数学卷·2018届山西省平遥中学高二上学期期中考试数学试卷（解析版）

数学卷·2018届山西省平遥中学高二上学期期中考试数学试卷（解析版）

‎2016-2017学年山西省平遥中学高二上学期期中考试数学 一、选择题：共12题 ‎1．如下图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是 A.(1)是棱台 B.(2)是圆台 C.(3)是棱锥 D.(4)不是棱柱 ‎【答案】C ‎【解析】本题主要考查空间简单几何体.(1)不是棱台，因为没有可能出现侧棱延长线交于一点的情况；(2)不是圆台，因为上底面与下底面不平行；(3)是棱锥；(4)是棱柱，故答案为C.‎ ‎ ‎ ‎2．若三点A(0，8)，B(－4，0)，C(m，－4)共线，则实数m的值是 A.6 B.－2  C.－6 D.2‎ ‎【答案】C ‎【解析】本题主要考查直线的斜率公式.因为三点A(0，8)，B(－4，0)，C(m，－4)共线，所以kAB=kAC,即,则 ‎ ‎ ‎3．用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是 ‎【答案】A ‎【解析】本题主要考查斜二测画法.应用斜二测画法时，与坐标轴平行的保持平行，与x轴平行的长度保持不变，与y轴平行的，在直观图下长度为原来的一半.结合选项可知，本题焦点主要在于与y轴平行时的长度变化.直观图下，，则原图中的长度为，对比选项，故选A.‎ ‎【备注】统计历年的高考题可以看出，对于斜二测画法，高考在于要求学生能够识别直观图，故考查相对较少.若考查，也属于容易题，一般分布在前3题.‎ ‎ ‎ ‎4．过点(3，－6)且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是 A.2x＋y＝0 B.x＋y＋3＝0‎ C.x－y＋3＝0 D.x＋y＋3＝0或2x＋y＝0‎ ‎【答案】D ‎【解析】本题主要考查直线方程及其在坐标轴上的截距，考查了分类讨论思想.当直线过原点时，易得直线方程为2x＋y＝0；当直线不过原点时，由题意设直线方程为x+y=a，则a=—3，即直线方程为x＋y＋3＝0，故答案为D.‎ ‎ ‎ ‎5．某几何体的正视图和侧视图均如下图所示,则下面四个图中可以作为该几何体的俯视图的是 A.(1),(3) B.(1),(4) C.(2),(4) D.(1),(2),(3),(4)‎ ‎【答案】A ‎【解析】由于几何体的正视图和侧视图一样,可知该几何体可以为一个正方体上面放着一个球,也可以是一个圆柱上面放着一个球,则其俯视图可为(1)(3).‎ ‎ ‎ ‎6．设点A(3，－5)，B(－2，－2)，直线l过点P(1，1)且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是 A.k≥1或k≤－3 B.－3≤k≤1 C.－1≤k≤3 D.以上都不对 ‎【答案】A ‎【解析】本题主要考查直线的方程与斜率，考查了数形结合思想.如图所示，kPA=－3,kPB=1,由题意可得直线l的斜率k的取值范围是k≥1或k≤－3‎ ‎ ‎ ‎7．已知某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积是 A.108 cm3 B.100 cm3 C.92 cm3 D.84 cm3‎ ‎【答案】B ‎【解析】本题考查三视图与几何体的体积计算.由题意可知此几何体为一个长方体ABCD-A1B1C1D1截去一个三棱锥A-DEF后剩下的部分,如图所示,‎ 其中这个长方体的长、宽、高分别为6 cm,3 cm,6 cm,故其体积为6×3×6=108(cm3).三棱锥的三条棱AE,AF,AD的长分别为4 cm,4 cm,3 cm,故其体积为×(×4×3)×4=8(cm3),所以所求几何体的体积为108-8=100(cm3),故选B.‎ ‎ ‎ ‎8．已知圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1，圆C2与圆C1关于直线x－y－1＝0对称，则圆C2的方程为 A.(x＋2)2＋(y－2)2＝1 B.(x－2)2＋(y－2)2＝1‎ C.(x＋2)2＋(y＋2)2＝1 D.