新课标高二数学同步测试(10)

新课标高二数学同步测试(10)

新课标高二数学同步测试（10）—（2－2） 说明：本试卷分第一卷和第二卷两部分，第一卷 74 分，第二卷 76 分，共 150 分；答题时间 120 分钟． 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的 括号内（每小题 5 分，共 50 分）． 1．函数  yxfy 则),( 2 （ ） A． )(2 xfx  B． )(2 xf  C． )(2 2xfx  D． )2( xf  2．函数 )0(43 2  xxxy 的值域为 （ ） A． ]2,(  B． ),2[  C． ]93,( 3 D． ),93[ 3  3．若复数 z 的共轭复数是 z ，且|z|=1，则|(z+1)(z-i)|的最大值是 （ ） A．2+ 2 B．2- 2 C．1+ 2 D．3+ 2 4．复数     2 2 1 3 4 5   i i 等于 （ ） A．1 3 i B．－1 3 i C．1 3 i D．－ 5．设 f(x)=logax(a﹥0,a≠1),若 f(x1)+f(x2)+……＋f(xn)=1(xi∈R＋,i=1、2……n),则 f(x1 2)＋f(x2 2)＋……＋f(xn 2)的 值等于 （ ） A． 2 1 B．1 C．2 D．2loga2 6． 10032 iiii …··…·· = （ ） A．1 B．－1 C．i D．－i 7．求曲线 0 yx ， xxy 22  所围成图形的面积 （ ） A．1 B． 2 9 C．9 D． 2 5 8．设 Z x yi x y R  （ ）, ，则满足等式 Z x  2 的复数 Z 对应的点的轨迹是：（ ） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆 9．在抛物线 12  xy  0x 上找一点 P  11, yx ，其中 01 x ，过点 P 作抛物线的切线，使此切线与 抛物线及两坐标轴所围平面图形的面积最小 （ ） A． ) 3 2, 3 1( B． ) 3 1, 3 2( C． )3 2, 3 1( D． ) 3 1,3 2( 10．已知复数 zk(k=1，2，3，…，101)满足|zk|=1，命题甲为：   101 1k kz =0，命题乙：复平面内以 zk(k=1，2， 3，…，101)的对应点为顶点的 101 边形是正多边形，那么命题甲是命题乙的 （ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分且必要条件 D．既不充分不必要条件 二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题 6 分，共 24 分）． 11 ． 已 知 xR ， 奇 函 数 32()f x x ax bx c    在 [1, ) 上 单 调 ， 则 字 母 ,,abc应 满 足 的 条 件 是 ． 12．某日中午 12 时整，甲船自 A 处以 16km/h 的速度向正东行驶，乙船自 A 的正北 18km 处以 24km/h 的 速度向正南行驶，则当日 12 时 30 分时两船之间距间对时间的变化率 km/h.． 13． dxxx 1 1 2|)|( = ． 14．已知两条相交直线最多有 1 个交点，三条直线最多有 3 个交点，四条直线最多有 6 个交点点，五条直 线最多有 10 个交点．由此可归纳 n 条直线最多交点个数为 ． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（共 76 分）． 15．（ 12 分）已知复数 Rmimmmmz  ,)2()232( 22 根据下列条件，求 m 值． （1）z 是实数；（2）z 是虚线；（3）z 是纯虚数；（4）z＝0． 16．（ 12 分）用活塞封闭圆柱钢筒中的理想气体，气体膨胀时推动活塞．设气体体积从 V0 膨胀到 V1， 且膨胀时温度不变，求气体压力对活塞所作功． 17．（ 12 分）如图，扇形 AOB 的半径为 1，中心角为 45°，矩形 EFGH 内接于扇形，求矩形对角线长的 最小值． 18 ．（ 12 分 ） 已 知 数 列 nSnn n ,,)12()12( 8,,53 28,31 18 222222        为 其 前 n 项 和 ， 计 算 得 9 8 1 S , 81 80,49 48,25 24 432  SSS ,观察上述结果，推测出计算 Sn 的公式，并用数学归纳法加以证 明． 19．（ 14 分）如图所示，曲线段 OMB 是函数 f(x)＝x2(0＜x＜6＝的图象，BA⊥x 轴于 A，曲线段 OMB 上一 点 M(t,f(t))处的切线 PQ 交 x 轴于 P，交线段 AB 于 Q，⑴试用 t 表示切线 PQ 的方程；⑵试用 t 表示出 △QAP 的面积 g(t)；若函数 g(t)在(m，n)上单调递减，试 求出 m 的最小值；⑶若 S△QAP∈[ 64,4 121 ]，试求出点 P 横坐 标的 取值范围 20 ．（ 14 分 ） 已 知 函 数 ))(( Rxxf  满 足 下 列 条 件 ： 对 任 意 的 实 数 x1 ， x2 都有 )]()()[()(λ 2121 2 21 xfxfxxxx  和 2121 )()( xxxfxf  ，其中 λ 是大于 0 的常数.设实数 a0，a， b 满足 0)( 0 af 和 )(λ afab  . （Ⅰ）证明: 1λ  ，并且不存在 00 ab  ，使得 0)( 0 bf ； （Ⅱ）证明: 2 0 22 0 ))(λ1()( aaab  ； （Ⅲ）证明: 222 )]()[λ1()]([ afbf  . 参考答案 一、1．C；2．C；3．A； 4．解法一：         ii iii i i i i i 314 )31(4 31 4 2 3 2 1 2 2 3 2 1 2 2 1 2 3 2 12 1116 31 22 2 2 5 5 4 5 4                        · 答案：选 B 5．