高考文科数学专题复习练习3同角三角函数的基本关系

高考文科数学专题复习练习3同角三角函数的基本关系

‎48‎ 同角三角函数的基本关系 ‎9.(2015河南开封二模,文9,同角三角函数的基本关系,选择题)若函数f(x)=(1+‎3‎tan x)cos x,0≤x<π‎2‎,则f(x)的最大值是(　　)‎ A.1 B.2 C.‎3‎+1 D.‎3‎+2‎ 解析:f(x)=(1+‎3‎tan x)cos x=cos x+‎3‎sin x ‎=2sinx+‎π‎6‎,‎ ‎∵0≤x<π‎2‎,∴π‎6‎≤x+π‎6‎‎<‎‎2π‎3‎.‎ ‎∴f(x)∈[1,2].‎ 答案:B ‎49‎ 诱导公式 ‎13.(2015河南商丘二模,文13,诱导公式,填空题)‎ sin(-600°)的值为　　　　　. ‎ 解析:sin(-600°)=sin(-2×360°+120°)‎ ‎=sin 120°=sin(180°-60°)‎ ‎=sin 60°=‎3‎‎2‎.‎ 答案:‎‎3‎‎2‎ ‎51‎ 三角函数的单调性 ‎17.(2015辽宁重点中学协作体模拟,文17,三角函数的单调性,解答题)已知函数f(x)=2cos(ωx+φ)ω>0,0<φ<‎π‎2‎的最小正周期为π,点‎5π‎24‎‎,0‎为它的图象的一个对称中心.‎ ‎(1)求函数f(x)的单调递增区间;‎ ‎(2)在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对应边,若f‎-‎A‎2‎‎=‎‎2‎,a=3,求b+c的最大值.‎ 解:(1)∵f(x)的最小正周期T=π,∴ω=2.‎ ‎∵‎5π‎24‎‎,0‎为f(x)的图象的对称中心,‎ ‎∴2×‎5π‎24‎+φ=kπ+π‎2‎,且0<φ<π‎2‎.‎ ‎∴φ=π‎12‎.‎ ‎∴f(x)=2cos‎2x+‎π‎12‎.‎ ‎∴令2kπ-π≤2x+π‎12‎≤2kπ,可解得kπ-‎13π‎24‎≤x≤kπ-π‎24‎,k∈Z.‎ 故f(x)单调递增区间为kπ-‎13π‎24‎,kπ-‎π‎24‎,k∈Z.‎ ‎(2)∵f‎-‎A‎2‎=2cosA-‎π‎12‎‎=‎‎2‎,‎ ‎∴cosA-‎π‎12‎‎=‎‎2‎‎2‎.‎ ‎∵-π‎12‎a>c.‎ 答案:B ‎52‎ 三角函数的奇偶性、周期性和对称性 ‎17.(2015辽宁鞍山一模,文17,三角函数的奇偶性、周期性和对称性,解答题)已知函数f(x)=cos‎2x-‎π‎3‎+2sinx-‎π‎4‎sinx+‎π‎4‎.‎ ‎(1)求函数f(x)的最小正周期和图象的对称轴方程;‎ ‎(2)求函数f(x)在区间‎-π‎12‎,‎π‎2‎上的值域.‎ 解:(1)∵f(x)=cos‎2x-‎π‎3‎+2sinx-‎π‎4‎sinx+‎π‎4‎ ‎=‎1‎‎2‎cos 2x+‎3‎‎2‎sin 2x+(sin x-cos x)(sin x+cos x)‎ ‎=‎1‎‎2‎cos 2x+‎3‎‎2‎sin 2x+sin2x-cos2x ‎=‎1‎‎2‎cos 2x+‎3‎‎2‎sin 2x-cos 2x ‎=sin‎2x-‎π‎6‎,‎ ‎∴周期T=‎2π‎2‎=π.