宁夏回族自治区银川市一中2020届高三12月月考数学（文）试题

宁夏回族自治区银川市一中2020届高三12月月考数学（文）试题

银川一中2020届高三年级第四次月考 文科数学 注意事项：‎ ‎1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.‎ ‎2．作答时，务必将答案写在答题卡上.写在本试卷及草稿纸上无效.‎ ‎3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1.已知，那么复数对应的点位于复平面内的（ ）‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由复数除法运算求得，进而得，从而可得解.‎ ‎【详解】由，可得.‎ 所以对应的点位于复平面内的第二象限.‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题主要考查了复数的除法运算及共轭复数的概念，属于基础题.‎ ‎2.已知集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 此题考查一元二次不等式的解法、集合的运算；因为，所以，选B ‎3.已知数列为等差数列，且,则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由等差数列的性质可得，可求，进而可求，代入所求式子即可得答案.‎ ‎【详解】由等差数列的性质可得，，‎ ‎，，‎ ‎，‎ ‎.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本题主要考查等差中项及特殊角的三角函数值，考查基本运算求解能力，属于基础试题.‎ ‎4.设向量, 则是“”的（ ）‎ A. 充分但不必要条件 B. 必要但不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用向量共线的充要条件：向量的坐标交叉相乘相等；求出的充要条件，判断前者成立是否能推出后者成立，反之判断后者成立能否推出前者成立，利用充要条件的定义得到结论．‎ ‎【详解】的充要条件为，即或，‎ ‎“”是“或”成立的充分不必要条件， “”是“”的充分不必要条件， 故选A．‎ ‎【点睛】‎ 判断一个命题是另一个命题的什么条件，一般先对各个条件进行化简，再利用充要条件的定义加以判断．‎ ‎5.直线与圆相交所截的弦长为（ ）‎ A. B. C. 2 D. 3‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【详解】圆的圆心(0,0),半径为1，‎ 因为直线，‎ 可得圆心到直线的距离为，‎ 则利用勾股定理可知相交所截弦长为，‎ 故选B ‎6.如图，一个简单空间几何体的三视图其主视图与侧视图都是边长为2的正三角形，俯视图轮廓为正方形，则此几何体的表面积是 A. B. 12‎ C. D. 8‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【详解】由题意可得该几何体为一个正四棱锥，‎ 底面是一个边长为2的正方形，其面积为4.‎ 侧面是的底边长为2，高为的等腰三角形，‎ 四个侧面积为8.所以全面积为4+8=12.‎ 故选B.‎ ‎7.已知函数，实数是方程的解，若，则的值（ ）‎ A. 恒为负数 B. 等于零 C. 恒为正数 D. 可正可负 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用指数函数和对数函数在上的单调性，可得函数的单调性．再利用函数零点的意义即可得出．‎ ‎【详解】实数是方程的解，．‎ 函数与在上分别单调递减、单调递增，‎ 函数是减函数．‎ 又，‎ ‎．‎ 故选C．‎ ‎【点睛】本题考查利用函数的单调性判断函数值的正负，求解时要会利用两个增函数的和仍是增函数这一知识，属于基础题．‎ ‎8.将函数的图象向左平移个单位长度，所得函数的解析式是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用三角函数图象的平移变换法则求解即可.‎ ‎【详解】函数的图象向左平移个单位长度，‎ 得到的图象，‎ 即所得函数的解析式是，‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本题考查了三角函数的图象，重点考查学生对三角函数图象变换规律的理解与掌握，能否正确处理先周期变换后相位变换这种情况下图象的平移问题，反映学生对所学知识理解的深度.‎ ‎9.