C 6．B；解析： .12126245050)100321(   iii …… 7．C；解：联立：      xxy yx 2 0 2 ，解的交点： )0,0( 、 )3,3(   dxxxdxxxxdAA )(]2[ 22  ， 且  3,0x ，    3 0 2 dxxxdAA b a 2 9 或者直接利用推出的公式，此时 xxf )(1 ， xxxf 2)( 2 2  ， ，则     b a b a dxxfxfdAA 12   2 93 0 2  dxxx 8．C；9．C； 分析：此是一道综合应用题，应先求出所求面积的表达式，然后求此表达式函数的极值点． 解：由于 xy 2 ，因此过点 P  11, yx 的切线方程为  111 2 xxxyy  ，该切线与 x ， y 轴的交点 分别是 )0,2 1( 1 2 x xA  ， )1,0( 2 1xB  . 所求面积 A=    dxxxx x         1 0 22 1 1 2 1 112 1 2 1 = 3 2124 1 1 1 3 1        xxx xy  xxy 22  3O x dxx                     1 1 1 12 1 2 1 1 1134 11234 1 xxxxxxdx dA . 令 0 1 dx dA ．(由于 01 1 1  xx )得 3 1 1 x ， 由于此问题的最小值存在，且在  ,0 内有唯一驻 点，故 3 21 3 1, 3 1 2 11       yx 就是所求的点 P，即：取切点为 P       3 2, 3 1 时，所求的图形面积最 小． 10．B 二、11． 0, 3a c b   ； 解析： (0) 0 0fc   ； ( ) ( ) 0 0f x f x a     ． 2'( ) 3f x x b， 若 ()fx [1, )x  上是增函数，则 '( ) 0fx 恒成立，即 2 min(3 ) 3bx 若 上是减函数，则 '( ) 0fx 恒成立，这样的b 不存在． 综上可得： ； 12． 106 ；13． 3 4 ；解析： 3 4|3 4)(4|)|( 1 0 30 1 1 0 21 1    xdxxxdxxdxxx ． 14． 2 )1( nn ． 三、15．解： 注：对于本题，只要概念清晰，就能顺利地列出以上各式，求出 m 值． 16．解 设圆柱钢筒的底面积为 S，dV 为气体体积之增量，此时活塞移动的距离为 s dv ，由于 是等温过程，由定律知： kkPV ( 为常量)．因此，气体作用于活塞大单位面积上的压力（即 压强）为 v kP  ，此时，活塞所受的总压力是 v ksPsF  ，所以所以气体体积增加 dv 时，气 体压力所作的功为 dvv k s dv v ksFsdW  ，由此得到，当气体体积从 V0 变到 V1 时作的功是 2 1ln|ln 1 2 1 2 v vkvkdvv kW v v v v   ． 17．[解析]这是一道高考题，需要用函数思想解决它，但是取什么量作自变量是解决这个问题的关键，应 反复斟酌. 根据这个问题的图形特点，取 ,xEOA  将对角线长l 表示成这个角 x 的函数是比较好的想法. ,22040 ),2 1tan)(2sin(2 5 2 3)2cos2 12(sin2 3 2sinsin1)sin(cossin)( ,sincos45tancos,sin 2222       xx xxx xxxxxxfl xxFGxOGOHGHxEH   其中 所以，当 2 1arctan4  x 时， .2 15,2 53 min 2 min  ll [解法二]设矩形的高 ,,2 20, xFGOGxxFG  而 ∴矩形的宽 ,1 2 xxOGOHGH  ∴对角线 ,21)1( 4222222 xxxxxxl  令 ,2 10,2  ttx 2 2 2 22 )21(211)(,21)( tt ttt tt ttgttttgl     令 ,10 550155210)( 22  tttttttg 得 在 10 55 t 的左、右两侧取定义域内两点，如取 4.0,1.0 21  xx 得 ,02.024.0)4,0(,08.009.0)1,0(  gg ∴ )(tg 的值在 处左负右正， ,2 53)10 55()]([ min  gtg 2 15 2 53 min l . [评析]该问题的难点是正确选择自变量 x ,上面两种解法各有优缺点,解法一虽然简单些,但选择”角”作自变 量有时会涉及到过多的三角知识,在许多情况下会出现困难的运算,应慎重;解法二选择矩形的边长为自变量 的想法要常规一些. 18．解：推测 )( )12( 1)12( 2 2 Nn n nSn    . 证明：i) 略 ii) 假设 n=k(k∈N)时等式成立，即 2 2 )12( 1)12(   k kSk ， 则 221 )32()12( )1(8   kk kSS kk 222 2 )32()12( )1(8 )12( 1)12(     kk k k k 22 22 )32()12( )1(8)32](1)12[(   kk kkk 2 2 22 222 22 222 )32( 1)32( )32()12( )12()32()12( )32()12( )1(8)32()32()12(       k k kk kkk kk kkkk 即 n=k+1 时，等式成立． 由 i), ii) 可知，对一切 n∈N，等式均成立． 小结：这是一个探索性问题，需要观察（归纳），从而发现规律，得出结论，进而用数学归纳法． 19．【解】：⑴设点 M(t，t2)，又 f＇(x)=2x， ∴过点 M 的切线 PQ 的斜率 k=2t ∴切线 PQ 的方程为：y=2tx－t2 ⑵由⑴可求得，P( 0,2 t )，Q(6,12t－t2)∴g(t)＝S△QAP＝ )2 16(2 1 t (12t－t2)= ,3664 2 3 ttt  (0

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