(x－2)2＋(y＋2)2＝1‎ ‎【答案】D ‎【解析】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查了转化思想与逻辑推理能力.设C2(x,y),由题意可知C1与C2关于直线x－y－1＝0，则,求解可得C2(2,—2)，所以圆C2的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝1‎ ‎ ‎ ‎9．如图，正方体的棱线长为1，线段上有两个动点E，F，且，则下列结论中错误的是 A. B.‎ C.三棱锥的体积为定值 D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】本题主要考查空间几何体、线面平行与垂直的判定与性质、空间几何体的表面积与体积，考查了逻辑推理能力与空间想象能力.在正方体中，,易得,则有，则，故A正确；所以三棱锥的体积为定值，则C正确；易知平面，所以，故B正确，因此答案为D.‎ ‎ ‎ ‎10．若圆(x－a)2＋(y－b)2＝b2＋1始终平分圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝4的周长，则a、b应满足的关系式是 A.a2－2a－2b－3＝0 B.a2＋2a＋2b＋5＝0‎ C.a2＋2b2＋2a＋2b＋1＝0 D.3a2＋2b2＋2a＋3b＋1＝0‎ ‎【答案】B ‎【解析】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查了逻辑推理能力.将两个圆的方程相减可得相交弦所在直线方程为a2—(2＋2a)x—(2＋2b)＋1＝0,由题意可知，直线过圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝4的圆心(—1,—1),则代入直线方程，化简可得a2＋2a＋2b＋5＝0‎ ‎ ‎ ‎11．在平面直角坐标系xOy中，以点(1，0)为圆心且与直线mx－y－2m－1＝0(m∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 A.(x－1)2＋y2＝1 B.(x－1)2＋y2＝4 C.(x－1)2＋y2＝2 D.(x－1)2＋y2＝.‎ ‎【答案】C ‎【解析】本题主要考查点线圆的位置关系、点到直线的距离公式，考查了逻辑推理能力与计算能力.由题意可知圆的半径r=,当且仅当m=1时，等号成立，此时圆的半径最大，标准方程为(x－1)2＋y2＝2，故答案为C.‎ ‎ ‎ ‎12．已知四棱锥SABCD的所有顶点都在同一球面上，底面ABCD是正方形且和球心O在同一平面内，当此四棱锥体积取得最大值时，其表面积等于4＋4，则球O的体积等于 A.π B.π C.π D.π ‎【答案】B ‎【解析】本题主要考查空间几何体、球、表面积与体积，考查了逻辑推理能力与空间想象能力.由题意可知，当此四棱锥体积取得最大值时，OS垂直平面ABCD，设球的半径为R，则OS=R，底面正方形的边长AB=,则,所以，则该球的体积V= π 二、填空题：共4题 ‎13．两个圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0与C2：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的公切线的条数是________.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】本题主要考查点线圆的位置关系、两点间的距离公式，考查了分析问题与解决问题的能力.由两个圆的方程可得圆心与半径分别为C1(—1，—1),r1=2,C2(2,1),r2=2,又因为|C1C2|=<4=r1+r2,即两个圆相交，所以这两个圆的公切线的条数为2‎ ‎ ‎ ‎14．圆x2＋(y＋1)2＝3绕直线kx－y－1＝0旋转一周所得的几何体的表面积为________.‎ ‎【答案】12π ‎【解析】本题主要考查旋转体、球的表面积与体积、直线与圆的位置关系，考查了空间想象能力. 直线kx－y－1＝0过定点(0,—1)，是圆x2＋(y＋1)2＝3的圆心，所以圆x2＋(y＋1)2＝3绕直线kx－y－1＝0旋转一周所得的几何体是半径为R=的球，所以该球的表面积S=4πR2=12π ‎ ‎ ‎15．