已知点F1、F2分别是椭圆(a＞b＞0)的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与椭圆交于A、B两点，若△ABF2为正三角形，则椭圆的离心率是（ ）‎ A. 2 B. C. 3 D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出的长，直角三角形 中，由边角关系得建立关于离心率的方程，解方程求出离心率的值.‎ 详解】由已知可得，，‎ ‎，，‎ ‎，.‎ 故选D.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的离心率，求解时要会利用直角三角形中的边角关系，得到关于 的方程，从而求得离心率的值．‎ ‎10.己知双曲线（，）的焦点在轴上，一条渐近线方程是，其中数列是以4为首项的正项数列，则数列通项公式是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 双曲线过程化为标准方程，求出渐近线方程可得数列是等比数列，公比是2，从而可得结果.‎ ‎【详解】由题意可得，双曲线的标准方程是，‎ ‎，‎ ‎，‎ 双曲线的一条渐近线方程是，‎ ‎ ，，‎ ‎ ，，‎ 数列是等比数列，公比是2，‎ 数列的首项是4，‎ ‎，故选D ‎【点睛】本题主要考查等比数列的定义、等比数列的通项公式以及双曲线的方程与性质，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.‎ ‎11.在三棱柱中，已知，侧面，且直线与底面所成角的正弦值为,则此三棱柱的外接球的表面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由条件可得三棱柱为直三棱柱，且三条侧棱两两互相垂直，从而可把该三棱柱补成长方体，再利用长方体对角线的平方等于三条棱的平方和，求得外接球的半径，进而求得外接球的表面积.‎ ‎【详解】三棱柱如图所示，‎ 因为，所以该三棱柱为直三棱柱.‎ 因为侧面，所以三条侧棱两两互相垂直.‎ 所以为直线与底面所成角，‎ 所以，则.‎ 因为所以.‎ 将三棱柱补成长方体，设外接球的半径为，‎ 所以，‎ 所以.‎ 故选D.‎ ‎【点睛】本题考查柱体与球的切接问题，考查空间想象能力和运算求解能力，求解时要会用补形法将三棱柱补成长方体，从而使外接球的半径更好求解.‎ ‎12.已知函数，且，都有成立，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设，将不等式，再构造函数，得到两个函数在的单调性，最后利用导数求得的取值范围.‎ ‎【详解】不妨设，则 ‎，‎ 所以，‎ 令，则 所以在单调递减，在单调递增，‎ 所以在恒成立，‎ 所以在恒成立，‎ 所以且，解得：.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查函数与方程思想、数形结合思想，求解的关键在于构造新函数，再利用导数求解，属于难题.‎ 二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．）‎ ‎13.设双曲线 (a>0)的渐近线方程为3x±2y＝0，则a的值为______.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意，，即可求出的值.‎ ‎【详解】由渐近线方程为3x±2y＝0，可得，‎ ‎，‎ ‎.‎ 故答案为2.‎ ‎【点睛】本题主要考查了双曲线的简单性质，属基础题.‎ ‎14.某银行开发出一套网银验证程序，验证规则如下：（1）有两组数字，这两组数字存在一种对应关系；第一组数字对应于第二组数字；（2）进行验证时程序在电脑屏幕上依次显示产生第二组数字，用户要计算出第一组数字后依次输入电脑，只有准确输入方能进入，其流程图如图，试问用户应输入a,b,c的值是__________.‎ ‎【答案】3,4,5‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：欲求出用户应输入的内容，即解一个三元方程组可得到答案．‎ ‎【详解】读流程图，知只要解方程组：，解得：.‎ 所以用户应输入：3，4，5.‎ 故答案为3，4，5.‎ ‎【点睛】语句的识别问题是一个逆向性思维，一般我们认为我们的学习是从算法步骤（自然语言）至程序框图，再到算法语言（程序）．如果将程序摆在我们的面前时，我们要从识别逐个语句，整体把握，概括程序的功能．‎ ‎15.已知圆：与圆：相外切，则的最大值为_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据圆与圆之间的位置关系，两圆外切则圆心距等于半径之和，得到a+b=3．利用基本不等式即可求出ab的最大值．‎ ‎【详解】由已知， 圆C1：（x-a）2+（y+2）2=4的圆心为C1（a，-2），半径r1=2． 