‎ 由2x-π‎6‎=kπ+π‎2‎(k∈Z),得x=kπ‎2‎‎+‎π‎3‎(k∈Z).‎ ‎∴函数图象的对称轴方程为x=kπ‎2‎‎+‎π‎3‎(k∈Z).‎ ‎(2)∵x∈‎-π‎12‎,‎π‎2‎,∴2x-π‎6‎‎∈‎‎-π‎3‎,‎‎5π‎6‎.‎ ‎∵f(x)=sin‎2x-‎π‎6‎在区间‎-π‎12‎,‎π‎3‎上单调递增,在区间π‎3‎‎,‎π‎2‎上单调递减,‎ ‎∴当x=π‎3‎时,f(x)取最大值1.‎ 又f‎-‎π‎12‎=-‎3‎‎2‎0,|φ|<‎π‎2‎的最小正周期是π,若其图象向右平移π‎3‎个单位后得到的函数为奇函数,则函数y=f(x)的图象(　　)‎ A.关于点π‎12‎‎,0‎对称 B.关于直线x=π‎12‎对称 C.关于点‎5π‎12‎‎,0‎对称 D.关于直线x=‎5π‎12‎对称 解析:由题意可得‎2πω=π,解得ω=2,‎ 故函数f(x)=sin(2x+φ),其图象向右平移π‎3‎个单位后得到的图象对应的函数为y=sin‎2x-‎π‎3‎+φ=sin‎2x-‎2π‎3‎+φ是奇函数,‎ 又|φ|<π‎2‎,故φ=-π‎3‎.‎ 故函数f(x)=sin‎2x-‎π‎3‎,‎ 故当x=‎5π‎12‎时,函数f(x)=sinπ‎2‎=1,‎ 故函数f(x)=sin‎2x-‎π‎3‎关于直线x=‎5π‎12‎对称.‎ 答案:D ‎4.(2015辽宁重点中学协作体模拟,文4,三角函数的图象与变换,选择题)函数f(x)=sin‎2x+‎π‎3‎所对应的图象向左平移π‎4‎个单位后的图象与y轴距离最近的对称轴方程为(　　)‎ A.x=π‎3‎ B.x=-‎π‎6‎ C.x=-π‎24‎ D.x=‎‎11π‎24‎ 解析:函数f(x)=sin‎2x+‎π‎3‎所对应的图象向左平移π‎4‎个单位后的图象对应的函数解析式为 y=sin‎2x+‎π‎4‎+‎π‎3‎=cos‎2x+‎π‎3‎,‎ 令2x+π‎3‎=kπ,求得x=kπ‎2‎‎-‎π‎6‎,k∈Z,‎ 可得与y轴距离最近的对称轴方程为x=-π‎6‎.‎ 答案:B ‎3.(2015河南洛阳二模,文3,三角函数的图象与变换,选择题)若α∈[0,2π),则满足‎1+sin2α=sin α+cos α的α的取值范围是(　　)‎ A.‎0,‎π‎2‎ B.[0,π]‎ C.‎0,‎‎3π‎4‎ D.‎‎0,‎‎3π‎4‎‎∪‎‎7π‎4‎‎,2π 解析:∵‎1+sin2α‎=‎‎(sinα+cosα‎)‎‎2‎=|sin α+cos α|‎ ‎=‎2‎sinα+‎π‎4‎=sin α+cos α ‎=‎2‎sinα+‎π‎4‎,‎ 即有sinα+‎π‎4‎=sinα+‎π‎4‎,‎ ‎∴可解得:2kπ≤α+π‎4‎≤2kπ+π,k∈Z,‎ 即有:2kπ-π‎4‎≤α≤2kπ+‎3π‎4‎,k∈Z.‎ ‎∵α∈[0,2π),‎ ‎∴可解得α的取值范围是‎0,‎‎3π‎4‎‎∪‎‎7π‎4‎‎,2π.‎ 答案:D ‎11.(2015宁夏银川一中一模,文11,三角函数的图象与变换,选择题)函数f(x)=Asin(ωx+φ)其中A>0,|φ|<‎π‎2‎的图象如图所示,为了得到g(x)=sin 2x的图象,则只要将f(x)的图象(　　)‎ A.