数学文·山东师范大学附属中学2017届高三上学期第二次模拟考试文科数学试卷+Word版含解析
2017届山东师范大学附属中学高三上学期第二次模拟考试文科数学
一、选择题：共10题
1．设全集U={-1,-2,-3,-4,0},集合A={-1,-2,0},B={-3,-4,0},则(CUA)∩B=
A.{0} B.{-3,-4} C.{-1,-2} D.ϕ
【答案】B
【解析】本题主要考查集合的基本运算.由全集U={-1,-2,-3,-4,0},集合A={-1,-2,0},B={-3,-4,0},则CUA={-3,-4}，则(CUA)∩B={-3,-4}，故选B.
2．函数f(x)=log2(x2-x)的定义域为
A.[0,1] B.(0,1)
C.(-∞,0]∪[1,+∞) D.(-∞,0)∪(1,+∞)
【答案】D
【解析】本题主要考查函数的概念.要使函数f(x)=log2(x2-x)有意义，则x2-x>0，得x<0或x>1，故选D.
3．已知函数f(x)=ex,x≤1 f(x-1),x>1,则f(32)=
A.e B.e3 C.3e2 D.3e
【答案】A
【解析】本题主要考查分段函数.依题意，函数f(x)=ex,x≤1 f(x-1),x>1,则f(32)==f(12)=e，故选A.
4．“m=1”是“函数f(x)=x2-6mx+6在区间(-∞,3]上为减函数”的
A.充分必要条件 B.既不充分又不必要条件
C.充分不必要条件 D.必要不充分条件
【答案】C
【解析】本题主要考查二次函数及充分条件与必要条件.若函数f(x)=x2-6mx+6在区间（-∞，3]上为减函数，则3m≥3，得m≥1，故“m=1”是“函数f(x)=x2-6mx+6在区间(-∞,3]上为减函数”的充分不必要条件，故选C.
5．若函数f(x)=loga(x+b)的大致图象如图,其中a,b(a>0且a≠1)为常数,则函数g(x)=ax+b的大致图象是
A.. B. C. D.
【答案】B
【解析】本题考查指数函数、对数函数的图象与性质等知识,考查考生分析问题、解决问题的能力.解题时先根据已知的函数图象得出a,b的取值范围,再根据指数函数的性质和图象即可作出判断.
由图可知,函数f(x)=loga(x+b)是单调递减函数,所以0
0,命题q:∃x0∈(0,+∞),使得g(x0)=0,则下列说法正确的是
A.p是真命题:¬p:∃x0∈R,f(x0)<0
B.p是假命题:¬p:∃x0∈R,f(x0)≤0
C.q是真命题:¬q:∀x∈(0,+∞),g(x)≠0
D.q是假题:¬q:∀x∈(0,+∞),g(x)≠0
【答案】C
【解析】本题主要考查全称量词与存在量词.f'(x)=ex-1,由f'(x)>0得x>0,由f'(x)<0得x<0，即当x=0时,函数f(x)取得极小值,同时也是最小值f(0)=e0-0=1-0=1>0，得∀x∈R,f(x)>0成立，即p是真命题。g(x)=lnx+x+1在(0,+∞)上为增函数,当x→0时,g(x)<0,g(1)=0+1+1=2>0，则∃x0∈(0,+∞),使得g(x0)=0成立，即命题q是真命题。则￢p:∃x0∈R,f(x0)⩽0，￢q:∀x∈(0,+∞),g(x)≠0，综上，只有C成立，故选C.
7．将函数f(x)=sin(x+π6)的图象上各点的纵坐标不变,横坐标伸长到原来的2倍,所得函数g(x)图象的一个对称中心可以是
A.(-π12,0) B.(5π12,0) C.(2π3,0) D.(-π3,0)
【答案】D
【解析】本题主要考查三角函数图像变换及三角函数性质.将函数f(x)=sin(x+π6)的图象上各点的纵坐标不变,横坐标伸长到原来的2倍,得g(x)=sin(12x+π6)，得由x2+π6=kπ，k∈Z,得可得x=2kπ-π3，k∈Z，令k=0,x=-π3，得函数图像的一个对称中心为(-π3,0)，故选D.