若直线l与平面α相交于点O，A，B∈l，C，D∈α，且AC∥BD，则O，C，D三点的位置关系是________‎ ‎【答案】共线 ‎【解析】本题主要考查点线面的位置关系，考查了空间想象能力.由题意，设AC、BD确定一个平面，则A、B、C、D、l均在平面内，所以点O在平面内，又点O、C、D在α内，所以两个平α、面相交，且O，C，D三点共线（公理3）.‎ ‎ ‎ ‎16．已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为________‎ ‎【答案】5－4‎ ‎【解析】本题主要考查点线圆的位置关系、两点间的距离公式、对称性，考查了转化思想与逻辑推理能力.圆C1关于x轴的对称圆C3的方程为(x－2)2＋(y+3)2＝1，点M关于x轴的对称点Q在圆C3上，则|PM|＋|PN|=|PQ|＋|PN|，又|C2C3|=5,所以当点P、N、Q三点共线时，|PM|＋|PN|取得最小值为5－4‎ ‎ ‎ 三、解答题：共6题 ‎17．已知直线l1：ax＋by＋1＝0(a，b不同时为0)，l2：(a－2)x＋y＋a＝0，‎ ‎(1)若b＝0，且l1⊥l2，求实数a的值；‎ ‎(2)当b＝3，且l1∥l2时，求直线l1与l2之间的距离.‎ ‎【答案】(1)当b＝0时，直线l1的方程为ax＋1＝0，‎ 由l1⊥l2，知a－2＝0，解得a＝2.‎ ‎(2)当b＝3时，直线l1的方程为ax＋3y＋1＝0，‎ 当l1∥l2时，有解得a＝3，‎ 此时，直线l1的方程为3x＋3y＋1＝0，‎ 直线l2的方程为x＋y＋3＝0，即3x＋3y＋9＝0.‎ 故所求距离为d＝＝.‎ ‎【解析】本题主要考查两条直线的位置关系、平行直线间的距离公式，考查了计算能力.(1)由题意易知a－2＝0；(2)由题意可得，求出a的值，再利用两平行直线间的距离公式求解即可（利用两平行直线间的距离公式时，首先将两个方程的系数化为相等，即3x＋3y＋1＝0与3x＋3y＋9＝0）.‎ ‎ ‎ ‎18．如图，在直三棱柱（侧棱垂直底面）ABCA1B1C1中，A1B1＝A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点(点D不同于点C)，且AD⊥DE，F为B1C1的中点.‎ 求证：(1)平面ADE⊥平面BCC1B1；‎ ‎(2)直线A1F∥平面ADE.‎ ‎【答案】(1)因为三棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱，‎ 所以CC1⊥平面ABC.‎ 又因为AD⊂平面ABC，所以CC1⊥AD.‎ 因为AD⊥DE，CC1，DE⊂平面BCC1B1，‎ 且CC1∩DE＝E，所以AD⊥平面BCC1B1.‎ 又因为AD⊂平面ADE，‎ 所以平面ADE⊥平面BCC1B1‎ ‎(2)法一：因为A1B1＝A1C1，F为B1C1的中点，‎ 所以A1F⊥B1C1.‎ 又因为CC1⊥平面A1B1C1，‎ 且A1F⊂平面A1B1C1，‎ 所以CC1⊥A1F.‎ 又因为CC1，B1C1⊂平面BCC1B1，且CC1∩B1C1＝C1，‎ 所以A1F⊥平面BCC1B1.‎ 由(1)知，AD⊥平面BCC1B1，所以A1F∥AD.‎ 又因为AD⊂平面ADE，A1F⊄平面ADE，‎ 所以直线A1F∥平面ADE.‎ 法二：由(1)知，AD⊥平面BCC1B1，‎ 因为BC⊂平面BCC1B1，所以AD⊥BC.‎ 因为A1B1＝A1C1，所以AB＝AC.‎ 所以D为BC的中点.‎ 连接DF(图略)，因为F是B1C1的中点，‎ 所以DF、BB1与AA1平行且相等.‎ 所以四边形ADFA1是平行四边形.所以A1F∥AD.‎ 因为AD⊂平面ADE，A1F⊄平面ADE，‎ 所以A1F∥平面ADE.‎ ‎【解析】本题主要考查线面、面面平行与垂直的判定与性质，考查了逻辑推理能力与空间想象能力.(1)易证AD⊥平面BCC1B1（也可以利用面面垂直的性质定理证明），则结论可得；(2)法一：由(1)易得A1F⊥平面BCC1B1，则A1F∥AD，结论易得；法二：证明四边形ADFA1是平行四边形，即可得出结论.‎ ‎ ‎ ‎19．