向右平移π‎6‎个单位长度 B.向右平移π‎12‎个单位长度 C.向左平移π‎2‎个单位长度 D.向左平移π‎12‎个单位长度 解析:由函数f(x)=Asin(ωx+φ)其中A>0,|φ|<‎π‎2‎的图象可得A=1,T‎4‎‎=‎1‎‎4‎·‎2πω=‎7π‎12‎-‎π‎3‎,求得ω=2.‎ 再根据五点法作图可得2×π‎3‎+φ=π,求得φ=π‎3‎,‎ 故f(x)=sin‎2x+‎π‎3‎=sin 2x+‎π‎6‎.‎ 故把f(x)的图象向右平移π‎6‎个单位长度,可得g(x)=sin 2x的图象.‎ 答案:A ‎8.(2015河南六市联考一模,文8,三角函数的图象与变换,选择题)将奇函数f(x)=Asin(ωx+φ)A≠0,ω>0,-π‎2‎<φ<‎π‎2‎的图象向左平移π‎6‎个单位得到的图象关于原点对称,则ω的值可以为(　　)‎ A.6 B.3 C.4 D.2‎ 解析:由函数f(x)=Asin(ωx+φ)为奇函数,A≠0,ω>0,-π‎2‎<φ<π‎2‎,可得f(0)=Asin φ=0,‎ 所以φ=0,函数f(x)=Asin ωx.‎ 把f(x)的图象向左平移π‎6‎个单位得到y=Asin ωx+‎π‎6‎的图象,再根据所得图象关于原点对称,‎ 可得y=Asin ωx+‎π‎6‎为奇函数,‎ 故有sinω·‎π‎6‎=0,所以ω·π‎6‎=kπ,k∈Z.‎ 结合ω>0以及所给的选项,可得ω=6.‎ 答案:A ‎10.(2015河南漯河一模,文10,三角函数的图象与变换,选择题)已知f(x)=‎3‎sin 2x-cos 2x,则将f(x)的图象向右平移π‎3‎个单位所得曲线的一个对称中心为(　　)‎ A.π‎6‎‎,0‎ B.‎π‎4‎‎,0‎ C.π‎2‎‎,0‎ D.‎‎5π‎12‎‎,0‎ 解析:∵f(x)=‎3‎sin 2x-cos 2x=2sin‎2x-‎π‎6‎,‎ ‎∴fx-‎π‎3‎=2sin‎2x-‎π‎3‎-‎π‎6‎ ‎=2sin‎2x-‎‎5π‎6‎.‎ 由2x-‎5π‎6‎=kπ(k∈Z)得,x=kπ‎2‎‎+‎‎5π‎12‎(k∈Z),‎ 当k=0时,所得曲线的一个对称中心为‎5π‎12‎‎,0‎.‎ 答案:D ‎8.(2015河南商丘二模,文8,三角函数的图象与变换,选择题)函数f(x)=cosωx+‎π‎3‎(x∈R,ω>0)的最小正周期为π,为了得到f(x)的图象,只需将函数g(x)=sinωx+‎π‎3‎的图象(　　)‎ A.向左平移π‎2‎个单位长度 B.向右平移π‎2‎个单位长度 C.向左平移π‎4‎个单位长度 D.向右平移π‎4‎个单位长度 解析:因为函数f(x)=cosωx+‎π‎3‎(x∈R,ω>0)的最小正周期为π=‎2πω,‎ 所以ω=2,f(x)=cos‎2x+‎π‎3‎.‎ 故g(x)=sinωx+‎π‎3‎=sin‎2x+‎π‎3‎ ‎=cos‎2x+π‎3‎-‎π‎2‎=cos‎2x-‎π‎6‎.‎ 把函数g(x)=cos‎2x-‎π‎6‎的图象向左平移π‎4‎个单位长度,可得y=cos‎2x+‎π‎4‎-‎π‎6‎=cos‎2x+‎π‎3‎=f(x)的图象.