2019-2020学年湖南省娄底市第一中学高一上学期期末数学试题（解析版）

2019-2020学年湖南省娄底市第一中学高一上学期期末数学试题（解析版）

‎2019-2020学年湖南省娄底市第一中学高一上学期期末数学试题 一、单选题 ‎1．设全集，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】先确定集合的元素，再由补集定义求解．‎ ‎【详解】‎ 由题意，∴．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查补集的运算，解题时需确定集合的元素后才能进行集合的运算．本题还考查了指数函数的单调性．‎ ‎2．已知空间中两点,则长为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据空间中的距离公式，准确计算，即可求解，得到答案．‎ ‎【详解】‎ 由空间中的距离公式，可得，故选C．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了空间中的距离公式，其中解答中熟记空间中的距离公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎3．在、、、中，最大的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】利用负指数幂和分数指数幂的含义对各数进行化简,再比较大小即可.‎ ‎【详解】‎ ‎，，‎ ‎，，‎ 所以最大的数为：，‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 该题考查的是有关指数幂的大小比较的问题，涉及到的知识点有实数幂的运算性质，属于简单题目.‎ ‎4．已知函数，则的值等于 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 根据自变量对应解析式代入求值,再根据求得函数值对应解析式代入求结果.‎ ‎【详解】‎ 因为,‎ 所以.‎ 故选:B ‎【点睛】‎ 本题考查求分段函数的函数值,要先确定要求值的自变量属于哪一段区间,然后代入该段的解析式,从内到外依次求值,属于基础题.‎ ‎5．直线与圆相切，则（ ）‎ A．-2或12 B．2或-12 C．-2或-12 D．2或12‎ ‎【答案】D ‎【解析】∵直线与圆心为（1,1）,半径为1的圆相切，∴＝1或12,故选D.‎ ‎【考点】本题主要考查利用圆的一般方程求圆的圆心和半径，直线与圆的位置关系，以及点到直线的距离公式的应用.‎ ‎6．函数是（ ）‎ A．奇函数，且在上是增函数 B．奇函数，且在上是减函数 C．偶函数，且在上是增函数 D．偶函数，且在上是减函数 ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：易知f(x)的的定义域为R，又，所以f(x)是奇函数；‎ 又，因为在R上都是单调递增函数，所以也是R上的单调递增函数，故选A．‎ ‎【考点】函数的单调性和奇偶性；指数函数的单调性．‎ 点评：此题主要考查函数单调性的判断，属于基础题型．‎ ‎7．已知空间两条直线两个平面，给出下面四个命题：‎ ‎①，；‎ ‎②，，；‎ ‎③，；‎ ‎④，，．‎ 其中正确的序号是（ ）‎ A．①④ B．②③ C．①②④ D．①③④‎ ‎【答案】A ‎【解析】逐项判断后可得正确选项.‎ ‎【详解】‎ 对于①，两条平行线中的一条垂直一个平面，另一条也垂直此平面，故①正确；‎ 对于②，与不一定平行，也可能异面，故②错误；‎ 对于③，，或，故③错；‎ 对于④，，，又，故④正确．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查空间中与线、面位置关系有关的命题的真假，注意动态考虑给定的线、面位置关系，从而找到使命题不成立的反例，本题属于中档题.‎ ‎8．已知圆：与圆：，则两圆的位置关系是（ ）‎ A．相交 B．相离 C．内切 D．外切 ‎【答案】C ‎【解析】分析：求出圆心的距离，与半径的和差的绝对值比较得出结论。‎ 详解：圆，圆,，所以内切。故选C 点睛：两圆的位置关系判断如下：设圆心距为，半径分别为，则：‎ ‎，内含；，内切；，相交；，外切；，外离。‎ ‎9．过两点A(4，y)，B(2，-3)的直线的倾斜角是135°，则y等于　(　　)‎ A．1 B．5 C．-1 D．-5‎ ‎【答案】D ‎【解析】∵过两点A(4，y)，B(2，-3)的直线的倾斜角是135°，‎ ‎∴，‎ 解得。选D。‎ ‎10．边长为6的两个等边，所在的平面互相垂直，则四面体的外接球表面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据题意，确定外接球球心为过等边三角形中心与，且与所在平面垂直的两条直线的交点，则为外接球半径，在可知，则，，在中，，再根据球的表面积公式，求解即可.‎ ‎【详解】‎ 如图所示：‎ 为过中心且垂直平面的直线，为过中心且垂直平面的直线，与相交于点.‎ 由球的性质知：四面体的外接球球心为点.‎ 取的中点为，则，，三点共线，，，三点共线，，‎ 所以，‎ 因为为的中心，所以.‎ 因为，所以.‎ 又因为，所以.‎ 即外接球表面积为.‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题考查四面体外接球表面积，属于较难的一道题.‎ ‎11．