8．已知函数f(x)=12x2x+xcosx,则其导函数f'(x)的图象大致是
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】本题主要考查函数图像及导数的运算.排除法，由f(x)=12x2x+xcosx，得f'(x)=12x2cosx+cosx，得f'(-x)=12(-x)2cos(-x)+cos(-x)=12x2cosx+cosx=f'(x)，得其导函数f'(x)为偶函数，图象关于y轴对称，故排除A，B，当x→+∞时,f'(x)→+∞，故排除D，故选C.
9．定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+1)=f(-x),当x∈(0,12]时,f(x)=log2(x+1),则f(x)在区间(1,32)内是
A.减函数且f(x)<0 B.减函数且f(x)>0
C.增函数且f(x)>0 D.增函数且f(x)<0
【答案】A
【解析】本题主要考查函数的性质.依题意，设x∈(1,32)，则x-1∈(0,12)，则f(x)=f(-x+1)=-f(x-1)=-log2(x-1+1)=-log2x<0，故f(x)在区间(1,32)内是减函数且f(x)<0，故选A.
10．设f(x)与g(x)是定义在同一区间[a,b]上的两个函数,若函数
y=f(x)-g(x)在x∈[a,b]上有两个不同的零点,则称f(x)和g(x)在[a,b]上是
“关联函数”,区间[a,b]称为“关联区间”.若f(x)=x2-3x+4与g(x)=2x+m在[0,3]上是“关联函数”,则m的取值范围为
A.(-94,-2] B.[-94,-2] C.(-94,4] D.(-94,4)
【答案】A
【解析】本题主要考查新定义及函数零点.若f(x)=x2-3x+4与g(x)=2x+m在[0,3]上是“关联函数”,故函数y=h(x)=f(x)-g(x)=x2-5x+4-m在[0，3]上有两个不同的零点，故有h(0)≥0h(3)≥0h(52)<0，即4-m≥0 -2-m≥0 254-252+4-m<0，解得-94＜m≤-2，故选A．
二、填空题：共5题
11．已知数列{an}是公差不为零的等差数列,a1=2,且a2,a4,a8成等比数列.则数列{an}的通项公式为__________;
【答案】an=2n
【解析】本题主要考查等差数列.数列{an}是公差d≠0的等差数列，由a2,a4,a8成等比数列，得a42=a2a8，得(2+3d)2=(2+d)(2+7d)，化为2d2-4d=0，解得d=2或d=0(舍).得an=2+2(n-1)=2n，故填an=2n.
12．设函数f(x)=x2+bx+c,x≤0,2,x>0. 若f(-4)=f(0),f(-2)=-2,则关于x的方程f(x)=x的解的个数为___________;
【答案】3
【解析】本题主要考查函数的零点.当x⩽0时f(x)=x2+bx+c，由f(-4)=f(0)，f(-2)=-2，所以f0=c f(-4)=16-4b+c=cf(-2)=4-2b+c=-2，得b=4，c=2，则当x⩽0时f(x)=x2+4x+2，方程f(x)=x，即x2+3x+2=0，解得两根为-1，-2.当x>0时方程f(x)=x，即x=2.
则关于x的方程f(x)=x的解的个数为3.故填3.
13．已知长方形ABCD中,AB=4,BC=1,M为AB的中点,则在此长方形内随机取一点P,P与M的距离小于1的概率为_________;
【答案】π8
【解析】本题主要考查几何概型．根据几何概型得：取到的点到M的距离小1的概率P=dD=S圆S矩形=12×12π4×1=π8．故填π8．
14．已知S,A,B,C是球O表面上的点,SA⊥平面ABC,AB⊥BC,SA=AB=1,BC=2,则球O的表面积等于_____________;
【答案】4π
【解析】本题主要考查空间几何体的表面积.由SA⊥平面ABC，AB⊥BC，得四面体S-ABC的外接球半径等于以长宽高分别SA，AB，BC三边长的长方体的外接球的半径由SA=AB=1,BC=2,得2R=SA2+AB2+BC2=2,得球O的表面积S=4⋅πR2=4π,故填4π.