圆C2：（x+b）2+（y+2）2=1的圆心为C2（-b，-2），半径r2=1． ∵圆C1：（x-a）2+（y+2）2=4与圆C2：（x+b）2+（y+2）2=1相外切， ∴|C‎1C2|==r1+r2=3‎ 要使ab取得最大值，则a，b同号，不妨取a＞0，b＞0，则a+b=3， 由基本不等式，得 ． 故答案为．‎ ‎【点睛】本题考查圆与圆之间的位置关系，基本不等式等知识，属于中档题．‎ ‎16.在双曲线的右支上存在点，使得点与双曲线的左、右焦点，形成的三角形的内切圆的半径为，若的重心满足，则双曲线的离心率为__________.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设，，，运用三角形的重心坐标，求得内心的坐标，可得，再结合双曲线的定义和等积法，求得，再由双曲线的离心率公式和第二定义，可得，将的坐标代入双曲线的方程，运用，，的关系和离心率公式，即可得到所求离心率．‎ ‎【详解】设，，，‎ 可得重心，即，‎ 设△的内切圆与边的切点，与边的切点为，与边上的切点为，‎ 则△的内切圆的圆心的横坐标与的横坐标相同．‎ 由双曲线的定义，．①‎ 由圆的切线性质，‎ ‎，，，即有．‎ 由，‎ 则△的重心为，，即，‎ 由△的面积为，‎ 可得.②‎ 由①②可得，‎ 由右准线方程，双曲线的第二定义可得：‎ ‎，解得，‎ 即有，代入双曲线的方程可得，可得，‎ 可得双曲线的离心率为．‎ 故答案为．‎ ‎【点睛】本题考查双曲线的定义、方程和性质，主要是离心率和准线方程，运用定义法是解题的关键，同时考查内心和重心的坐标的求法，考查化简整理的运算能力，属于难题．‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.在中分别为角所对的边，已知 ‎(I)求角的大小；‎ ‎(Ⅱ)若,求的面积.‎ ‎【答案】（Ⅰ）.‎ ‎(Ⅱ) .‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：‎ ‎（Ⅰ）由及三角形中三角的关系可得，于是可得，故得． (Ⅱ) 在中，由余弦定理得，可得，解得．然后可求得的面积．‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）由及，‎ 得，‎ ‎，‎ 又在中 ,，‎ ‎，‎ ‎．‎ ‎(Ⅱ)在中，由余弦定理得，‎ 即，‎ ‎ ‎ 解得，‎ ‎∴的面积.‎ ‎18.已知是等比数列，，且，，成等差数列 ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若，求数列前项的和．‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据，，成等差数列，得到公比的方程，求出后代入等比数列的通项公式；‎ ‎（2）求出，再利用错位相减法求.‎ ‎【详解】（1）设数列公比为，则，，‎ 因，，成等差数列，‎ 所以，即，整理得，‎ 因为，所以，‎ 所以．‎ ‎（2）因为，.‎ ‎，‎ ‎，‎ 两式相减得：‎ ‎=，‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查等差数列、等比数列通项公式的求解、错位相减法求和，考查基本运算求解能力，在利用错位相减法求和时，注意最后运算得到的常数为2，否则算出的答案就是错的.‎ ‎19.如图，四边形ABCD是正方形，平面，，.‎ ‎（1）判断四点是否在同一平面内，并说明理由；‎ ‎（2）求证：面面；‎ ‎（3）求多面体的体积.‎ ‎【答案】（1）四点不在同一平面内.理由见解析；（2）证明见解析；（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用反证法，假设四点在同一平面内，得出矛盾，从而证明四点不在同一平面内；‎ ‎（2）证明平面，再利用面面垂直的判定定理证得面面垂直；‎ ‎（3）利用割补法，将几体分割成三棱锥和四棱锥的体积和.‎ ‎【详解】假设四点在同一平面内，‎ ‎//面，‎ 面∩面，‎ 又，‎ ‎，这显然不成立.‎ 假设不成立，即四点不在同一平面内 ‎ ‎（2）平面，‎ 平面，‎ 又由面，‎ 面，面面.‎ ‎（3）‎ ‎【点睛】本题考查反证法以、面面垂直、体积求解，考查空间想象能力和运算求解能力，在证明面面垂直时，要注意利用转化与化归思想，将面面垂直问题转化为证明线面垂直问题.‎ ‎20.设函数.‎ ‎（1）若，求函数的单调区间；‎ ‎（2）过坐标原点作曲线的切线，证明：切点的横坐标为1.‎ ‎【答案】（1）的递减区间为，递减区间为；（2）证明见解析．