ‎(1)求实验室这一天的最大温差；‎ ‎(2)若要求实验室温度不高于‎11 ℃‎，则在哪段时间实验室需要降温？‎ 解　(1)因为f(t)＝10－2 ‎＝10－2sin，‎ 又0≤t<24，所以≤t＋<，‎ 当t＝2时，sin＝1；‎ 当t＝14时，sin＝－1.‎ 于是f(t)在[0，24)上取得最大值‎12 ℃‎，取得最小值‎8 ℃‎.‎ 故实验室这一天最高温度为‎12 ℃‎，最低温度为‎8 ℃‎，最大温差为‎4 ℃‎.‎ ‎(2)依题意，当f(t)>11时实验室需要降温，‎ 由(1)得f(t)＝10－2sin，‎ 故有10－2sin>11，‎ 即sin<－.‎ 又0≤t<24，因此0)图象上最高点的纵坐标为2，且图象上相邻两个最高点的距离为π.‎ ‎(1)求a和ω的值；‎ ‎(2)求函数f(x)在[0，π]上的单调递减区间.‎ 解　(1)f(x)＝4cos ωx· sin＋a ‎＝4cos ωx·＋a ‎＝2sin ωxcos ωx＋2cos2ωx－1＋1＋a ‎＝sin 2ωx＋cos 2ωx＋1＋a ‎＝2sin＋1＋a.‎ 当sin＝1时，f(x)取得最大值2＋1＋a＝3＋a.‎ 又f(x)最高点的纵坐标为2，∴3＋a＝2，即a＝－1.‎ 又f(x)图象上相邻两个最高点的距离为π，‎ ‎∴f(x)的最小正周期为T＝π，‎ ‎∴2ω＝＝2，ω＝1.‎ ‎(2)由(1)得f(x)＝2sin，‎ 由＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，‎ 得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.‎ 令k＝0，得≤x≤.‎ ‎∴函数f(x)在[0，π]上的单调递减区间为.‎ 规律方法　函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的单调区间和对称性的确定，基本思想是把ωx＋φ看做一个整体.在单调性应用方面，比较大小是一类常见的题目，依据是同一区间内函数的单调性.对称性是三角函数图象的一个重要性质，因此要抓住其轴对称、中心对称的本质，同时还要会综合利用这些性质解决问题，解题时可利用数形结合思想.‎ ‎【训练4】 已知函数f(x)＝2sin·cos－sin(x＋π).‎ ‎(1)求f(x)的最小正周期；‎ ‎(2)若将f(x)的图象向右平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)在区间[0，π]上的最大值和最小值.‎ 解　(1)f(x)＝2sin·cos－sin(x＋π)‎ ‎＝cos x＋sin x＝2sin，于是T＝＝2π.‎ ‎(2)由已知得g(x)＝f＝2sin，‎ ‎∵x∈[0，π]，∴x＋∈，‎ ‎∴sin∈，‎ ‎∴g(x)＝2sin∈[－1，2]，‎ 故函数g(x)在区间[0，π]上的最大值为2，最小值为－1.‎ ‎[思想方法]‎ ‎1.五点法作图及图象变换问题 ‎(1)五点法作简图要取好五个关键点，注意曲线凸凹方向；‎ ‎(2)图象变换时的伸缩、平移总是针对自变量x而言，而不是看角ωx＋φ的变化.‎ ‎2.由图象确定函数解析式 解决由函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象确定A，ω，φ的问题时，常常以“五点法”中的五个点作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个“零点”和第二个“零点”的位置.要善于抓住特殊量和特殊点.‎ ‎[易错防范]‎ ‎1.由函数y＝sin x的图象经过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象，如先伸缩再平移时，要把x前面的系数提取出来.‎ ‎2.复合形式的三角函数的单调区间的求法.函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的单调区间的确定，基本思想是把ωx＋φ看做一个整体.若ω<0，要先根据诱导公式进行转化.‎ ‎3.求函数y＝Asin(ωx＋φ)在x∈[m，n]上的最值，可先求t＝ωx＋φ的范围，再结合图象得出y＝Asin t的值域. ‎