15．直线y=m(m>0)与函数y=|log2x|的图象交于A(x1,y1)、B(x2、y2)(x14
【答案】①②④
【解析】本题主要考查函数图像及函数的性质.作出f(x)的图象，该函数先减后增，在x=1处取得最小值0，再画出直线y=m,两图象交于A,B,如右图(A在B左边)，此时,A(x1,y1),B(x2,y2),由图可知,04，综上①②④正确，③错误，故填①②④.
三、解答题：共6题
16．某电视台举办“未来主打星”主持人选秀活动,过程分为初赛、复赛和决赛,经初赛进入复赛的40名选手被平均分成甲、乙两个班.下面是根据这40名选手参加
复赛时获得的100名大众评审的支持票数制成的茎叶图:
赛制规定:参加复赛的40名选手中,获得的支持票数排在前5名的选手可进入决赛,若第5名出现并列,则一起进入决赛;另外,票数不低于95票的选手在决赛时拥有“优先挑战权”.
(I)分别求出甲、乙两班的大众评审的支持票数的中位数;
(II)从进入决赛的选手中随机抽出3名,求其中恰有1名拥有“优先挑战权”的概率.
【答案】(Ⅰ)甲班的大众评审的支持票数的中位数是76+772=76.5
乙班的大众评审的支持票数的中位数是82+842=83,
(Ⅱ)进入决赛的选手共6名,其中拥有“优先挑战权”的选手共3名,
为拥有“优先挑战权”的选手编号为1,2,3,其余3人编号为A,B,C,
则被选中3人的编号所有可能情况共20种,列举如下:
123,12A,12B,12C,13A,13B,13C,1AB,1AC,1BC,
23A,23B,23C,2AB,2AC,2BC,3AB,3AC,3BC,ABC,
其中拥有“优先挑战权”的选手恰有1名的情况共9种,如下:
1AB,1AC,1BC,2AB,2AC,2BC,3AB,3AC,3BC,
∴所求概率为P=920.
【解析】本题主要考查茎叶图与古典概型.（I）将甲班的大众评审的支持票数从小到大排列，根据众数、中位数的定义和解法分别进行计算，即可求出答案．（II）根据用列举法求古典概型概率，找准两点：①符合条件的情况数目，②全部情况的总数；二者的比值就是其发生的概率．
17．在△ABC中,角A、B、C所对的边分别是a,b,c,且a2+c2-b2=12ac.
(I)求sin2A+C2+cos2B的值;
(II)若b=2,求ΔABC面积的最大值.
【答案】(Ⅰ)在△ABC中,由余弦定理可知,a2+c2-b2=2accosB,
由题意知a2+c2-b2=12ac,∴cosB=14;
又在△ABC中A+B+C=π,
∴sin2A+C2+cos2B=sin2π-B2+cos2B=cos2B2+cos2B=1+cosB2+2cos2B-1
=2cos2B+cosB2-12,
又cosB=14,∴sin2A+C2+cos2B=-14.
(Ⅱ)∵b=2 ,∴由a2+c2-b2=12ac可知,a2+c2-4=12ac,
即12ac≥2ac-4,∴ac≤83,
∵cosB=14,∴sinB=154
∴SΔABC=12ac⋅sinB≤12⋅83⋅154=153.当且仅当时取得a=c最大值
∴△ABC面积的最大值为153.
【解析】本题主要考查二倍角公式、余弦定理、三角形面积公式.(Ⅰ)在△ABC中,利用余弦定理求得cosB=14，由sin2A+C2+cos2B=1+cosB2+2cos2B-1求得所求的值.(Ⅱ)由b=2结合a2+c2-4=12ac，利用基本不等式求得ac≤83，由cosB=14,求得sinB=154，代入三角形面积公式求得三角形面积的最大值.
18．已知三棱柱ABC-A1B1C1中,CC1⊥底面ABC,AB=AC,D,E,F分别为B1A,C1C,BC的中点.
(I)求证:DE//平面ABC;
(II)求证:平面AEF⊥平面BCC1B1.
【答案】(I)取AB中点G,连DG,CG,在三棱柱ABC-A1B1C1中,
CC1⊥底面ABC,∴BCC1B1是矩形.
