数学（理）卷·2018届辽宁省沈阳市东北育才学校高三上学期第二次模拟考试（2017

数学（理）卷·2018届辽宁省沈阳市东北育才学校高三上学期第二次模拟考试（2017

‎2017-2018学年度上学期高中学段高三联合考试高三年级 数学理科 试卷 ‎ 时间:120分钟 满分:150分 命题人:王乐双 校对人:陈永余 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎．已知集合，，则集合中元素的个数为（ ）‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎2．设复数在复平面内对应的点关于虚轴对称，且，则（ ） ‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎3．已知，，，则、、的大小关系是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎4．设，是实数，则“”是“”的（ ） ‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 ‎ C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎ ‎5．函数的一条对称轴方程为，则（ ）‎ A．1 B． C．2 D．3‎ ‎6．现有个命题.‎ 函数有个零点.‎ 若则中至少有个为负数.‎ 那么,这个命题中,真命题的个数是（ ） A. B. C. D. ‎ ‎7．对大于1的自然数 m的三次幂可用奇数进行以下形式的“分裂”： ,仿此，若的“分裂数”中有一个是2017，则m的值为( )‎ A. 43 B. 44 C. 45 D. 46‎ ‎8．已知内角，，的对边分别是，，，若，，，则的面积为（ ） A. B. C. D.‎ ‎9．设是定义在上的偶函数，且时，，若在区间内关于的方程有四个零点，则的取值范围是（ ）A. B. C. D.‎ ‎10．如图圆弧型声波DFE从坐标原点O向外传播．若D是DFE弧与轴的交点，设，圆弧型声波DFE在传播过程中扫过平行四边形的面积为（图中阴影部分），则函数的图象大致是（ ）‎ ‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎11．已知偶函数满足，且当时，，则关于的方程在上根的个数是（ ）‎ A. 10个 B. 8个 C. 6个 D. 4个 ‎12．对任意的实数，都存在两个不同的实数，使得成立，则实数的取值范围为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题纸上.‎ ‎13．函数的值域为 . ‎ ‎14.若正实数满足，则的最小值_____.‎ ‎15.已知函数，若存在实数，对任意，都有，则的最大值是________.‎ ‎16.设是一个非空集合，是定义在上的一个运算.如果同时满足下述四个条件：‎ ‎（ⅰ）对于，都有；‎ ‎（ⅱ）对于，都有；‎ ‎（iii）对于，使得；‎ ‎（iv）对于，使得（注：“”同（iii）中的“”）.‎ 则称关于运算构成一个群.现给出下列集合和运算：‎ ‎①是整数集合，为加法；②是奇数集合，为乘法；③是平面向量集合，为数量积运算；④是非零复数集合，为乘法. 其中关于运算构成群的序号是___________（将你认为正确的序号都写上）.‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17.（本小题满分10分）已知集合是函数的定义域，集合是不等式的解集，，.‎ ‎（1）若，求的取值范围； （2）若是的充分不必要条件，求的取值范围. ‎ ‎18.（本小题满分12分）已知函数，.‎ ‎（Ⅰ）求函数的最小正周期及其图象的对称轴方程； ‎ ‎（Ⅱ）在锐角中，内角，，，的对边分别为，，，已知，，，求的面积.‎ ‎19.（本小题满分12分）已知等差数列前项和为， ，数列的前项和为， ， .‎ ‎（Ⅰ）求数列， 的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若数列满足, ，求的值.‎ ‎20．（本小题满分12分）某景区修建一栋复古建筑，其窗户设计如图所示．圆的圆心与矩形对角线的交点重合，且圆与矩形上下两边相切(为上切点)，与左右两边相交(， 为其中两个交点)，图中阴影部分为不透光区域，其余部分为透光区域．已知圆的半径为1m，且．设，透光区域的面积为．‎ ‎（1）求关于的函数关系式，并求出定义域；‎ ‎（2）根据设计要求，透光区域与矩形窗面的面积比值越大越好．当该比值最大时，求边的长度．‎ ‎21.