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）利用导数求得函数的单调区间即可；（2）利用导数的几何意义，求得曲线的切线斜率，写出切线方程，即可证明.‎ 试题解析：（1）当时，‎ 由；；‎ 所以的递减区间为，递减区间为；‎ ‎（2）设切点为，则由切线过原点有切线斜率为 又由切线斜率为，所以 即 所以是方程的根 再证唯一性：设，，‎ 在上单调递增，且，所以方程有唯一解 综上，切点的横坐标为1.‎ 考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求解曲线在某点处的切线方程.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性、利用导数求解曲线在某点处的切线方程，其中解答中涉及到函数的极值与最值，本题的解答中切点为，求得斜率为得到即是解答的关键，着重考查了分类讨论思想、转化与化归思想的应用，属于难题.‎ ‎21.已知椭圆：的左、右焦点分别为，，若椭圆经过点，且△PF‎1F2的面积为2．‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）设斜率为1直线与以原点为圆心，半径为的圆交于A，B两点，与椭圆C交于C，D两点，且（），当取得最小值时，求直线的方程.‎ ‎【答案】(1) ；(2).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据的面积求得的值，再利用椭圆过点及，求得 的值，从而求得椭圆的方程；‎ ‎（2）设直线的方程为，由直线和圆、椭圆都相交，求得，再利用弦长公式分别计算，，从而建立的函数关系式，当取得最小值时，可求得的值，从而得到直线的方程.‎ ‎【详解】解：（1）由的面积可得，即，∴．①‎ 又椭圆过点，∴．②‎ 由①②解得，，故椭圆的标准方程为. ‎ ‎（2）设直线的方程为，则原点到直线的距离，‎ 由弦长公式可得． ‎ 将代入椭圆方程，得，‎ 由判别式，解得．‎ 由直线和圆相交的条件可得，即，也即，‎ 设，，则，，‎ 由弦长公式，得．‎ 由，得． ‎ ‎∵，∴，则当时，取得最小值，‎ 此时直线的方程为．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线与圆、直线与椭圆的位置关系、弦长公式的计算、函数的最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想的灵活运用，求解时要注意坐标法思想的运用，即如何利用坐标将与建立联系，从而使问题得到解决.‎ ‎(二)选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做．则按所做的第一题记分.‎ ‎22.在直角坐标系中，已知圆： (为参数)，点在直线：上，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．‎ ‎（1）求圆和直线的极坐标方程；‎ ‎（2）射线交圆于，点在射线上，且满足，求点轨迹的极坐标方程．‎ ‎【答案】（1）,；（2）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）圆为参数），利用平方法消去参数可得直角坐标方程：，利用互化公式可得圆的极坐标方程以及直线的极坐标方程；（2）)设的极坐标分别为，由，又，即得出.‎ 试题解析：（1）圆的极坐标方程，直线的极坐标方程＝. ‎ ‎(2)设的极坐标分别为，因为 又因为，即 ‎ ‎， .‎ ‎23.已知函数，.‎ ‎（1）若关于x的不等式的整数解有且仅有一个值，当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若，若，使得成立，求实数k的取值范围.‎ ‎【答案】（1）[-4，4]（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由不等式，解得，得到，分类讨论，即可求解不等式的解集；‎ ‎（2）由绝对值三角不等式得，利用二次函数的性质求得，再由，使得成立，得到则，即可求解.‎ ‎【详解】（1）由题意，不等式，即，所以，‎ 又由，解得，‎ 因为，所以，‎ 当时，，‎ 不等式等价于，或，或，‎ 即，或，或，‎ 综上可得，故不等式的解集为[-4，4] .‎ ‎（2）因为，‎ 由，，可得，‎ 又由，使得成立，‎ 则，解得或，‎ 故实数的取值范围为.‎ ‎【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的求解，以及绝对值三角不等式的应用，其中解答中熟记含绝对值不等式的求解方法，合理应用绝对值三角不等式求最值是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.‎