‎ 答案:C ‎54‎ 函数y=Asin(ωx+φ)图象及性质的应用 ‎10.(2015辽宁锦州二模,文10,函数y=Asin(ωx+φ)图象及性质的应用,选择题)函数f(x)=sin(2x+φ)‎|φ|<‎π‎2‎的图象向左平移π‎6‎个单位后关于原点对称,求函数f(x)在‎0,‎π‎2‎上的最小值为(　　)‎ A.-‎3‎‎2‎ B.-‎1‎‎2‎ C.‎1‎‎2‎ D.‎‎3‎‎2‎ 解析:函数f(x)=sin(2x+φ)‎|φ|<‎π‎2‎的图象向左平移π‎6‎个单位后,得到函数y=sin‎2x+‎π‎6‎+φ=sin‎2x+π‎3‎+φ的图象,‎ 再根据所得图象关于原点对称,可得π‎3‎+φ=kπ,k∈Z,‎ 所以φ=-π‎3‎,f(x)=sin‎2x-‎π‎3‎,‎ 由题意x∈‎0,‎π‎2‎,得2x-π‎3‎‎∈‎‎-π‎3‎,‎‎2π‎3‎,‎ 所以sin‎2x-‎π‎3‎‎∈‎‎-‎3‎‎2‎,1‎.‎ 所以函数y=sin‎2x-‎π‎3‎在区间‎0,‎π‎2‎的最小值为-‎3‎‎2‎.‎ 答案:A ‎56‎ 含条件的求值、求角问题 ‎15.(2015河南郑州一模,文15,含条件的求值、求角问题,填空题)已知sin‎5π‎2‎‎+α‎=‎‎1‎‎4‎,那么cos 2α=　　　　　. ‎ 解析:∵sin‎5π‎2‎‎+α‎=‎‎1‎‎4‎⇒sin‎5π‎2‎cos α+cos‎5π‎2‎sin α=‎1‎‎4‎⇒cos α=‎1‎‎4‎,‎ ‎∴cos 2α=2cos2α-1=2×‎1‎‎4‎‎2‎-1=-‎7‎‎8‎.‎ 答案:-‎‎7‎‎8‎ ‎3.(2015河南中原名校联盟模拟,文3,含条件的求值、求角问题,选择题)已知sinπ‎2‎‎+α‎=‎‎3‎‎5‎,则cos 2α等于(　　)‎ A.‎9‎‎25‎ B.-‎9‎‎25‎ C.‎7‎‎25‎ D.-‎‎7‎‎25‎ 解析:∵sinπ‎2‎‎+α=cos α=‎3‎‎5‎,‎ ‎∴cos 2α=2cos2α-1=2×‎9‎‎25‎-1=-‎7‎‎25‎.‎ 答案:D ‎57‎ 两角和与差公式的应用 ‎17.(2015辽宁锦州一模,文17,两角和与差公式的应用,解答题)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,q=(2a,1),p=(2b-c,cos C)且p∥q.‎ 求:(1)sin A的值;‎ ‎(2)三角函数式‎-2cos2C‎1+tanC+1的取值范围.‎ 解:(1)∵p∥q,∴2acos C=1×(2b-c).‎ 根据正弦定理,得2sin Acos C=2sin B-sin C,‎ 又sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C,‎ ‎∴2cos Asin C-sin C=0,即sin C(2cos A-1)=0.‎ ‎∵C是三角形内角,sin C≠0,‎ ‎∴2cos A-1=0,可得cos A=‎1‎‎2‎.‎ ‎∵A是三角形内角,‎ ‎∴A=π‎3‎,得sin A=‎3‎‎2‎.