2019-2020学年山东省临沂市兰陵县高二上学期期末数学试题（解析版）

2019-2020学年山东省临沂市兰陵县高二上学期期末数学试题（解析版）

‎2019-2020学年山东省临沂市兰陵县高二上学期期末数学试题 一、单选题 ‎1．复数的共轭复数的虚部为（ ）‎ A．-2i B．2i C．-2 D．2‎ ‎【答案】C ‎【解析】先求复数的共轭复数，再写出其虚部得解.‎ ‎【详解】‎ 由题得的共轭复数为，所以其虚部为.‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题主要考查共轭复数和虚部的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎2．设命题所有正方形都是平行四边形，则为（ ）‎ A．所有正方形都不是平行四边形 B．有的平行四边形不是正方形 C．有的正方形不是平行四边形 D．不是正方形的四边形不是平行四边形 ‎【答案】C ‎【解析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论．‎ ‎【详解】‎ ‎“所以”改为“存在”（或“有的”），“都是”改为“不都是”（或“不是”），‎ 即为有的正方形不是平行四边形 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查命题的否定．特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查．‎ ‎3．设，，则下列不等式中一定成立的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】对每一个不等式逐一分析判断得解.‎ ‎【详解】‎ A. 举反例，，但是，所以该选项错误；‎ B. 举反例，，但是，所以该选项错误；‎ C. 举反例，，但是，所以该选项错误；‎ D. 由不等式的加法法则得，所以该选项正确.‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本题主要考查不等式的性质和实数大小的比较，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎4．设，，则p是q的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】先化简两个命题，再根据充分必要条件的定义分析判断得解.‎ ‎【详解】‎ 由题得，，‎ 设，所以是A的真子集，‎ 所以p是q的必要非充分条件.‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题主要考查指数对数不等式的解法，考查充分必要条件的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎5．《庄子·天下篇》中有一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”.如果经过n天，该木锤剩余的长度为（尺），则与n的关系为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题得，化简即得解.‎ ‎【详解】‎ 由题得每天取的木锤组成一个等比数列，‎ 所以.‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题主要考查等比数列的前n项和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎6．若两个向量,则平面的一个法向量为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】设平面ABC的法向量为，根据数量积等于0，列出方程组，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 设平面ABC的法向量为，‎ 则，即，令，则，‎ 即平面ABC的一个法向量为，故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了平面的法向量的求解，其中解答中根据法向量与平面内的两个不共线的向量垂直，列出关于的方程组求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.‎ ‎7．直线与椭圆有两个公共点，则m的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】联立直线和椭圆方程得得或，又因为，综合即得解.‎ ‎【详解】‎ 联立直线和椭圆方程得，‎ 所以 所以，‎ 所以或，‎ 因为 所以且.‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题主要考查椭圆的标准方程，考查直线和椭圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎8．已知，分别是双曲线的左、右焦点，P是以，为直径的圆与该双曲线的一个交点，且，则该双曲线的离心率是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】先设，由题意知△是直角三角形，利用，求出、，根据双曲线的定义求得，之间的关系，则双曲线的离心率可得．‎ ‎【详解】‎ 设，‎ 由于是以为直径的圆与该双曲线的一个交点 则△是直角三角形，，‎ 由，则，‎ ‎，，‎ ‎，‎ ‎．‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题主要考查了双曲线的方程、定义和简单性质．考查了解直角三角形的知识，考查运算能力．‎ 二、多选题 ‎9．下列不等式的证明过程正确的是（ ）‎ A．若，，则 B．