已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0(m∈R).‎ ‎(1)求证：直线l恒过定点；‎ ‎(2)判断直线l与圆C的位置关系；‎ ‎(3)当m＝0时，求直线l被圆C截得的弦长.‎ ‎【答案】(1)证明：直线l的方程可化为 ‎(2x＋y－7)m＋x＋y－4＝0.‎ 因为m∈R，‎ 所以解得 所以直线l恒过定点A(3，1).‎ ‎(2)解：圆心C(1，2)，|AC|＝＝<5，‎ 所以点A在圆C内.‎ 从而直线l与圆C相交(无论m为何实数).‎ ‎(3)解：当m＝0时，直线l的方程为x＋y－4＝0，‎ 圆心C(1，2)到它的距离为d＝＝.‎ 所以此时直线l被圆C截得的弦长为2＝7.‎ ‎【解析】本题主要考查直线方程、直线与圆的位置关系、点到直线的距离，考查了转化思想与计算能力.(1) (2x＋y－7)m＋x＋y－4＝0，由m∈R，则有，求解可得结论；(2)由(1)的结论，判断|AC|与圆的半径的大小关系，即可得出结论；(3)求出圆心到直线的距离d，再由圆的垂径定理可得弦长为2.‎ ‎ ‎ ‎20．如图，三棱柱中，侧面为菱形，的中点为，且平面 ‎（1）证明：‎ ‎（2）若,，求三棱柱的高.‎ ‎【答案】‎ ‎（1）连结，则O为与的交点，因为侧面为菱形，所以^，又平面，故=平面，‎ 由于平面，‎ 故 ‎（2）作OD⊥BC,垂足为D,连结AD,作OH⊥AD,垂足为H,‎ 由于BC⊥AO,BC⊥OD,故BC⊥平面AOD,所以OH⊥BC.‎ 又OH⊥AD,所以OH⊥平面ABC.‎ 因为,所以△为等边三角形,又BC=1,可得OD=，由于，所以，由OH·AD=OD·OA,且，得OH=‎ 又O为B1C的中点,所以点B1到平面ABC的距离为,‎ 故三棱柱ABC-A1B1C1的高为 ‎【解析】本题主要考查线面、面面垂直的判定与性质、点到平面的距离，考查了逻辑推理能力与空间想象能力.(1) 连结，则O为与的交点，根据题意，证明平面，则可得结论；(2) 作OD⊥BC,垂足为D,连结AD,作OH⊥AD,垂足为H,易得OH⊥平面ABC，又O为B1C的中点,所以点B1到平面ABC的距离为2OH，求解可得结论.‎ ‎ ‎ ‎21．已知m∈R，直线l：和圆C：.‎ ‎（1）求直线l斜率的取值范围；‎ ‎（2）直线l能否将圆C分割成弧长的比值为的两段圆弧？为什么？‎ ‎【答案】（1）直线的方程可化为，‎ 直线的斜率，‎ 因为，‎ 所以，当且仅当时等号成立.‎ 所以，斜率的取值范围是.‎ ‎（2）不能.‎ 由（1）知的方程为 ‎，其中.‎ 圆的圆心为，半径.‎ 圆心到直线的距离 ‎.‎ 由，得，即.从而，若与圆相交，则圆截直线所得的弦所对的圆心角小于.‎ 所以不能将圆分割成弧长的比值为的两段弧 ‎【解析】本题主要考查直线的斜率、直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式，考查了逻辑推理能力与计算能力.(1)易得直线的斜率，由易得结论；(2) 由（1）知的方程为，其中，由题意可得圆截直线所得的弦所对的圆心角等于，即圆心到直线l的距离等于，则计算可得结论.‎ ‎ ‎ ‎22．已知边长为4的菱形中，.将菱形沿对角线折起得到三棱锥，设二面角的大小为.‎ ‎（1）当时，求异面直线与所成角的余弦值；‎ ‎（2）当时，求直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎【答案】‎ 由题意可知二面角的平面角为，即.‎ ‎（1）当时，即，分别取，的中点，，连结，，，∵，，‎ ‎∴为异面直线与所成的角或其补角，‎ 在△中，，，，‎ ‎∴，即异面直线与所成角的余弦值为.‎ ‎（2）‎ 当时，即，由题意可知平面，△为等边三角形，取的中点，则有平面，且，即直线与平面所成的角为，‎ ‎∴，即直线与平面所成角的正弦值为 ‎【解析】本题主要考查折叠问题、线面、面面垂直的判定与性质、二面角、直线与平面所成的角，考查了逻辑推理能力与空间想象能力. 由题意可知二面角的平面角为，即，(1) 分别取，的中点，，连结，，，易知为异面直线与所成的角或其补角，在△中，易求结果；(2) 由题意可知平面，△为等边三角形，取的中点，则有平面，且，即直线与平面所成的角为，求解即可.‎ ‎ ‎