‎ ‎(2)‎-2cos2C‎1+tanC+1=‎2(sin‎2‎C-cos‎2‎C)‎‎1+‎sinCcosC+1‎ ‎=2cos C(sin C-cos C)+1=sin 2C-cos 2C,‎ ‎∴‎-2cos2C‎1+tanC+1=‎2‎sin‎2C-‎π‎4‎,‎ 由A=π‎3‎,得C∈‎0,‎‎2π‎3‎,‎ ‎∴2C-π‎4‎‎∈‎‎-π‎4‎,‎‎13π‎12‎,‎ 可得-‎2‎‎2‎0)的最小正周期为T=π.‎ ‎(1)求f‎2π‎3‎的值;‎ ‎(2)在△ABC中,角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,若有(2a-c)cos B=bcos C,则求角B的大小以及f(A)的取值范围.‎ 解析:(1)∵f(x)=‎3‎sin(π+ωx)sin‎3π‎2‎‎-ωx-cos2ωx ‎=‎3‎sin ωxcos ωx-cos2ωx ‎=‎3‎‎2‎sin 2ωx-‎1‎‎2‎cos 2ωx-‎‎1‎‎2‎ ‎=sin‎2ωx-‎π‎6‎‎-‎‎1‎‎2‎,‎ ‎∴函数f(x)的最小正周期为T=π.‎ 即‎2π‎2ω=π,得ω=1,‎ ‎∴f(x)=sin‎2x-‎π‎6‎‎-‎‎1‎‎2‎.‎ ‎∴f‎2π‎3‎=sin‎2×‎2π‎3‎-‎π‎6‎‎-‎‎1‎‎2‎=sin ‎7π‎6‎‎-‎‎1‎‎2‎=-1.‎ ‎(2)∵(2a-c)cos B=bcos C,‎ ‎∴由正弦定理,可得(2sin A-sin C)cos B=sin Bsin C,‎ ‎∴2sin Acos B=sin Bcos C+cos Bsin C=sin(B+C)=sin A.‎ ‎∵sin A>0,∴cos B=‎1‎‎2‎.‎ ‎∵B∈(0,π),∴B=π‎3‎.‎ ‎∵A+C=π-B=‎2π‎3‎,∴A∈‎0,‎‎2π‎3‎.‎ ‎∴2A-π‎6‎‎∈‎‎-π‎6‎,‎‎7π‎6‎.‎ ‎∴sin‎2A-‎π‎6‎‎∈‎‎-‎1‎‎2‎,1‎.‎ ‎∴f(A)=sin‎2A-‎π‎6‎‎-‎1‎‎2‎∈‎‎-1,‎‎1‎‎2‎.‎ ‎6.(2015河南开封二模,文6,两角和与差公式的应用,选择题)若α,β∈‎0,‎π‎2‎,cosα-‎β‎2‎‎=‎‎3‎‎2‎,sinα‎2‎‎-β=-‎1‎‎2‎,则cos(α+β)的值等于(　　)‎ A.-‎3‎‎2‎ B.-‎1‎‎2‎ C.‎1‎‎2‎ D.‎‎3‎‎2‎ 解析:由α,β∈‎0,‎π‎2‎,‎ 则α-β‎2‎‎∈‎-π‎4‎,‎π‎2‎,‎α‎2‎-β∈‎-π‎2‎,‎π‎4‎.‎ 又cosα-‎β‎2‎‎=‎‎3‎‎2‎,sinα‎2‎‎-β=-‎1‎‎2‎,‎ 所以α-β‎2‎=±π‎6‎‎,‎α‎2‎-β=-π‎6‎,‎ 解得α=β=π‎3‎,所以cos(α+β)=-‎1‎‎2‎.‎ 答案:B ‎13.(2015辽宁大连一模,文13,两角和与差公式的应用,填空题)函数y=‎1‎‎2‎sin x+‎3‎‎2‎cos xx∈‎‎0,‎π‎2‎的单调递增区间是　　　　　　　　　. ‎ 解析:化简可得y=sin xcosπ‎3‎+cos xsinπ‎3‎=sinx+‎π‎3‎,‎ 由2kπ-π‎2‎≤x+π‎3‎≤2kπ+π‎2‎,可得2kπ-‎5π‎6‎≤x≤2kπ+π‎6‎,k∈Z,‎ 当k=0时,可得函数的一个单调递增区间为‎-‎5π‎6‎,‎π‎6‎,‎ 由x∈‎0,‎π‎2‎可得x∈‎0,‎π‎6‎.