已知函数,若存在实数,,满足,其中,则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为且,由图像可知在二次函数图像上且,数形结合求出的取值范围,即可求得的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 画出图像,如图 ‎ 且,‎ 由图像可知在二次函数图像上且 由图可知,,即 ‎ ‎ ‎ 的取值范围是:.‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查分段函数的图像与性质,考查了二次函数指数函数的性质以及数形结合思想的应用,数形结合是根据数量与图形之间的对应关系,通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法,函数图像是函数的一种表达形式,它形象地揭示了函数的性质.‎ ‎12．已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E为棱CC1的中点，点M在正方形BCC1B1内运动，且直线AM//平面A1DE,则动点M 的轨迹长度为（ ）‎ A． B．π C．2 D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】设平面DA1E与直线B1C1交于点F，连接AF、EF，则F为B1C1‎ 的中点．分别取B1B、BC的中点N、O，连接AN、ON、AO，可证出平面A1DE∥平面ANO，从而得到NO是平面BCC1B1内的直线．由此得到点M的轨迹被正方形BCC1B1截得的线段是线段ON．‎ ‎【详解】‎ 解：设平面DA1E与直线B1C1交于点F，连接AF、EF，‎ 则F为B1C1的中点．‎ 分别取B1B、BC的中点N、O，连接AN、ON、AO，‎ 则∵A1F∥AO，AN∥DE，A1F，DE⊂平面A1DE，‎ AO，AN⊂平面ANO，‎ ‎∴A1F∥平面ANO．同理可得DE∥平面ANO，‎ ‎∵A1F、DE是平面A1DE内的相交直线，‎ ‎∴平面A1DE∥平面ANO，‎ 所以NO∥平面A1DE，‎ ‎∴直线NO⊂平面A1DE，‎ ‎∴M的轨迹被正方形BCC1B1截得的线段是线段NO．‎ ‎∴M的轨迹被正方形BCC1B1截得的线段长NO．‎ 故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题给出正方体中侧面BCC1B1内动点M满足NO∥平面A1DE，求M的轨迹被正方形BCC1B1截得的线段长，着重考查了正方体的性质，解题时要注意空间思维能力的培养．‎ 二、填空题 ‎13．若，则______写出最简结果 ‎【答案】1‎ ‎【解析】先利用换底公式将底数变为一样，再利用对数的运算性质即可求解．‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ ‎．‎ 故答案为1．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查对数值的求法，考查对数性质、运算法则、换底公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．‎ ‎14．已知直线：，直线：，且，则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据直线与直线垂直，等价于，求解即可.‎ ‎【详解】‎ 因为，所以，即.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查两条直线垂直的充要条件，属于较易题.‎ ‎15．已知圆锥底面半径与球的半径都是lcm，如果圆锥的体积与球的体积恰好也相等，那么这个圆锥的侧面积是_________.‎ ‎【答案】π ‎【解析】由已知求出圆锥的母线长，代入圆锥的侧面积公式，可得答案．‎ ‎【详解】‎ 由题意可知球的体积为：13cm3，‎ 圆锥的体积为：π×12×hhcm3，‎ 因为圆锥的体积恰好也与球的体积相等，‎ 所以 h，所以h＝4cm，‎ 圆锥的母线：lcm．‎ 故圆锥的侧面积S＝πrlπcm2，‎ 故答案为π ‎【点睛】‎ 本题考查球的体积与圆锥的体积公式的应用，考查计算能力．‎ ‎16．若为半圆直径延长线上的一点，且，过动点作半圆的切线，切点为，若，则面积的最大值为____．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】以所在的直线为轴，以的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，设 ，根据，求得，结合圆的性质，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由题意，以所在的直线为轴，以的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，‎ 因为，所以，‎ 设 ，因为过点作半圆的切线，‎ 因为，所以，‎ 整理，得，‎ 以点的轨迹方程是以为圆心，以为半径的圆，‎ 所以当点在直线上时，的面积最大，‎ 最大值为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了三角形面积的最大值的求法，以及圆的方程的求解及应用，其中解答中认真审题，注意两点间距离公式的合理运用，求得动点的轨迹是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.‎ 三、解答题 ‎17．已知函数，.