∵D,E分别为AB1,CC1的中点,
∴DG//__12BB1,CE//__12BB1,
∴DG//__CE,DGCE是平行四边形,∴DE∥GC
∵GC⊂平面ABC,DE⊄平面ABC,
∴DE//平面ABC.
(II)三棱柱ABC-A1B1C1中,CC1⊥底面ABC,
∴AF⊥CC1
∵AB=AC,F为BC中点,∴AF⊥BC
又BC∩CC1=C,∴AF⊥平面BCC1B1,
又AF⊂平面AEF, ∴平面AEF⊥平面BCC1B1
【解析】本题主要考查线面平行的判定定理及线面垂直的判定.(I)取AB中点G,连DG,CG,由D,E分别为AB1,CC1的中点,证得DG//__12BB1,CE//__12BB1，又DE∥GC，从而证得DE//平面ABC.(II)由CC1⊥底面ABC,得AF⊥CC1，利用线面垂直的判定定理证得AF⊥平面BCC1B1,利用面面垂直的判定定理证得平面AEF⊥平面BCC1B1.
19．用部分自然构造如图的数表:用aij(i≥j)表示第i行第j个数(i,j∈N+),使得ai1=aii=i.每行中的其他各数分别等于其“肩膀”上的两个数之和.设第n(n∈N+)行的第二个数为bn(n≥2).
(I)写出bn+1与bn的关系,并求bn(n≥2);
(II)设数列{cn}前n项和为Tn,且满足c1=1,cn=1bn-1,(n≥2),求证:Tn<3.
【答案】(1) 由已知得bn+1=bn+n,n≥2
∴当n≥2时,b3-b2=2,b4-b3=3,⋯bn-bn-1=n-1累加得,bn-b2=2+3+...+(n-1)
∴bn=n(n-1)2+1,(n≥2)
(2)由(1)n≥2时,
cn=2n(n-1)=2(1n-1-1n)∴Tn=C1+C2+C3+.....+Cn=1+2[(1-12)+(12-13)+(1n-1-1n)]=1+2(1-1n)=3-2n<3.
【解析】本题主要考查数列的通项及数列求和.(1)由已知得bn+1=bn+n,n≥2，利用累加法求得bn(n≥2).(2)由(1)n≥2时,cn=2n(n-1)=2(1n-1-1n)，利用裂项求和法求得Tn，利用放缩放证得Tn<3.
20．已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,x∈[-1,2],且函数f(x)在x=1和x=-23处都取得极值.
(I)求实数a与b的值;
(II)对任意x∈[-1,2],方程f(x)=2c存在三个实数根,求实数c的取值范围.
【答案】(1)f'(x)=3x2+2ax+b
由题意可知f'(-23)=0f'(1)=0,
解得a=-12b=-2
经检验,适合条件,所以a=-12b=-2
(2)原题等价于函数与y=f(x)与函数y=2c两个图象存在三个交点,
由(1)知f'(x)=3x2-x-2=(3x+2)(x-1),
由图知 ∴x∈[-1,2]时,令c+12≤2c0.
(I)求函数f(x)的单调区间;
(II)若直线x-y-1=0是曲线y=f(x)的切线,求实数a的值;
(III)设g(x)=xlnx-x2f(x),求g(x)在区间[1,e]上的最小值.(其中e为自然对数的底数)
【答案】(Ⅰ)函数定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),f'x=a(2-x)x3,
令f'x>0,解得(0,2);
令f'x<0,解得(-∞,0)和(2,+∞);
所以,f(x)的单调递增区间是(0,2),单调递减区间是(-∞,0)和(2,+∞)
(Ⅱ)设切点坐标为(x0,y0),则ly0=a(x0-1)x02x0-y0-1=0a(2-x0)x03=1
解得x0=1,a=1.
(Ⅲ)g(x)=xlnx-a(x-1),
则g'x=lnx+1-a,
解g'x=0,得x=ea-1,
所以,在区间(0,ea-1)上,g(x)为递减函数,
在区间(ea-1,+∞)上,g(x)为递增函数.
当ea-1≤1,即0
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