‎ 答案:‎‎0,‎π‎6‎ ‎14.(2015河南开封定位模拟,文14,两角和与差公式的应用,填空题)函数f(x)=‎3‎sin xcos x+cos2x的最小正周期是　　　　　. ‎ 解析:f(x)=‎3‎sin xcos x+cos2x=‎3‎‎2‎sin 2x+cos2x‎2‎‎+‎‎1‎‎2‎=sin‎2x+‎π‎6‎‎+‎‎1‎‎2‎,‎ 故有最小正周期T=‎2πω‎=‎‎2π‎2‎=π.‎ 答案:π ‎4.(2015河南商丘一模,文4,两角和与差公式的应用,选择题)已知cos α=-‎4‎‎5‎,且α∈π‎2‎‎,π,则tanπ‎4‎‎-α=(　　)‎ A.-‎1‎‎7‎ B.-7 C.‎1‎‎7‎ D.7‎ 解析:∵cos α=-‎4‎‎5‎,且α∈π‎2‎‎,π,‎ ‎∴sin α=‎1-cos‎2‎α‎=‎‎3‎‎5‎,即tan α=-‎3‎‎4‎.‎ ‎∴tanπ‎4‎‎-α‎=‎tanπ‎4‎-tanα‎1+tanπ‎4‎tanα=7.‎ 答案:D ‎58‎ 三角函数式的化简、求值 ‎14.(2015辽宁鞍山一模,文14,三角函数的化简、求值,填空题)已知α∈π‎2‎‎,π,tanα+‎π‎4‎‎=‎‎1‎‎7‎,则sin α+cos α=　　　　　. ‎ 解析:∵tanα+‎π‎4‎‎=‎‎1‎‎7‎,‎ ‎∴‎1+tanα‎1-tanα‎=‎‎1‎‎7‎,解得tan α=-‎3‎‎4‎.‎ ‎∵α∈π‎2‎‎,π,sin2α+cos2α=1,①‎ tan α=sinαcosα,②‎ 解①②得sin α=‎3‎‎5‎,cos α=-‎4‎‎5‎,‎ ‎∴sin α+cos α=‎3‎‎5‎‎-‎‎4‎‎5‎=-‎1‎‎5‎.‎ 答案:-‎‎1‎‎5‎ ‎17.(2015宁夏银川一中一模,文17,三角函数的化简、求值,解答题)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,‎3‎sin Ccos C-cos2C=‎1‎‎2‎,且c=3.‎ ‎(1)求角C;‎ ‎(2)若向量m=(1,sin A)与n=(2,sin B)共线,求a,b的值.‎ 解:(1)∵‎3‎sin Ccos C-cos2C=‎1‎‎2‎,‎ ‎∴‎3‎‎2‎sin 2C-‎1+cos2C‎2‎‎=‎‎1‎‎2‎.‎ ‎∴sin(2C-30°)=1.‎ ‎∵0°‎π‎2‎,‎ ‎∴cos B=-‎1-‎‎6‎‎9‎=-‎3‎‎3‎,sin C=sin(π-A-B)‎ ‎=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B ‎=‎3‎‎3‎‎×‎-‎‎3‎‎3‎+‎6‎‎3‎×‎6‎‎3‎=‎‎1‎‎3‎.‎ ‎∴S=‎1‎‎2‎a·b·sin C=‎1‎‎2‎×3×3‎2‎‎×‎1‎‎3‎=‎‎3‎‎2‎‎2‎.‎ ‎17.