2018届二轮复习三角函数一题多解举例学案（全国通用）

2018届二轮复习三角函数一题多解举例学案（全国通用）

三角函数一题多解举例 例1:求函数（）的值域。‎ 解法一：利用合一公式 ‎，‎ ‎ 所以，又，‎ 所以，解得，‎ ‎ 所以函数（）的值域为。‎ 解法二：斜率法 ‎，可看成点与连线的斜率，而在圆上，‎ ‎ 当与圆相切时分别取到最值，结合图形易得函数（）的值域为．‎ 解法三：导数法 ‎，令得，从而．‎ 例2：对任意恒成立，求的最大值．‎ ‎ 解法一：特值法，特别快 在中取得，∴，‎ ‎ 当时，‎ ‎ ，所以的最大值为2.‎ ‎ 解法二：构造二次函数 原不等式即即，‎ 令，‎ （1） 当时，的图象是开口向下的抛物线或者直线，‎ 所以只要 （2） 由得 ‎ 若则；‎ ‎ 若则由得，故．‎ ‎ （3）由得，‎ 由柯西不等式，，故，‎ 当且仅当即时取等号，此时满足．‎ 综上，的最大值为2.‎ 例3：设，且恒成立，求的取值范围.‎ 解法1（分离参数，构造函数，利用导数）：‎ 不等式等价于，‎ ‎，‎ ‎.‎ ‎∵，.‎ ‎（1）当时，不等式显然成立.‎ ‎（2）当时，不等式等价于，‎ 令，则，‎ 是减函数， ∴‎ 综上，的取值范围是.‎ 解法2（利用二次函数的性质）：‎ 不等式等价于，‎ 即， ‎ 即.‎ 令，则.‎ 令 ‎（1）当时，，符合题意. ‎ ‎（2）当时，符合题意. ‎ ‎（3）当时，∴‎ 综上，的取值范围是.‎ 解法3（分离参数，再分离常数，一般可以利用基本不等式，但是本题中利用基本不等式时等号不成立，于是仍然利用函数的单调性）：‎ 不等式等价于，‎ 即，即.‎ ‎∵，.‎ ‎（1）当时，不等式显然成立.‎ ‎（2）当时，不等式等价于，‎ 设，则，‎ 且，‎ 令，则，‎ ‎∴是减函数， ∴∴‎ 综上，的取值范围是.‎ 解法4( 利用函数的图象): ‎ 不等式等价于，‎ 即，即，‎ 令 ，则，.‎ 在同一个坐标系中作出函数和的图象，‎ 注意到的图象是以为端点的线段，‎ 由图象可知只要即，∴‎ 即的取值范围是.‎ 解法5(直接求导法，注意分类讨论，实际上与解法2类似，只是没有换元) ：‎ 令，‎ ‎.‎ ‎∵，∴，，‎ ‎（1）当时，，是增函数，‎ 符合题意.‎ ‎（2）当时，时，，时，，‎ ‎ ，符合题意.‎ ‎（3）当时，∴‎ 综上，的取值范围是.‎