‎ ‎（1）解方程；‎ ‎（2）若不等式的解集为，函数的定义域为，求.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）先确定，再解方程，即可.‎ ‎（2）不等式等价于，得集合，再根据，得函数的定义域，然后求交集即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为，由，则，解得；‎ ‎（2）由，得 解得，则.‎ 由，得，则.‎ 所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查已知函数值求自变量，以及集合运算，属于中档题.‎ ‎18．如图，已知点，是以为底边的等腰三角形，点在直线:上．‎ ‎（1）求边上的高所在直线的方程；‎ ‎（2）求的面积．‎ ‎【答案】解：（Ⅰ） x－y－1＝0；（Ⅱ）2‎ ‎【解析】【详解】‎ ‎（1）由题意，求得直线的斜率，从而得到，利用直线的点斜式方程，即可求解直线的方程；‎ ‎（2）由，求得，利用两点间的距离公式和三角形的面积公式，即可求得三角形的面积.‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）由题意可知，为的中点，‎ ‎∴，且，‎ ‎∴所在直线方程为，‎ 即. ‎ ‎（Ⅱ）由得 ‎∴ ‎ ‎∴,‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎19．如图，四棱锥中，底面是边长为1的正方形，分别为，的中点，侧面底面，且.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求三棱锥的体积.‎ ‎【答案】（1）证明见解析（2）‎ ‎【解析】（1）连接，则是的中点，即，根据线面平行的判定定理，证明即可.‎ ‎（2）取的中点，连接，则为三棱锥的高，在中，，根据，求解即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）连接，则是的中点.‎ 因为为的中点 所以在中，‎ 又因为且平面，平面 所以平面.‎ ‎（2）取的中点，连接，则 ‎∵‎ ‎∴‎ 又平面平面，平面平面，平面 ‎∴平面.‎ 在中，‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查线面平行的判定定理，以及求三棱锥体积，属于中档题.‎ ‎20．已知圆经过点，且与直线相切，圆心在直线上.‎ ‎（1）求圆的方程；‎ ‎（2）点在直线上，过点作圆的两条切线，分别与圆切于、两点，求四边形周长的最小值.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】（1）由题意设，半径为，则圆的方程为，由题意圆经过点，且与直线相切，得到关于，的方程解得即可；‎ ‎（2）由题意得：四边形周长，其中，利用点到直线的距离即可求得答案.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为圆心在直线上，所以可设，半径为，‎ 则圆的方程为；又圆经过点，且与直线相切，‎ 所以，解得，所以圆的方程为.‎ ‎（2）由题意：四边形周长，其中， ‎ 即取最小值时，此时周长最小，又因在直线上，即圆心到直线的距离时，的最小值为，‎ 所以周长，‎ 故四边形周长的最小值为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线与圆的位置关系，圆的方程的求法，属于中档题.‎ ‎21．如图,点是以为直径的圆周上的一点， ,平面，点 为中点.‎ ‎（Ⅰ）求证：平面平面 ；‎ ‎（Ⅱ）求直线与平面所成角的大小.‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）‎ ‎【解析】试题分析：（I）由于是圆的直径，所以，由于平面，所以，所以平面，所以，根据等腰三角形三线合一有，故面，故面面.（II）设圆心为，过作的平行线，利用线面角的定义可知角即是线面角的平面角，通过解直角三角形求得线面角的大小.‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ） 是圆的直径， , ‎ ‎ 　　 ‎ 又中点， 所以 ‎ 所以面面 ‎ ‎（Ⅱ）‎ 设圆心为O,则由 得且 ‎ 取的中点，则,所以 ‎ 连就是直线所成角， ‎ 所以 ，‎ 所成角为 ‎ ‎22．已知函数为偶函数.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）已知函数，，若的最小值为0，求的值 .‎ ‎【答案】（1）k＝﹣ ；（2）‎ ‎【解析】（1）由f（x）为偶函数，得f（﹣x）＝f（x），代入求得k的值即可；‎ ‎（2）化简函数，换元，转化为，讨论二次项系数及对称轴得最小值，由此可求m的值．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为y＝f（x）为偶函数，所以∀x∈R，f（﹣x）＝f（x），‎ 即对于∀x∈R恒成立．‎ 即2kx＝恒成立 而x不恒为零，所以k＝﹣ ；‎ ‎（2）函数= ‎ 令3x＝t ，为二次函数，对称轴为 ‎ 若，恒成立不合题意 故，函数开口向下。‎ 当即时，函数最小值为符合题意 当即时，函数最小值为不符合题意 综上 ‎【点睛】‎ 本题重点考查函数奇偶性的应用，考查二次函数的值域，解题的关键是正确运用分类讨论，合理将问题进行等价转化，是中档题