(2015河南商丘一模,文17,利用正弦定理、余弦定理解三角形,解答题)已知在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知c=2,向量m=(c,‎3‎b),n=(cos C,sin B),且m∥n.‎ ‎(1)求角C的大小;‎ ‎(2)若sin(A+B),sin 2A,sin(B-A)成等差数列,求边a的大小.‎ 解:(1)∵m∥n,∴‎3‎bcos C-csin B=0.‎ 由正弦定理可得‎3‎sin Bcos C-sin Csin B=0,‎ ‎∵sin B≠0,∴tan C=‎3‎,C∈(0,π).‎ ‎∴C=π‎3‎.‎ ‎(2)∵sin(A+B),sin 2A,sin(B-A)成等差数列,‎ ‎∴2sin 2A=sin(A+B)+sin(B-A),‎ 化为4sin Acos A=2sin Bcos A.‎ ‎∴cos A=0或2sin A=sin B,即2a=b.‎ 当cos A=0时,A∈(0,π),‎ ‎∴A=π‎2‎.‎ ‎∴a=csinC‎=‎2‎sinπ‎3‎=‎‎4‎‎3‎‎3‎.‎ 当2a=b时,由余弦定理可得c2=a2+b2-2abcos C,‎ ‎∴4=a2+4a2-4a2cosπ‎3‎,化为a2=‎4‎‎3‎,解得a=‎2‎‎3‎‎3‎.‎ ‎17.(2015辽宁丹东二模,文17,利用正弦定理、余弦定理解三角形,解答题)在Rt△ABC中,AB=4,BC=3,点D在斜边AC上,且AD=4DC.‎ ‎(1)求BD的长;‎ ‎(2)求sin∠CDB的值.‎ 解:(1)直角△ABC中,∵AB=4,BC=3,A=90°,‎ ‎∴AC=5,cos C=‎3‎‎5‎,sin C=‎4‎‎5‎.‎ ‎∵AD=4DC,∴AD=4,CD=1.‎ 在△BCD中,由余弦定理,得BD2=BC2+CD2-2BC·CD·cos C ‎=9+1-2×3×1×‎3‎‎5‎‎=‎‎32‎‎5‎,‎ ‎∴BD=‎4‎‎10‎‎5‎.‎ ‎(2)在△BCD中,由正弦定理,得CDsin∠CBD‎=BDsinC,‎1‎sin∠CBD=‎4‎‎10‎‎5‎‎4‎‎5‎=‎‎3‎‎10‎‎10‎.‎ ‎15.(2015河南中原名校联盟模拟,文15,利用正弦定理、余弦定理解三角形,填空题)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b2+c2+bc-a2=0,则asin(30°-C)‎b-c的值为　　　　　. ‎ 解析:∵在△ABC中,b2+c2+bc-a2=0,‎ 即b2+c2-a2=-bc,‎ ‎∴cos A=b‎2‎‎+c‎2‎-‎a‎2‎‎2bc=-‎1‎‎2‎,即A=120°,‎ 利用正弦定理化简得:‎ asin(30°-C)‎b-c‎=‎sinAsin(30°-C)‎sinB-sinC ‎=‎‎3‎‎2‎‎1‎‎2‎cosC-‎3‎‎2‎sinCsin(60°-C)-sinC ‎=‎‎3‎‎2‎‎1‎‎2‎cosC-‎3‎‎2‎sinC‎3‎‎2‎cosC-‎3‎‎2‎sinC ‎=‎1‎‎2‎‎3‎‎2‎cosC-‎3‎‎2‎sinC‎3‎‎2‎cosC-‎3‎‎2‎sinC‎=‎‎1‎‎2‎.‎ 答案:‎‎1‎‎2‎