（本小题满分12分）已知椭圆和直线：，椭圆的离心率，坐标原点到直线的距离为.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知定点，若直线过点且与椭圆相交两点，试判断是否存在直线，使以为直径的圆过点？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.‎ ‎22.（本小题满分12分）已知函数.‎ ‎（1）当时，讨论函数的单调性；‎ ‎（2）当时，设，若正实数，，满足 ‎，求证：‎ ‎2017-2018学年度上学期高中学段高三联合考试高三年级 数学理科 答案 ‎1—12：C C D B B D C B D A C A.‎ ‎13. 14. 15. 16. ①④‎ ‎17. （1），．………………2分 若，则必须满足解得, ………………………………4分 所以的取值范围是． …………………………………………………………5分 ‎（2）易得或．……………………………………………………6分 ‎∵是的充分不必要条件，‎ ‎∴是的真子集， ……………7分 即解得，……………………………………………………9分 ‎∴的取值范围是．………………………………………………………10分 ‎18.（1）原式可化为，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎， …………………………………………………2分 故其最小正周期，………………………………………………3分 令，‎ 解得，……………………………………………………5分 即函数图象的对称轴方程为，‎ ‎. …………………………………………………………6分 ‎（2）由（1），知，‎ 因为，所以. ………………………………8分 又，‎ 故得，解得. ……………………………………………10分 由正弦定理及，得.‎ 故.…………………………………………………12分 ‎19.（Ⅰ）设等差数列的公差为．‎ ‎ 依题意得 解得， ，‎ ‎ 所以. …………………………………………3分 ‎ 当时， ，‎ ‎ 当时， ， ，‎ ‎ 以上两式相减得，则， ‎ 又，所以， . ……………………………………5分 ‎ 所以为首项为1，公比为4的等比数列，‎ ‎ 所以． ……………………………………………………………6分 ‎（Ⅱ）因为， ‎ ‎ 当时， ， ‎ ‎ 以上两式相减得， 所以， .……8分 ‎ ‎ 当时， ，所以，不符合上式，……………………9分 ‎ 所以 ‎ ‎ …………………………………………………12分 ‎20.（1）过点作于点，则，‎ 所以，‎ ‎．……………………………………………3分 所以， ‎ 因为，所以，所以定义域为．………………………6分 ‎（2）矩形窗面的面积为．‎ 则透光区域与矩形窗面的面积比值为．……7分 设， ．‎ 则 ‎，…………………………………………………………9分 因为，所以，所以，故，‎ 所以函数在上单调减．……………………………………………11分 所以当时， 有最大值，此时 (m)……………12分 ‎21.解：（Ⅰ）由直线，∴，即——①‎ 又由，得，即，又∵，∴——②‎ 将②代入①得，即，∴，，，‎ ‎∴所求椭圆方程是；…………………………………………………4分 ‎（Ⅱ）①当直线的斜率不存在时，直线方程为，‎ 则直线与椭圆的交点为，又∵，‎ ‎∴，即以为直径的圆过点；………………………………6分 ‎②当直线的斜率存在时，设直线方程为，，，‎ 由，得，‎ 由，得或，…………8分 ‎∴，，‎ ‎∴‎ ‎∵以为直径的圆过点，∴，即，………………9分 由，，‎ 得，∴，‎ ‎∴，解得，即；………11分 综上所述，当以为直径的圆过定点时，直线的方程为或. …12分 ‎22.解：（1）①0＜a＜1时，a﹣＜0，即0＜a，则f（x）在（0，a）和（，+∞）上单增，在（a，）上单减………………………………………………2分 ‎ ‎②a=1时，a==1， f′（x）≥0，则f（x）在（0，+∞）上单增…………4分 ‎③a＞1时，a﹣＞0即0＜＜a，则f（x）在（0，）和（a，+∞）上单增，在（，a）上单减 ………………………………………………………………………6分 ‎（2）法一：由得：；‎ ‎ ；………………………8分 设函数.因为，所以在区间上，单调递减，在区间上，单调递增；因而函数的最小值为.……………………………10分 由函数知，即，‎ 又，故.……………………………………………12分 法二：因为 ，所以函数在区间上递增，，，不妨设.………………………………8分 构造函数；‎ 则，得在上单增，……………………………………………………………10分 有；所以， 即，由在上单增，得，即. …………………………………12分