若，则 C．若x为负实数，则 D．若x为非负实数，则 ‎【答案】AD ‎【解析】对每一个选项逐一分析判断得解.‎ ‎【详解】‎ A. 若，，所以，则，当且仅当时取等，所以该选项正确；‎ B. 若，所以可能小于零，所以错误；‎ C. 若x为负实数，则，当且仅当时取等，所以该选项错误；‎ D. 若x为非负实数，，则，当且仅当x=0时取等，所以该选项正确.‎ 故选：AD ‎【点睛】‎ 本题主要考查指数对数的性质，考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎10．下列命题是真命题的是（ ）‎ A．若，则的长度相等而方向相同或相反 B．若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底 C．若两个非零向量与满足，则 D．若空间向量，满足，且与同向，则 ‎【答案】BC ‎【解析】利用平面向量的有关概念判断分析每一个选项得解.‎ ‎【详解】‎ A. 若，则的长度相等，它们的方向不一定相同或相反，所以该选项错误；‎ B. 若为空间的一个基底，则不共面，则不共面，则构成空间的另一个基底，所以该选项正确；‎ C. 若两个非零向量与满足，则，所以，所以该选项正确；‎ D. 若空间向量，满足，且与同向，与也不能比较大小，所以该选项错误.‎ 故选：BC ‎【点睛】‎ 本题主要考查平面向量的有关概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎11．已知双曲线C过点且渐近线为，则下列结论正确的是（ ）‎ A．双曲线C的方程为 B．双曲线C的离心率为 C．曲线经过C的一个焦点 D．直线与C有两个公共点 ‎【答案】ACD ‎【解析】A,检验即得解；B,求出双曲线的离心率判断得解；C,求出双曲线的一个焦点判断得解；D,联立直线和双曲线的方程，利用判别式判断得解.‎ ‎【详解】‎ A. 点的坐标满足双曲线C的方程，双曲线的方程为，所以该选项正确；‎ B.双曲线C的方程为,所以双曲线离心率为 ‎，所以该选项不正确；‎ C. 双曲线C的方程为,它的一个焦点为，把（-2,0）代入成立，所以该选项正确；‎ D.联立得，所以直线和曲线有两个公共点，所以该选项正确.‎ 故选： ACD ‎【点睛】‎ 本题主要考查双曲线的简单几何性质，考查直线和双曲线的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎12．设等比数列的公比为q，其前n项和为，前n项积为，并且满足条件，，.则下列结论正确的是（ ）‎ A． B． C．的最大值为 D．的最大值为 ‎【答案】ABC ‎【解析】由，，，可得，．由等比数列的定义即可判断A；运用等比数列的性质可判断B；由正数相乘，若乘以大于1的数变大，乘以小于1的数变小，可判断C; 因为，，可以判断D.‎ ‎【详解】‎ ‎，，，‎ ‎，，‎ A.，故正确；‎ B.，故正确；‎ C.是数列中的最大项，故正确．‎ D. 因为，，的最大值不是，故不正确.‎ 故选：ABC．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了等比数列的通项公式及其性质、递推关系、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ 三、填空题 ‎13．若，，则复数________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】先求出，即得解.‎ ‎【详解】‎ 因为，所以，‎ 所以.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查复数相等的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎14．若且满足，则xy的最大值为________.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】由题得，化简即得解.‎ ‎【详解】‎ 由题得.（当且仅当x=y=1时取等）‎ 所以xy的最大值为1.‎ 故答案为：1‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎15．如图，过抛物线的焦点F作直线，与抛物线及其准线分别交于A，B，C三点，若，则直线AB的方程________. ________.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】由题意得，由及抛物线定义即可求出直线的斜率，进而求出直线方程，再联立方程求得、的坐标，再求．‎ ‎【详解】‎ 由题意得，准线方程为，‎ 过点作准线的垂线，垂足为，则，‎ ‎，‎ ‎，‎ 由勾股定理得：，‎ 直线的斜率，‎ 所以直线的方程为，‎ 由及图象可得：，，，‎ ‎.‎ 故答案为：(1). (2). ‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查抛物线的定义和直线方程的求法，考查直线和抛物线的位置关系和弦长的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎16．如图，圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E，F分别是A在PB，PC上的射影，给出下列结论：‎ ‎①；②；③；④平面.‎ 其中正确结论的序号是________．‎ ‎【答案】①②③‎ ‎【解析】由于圆O的直径，则，所在的平面，则，所以平面，平面，则，又，则平面，平面，，①正确；又，则平面，平面，则，②正确；由于平面，平面，则，③正确；假如平面，则 ，又，则平这与平面矛盾，④错误.填写①②③.‎ ‎【点睛】这类填空题考试一般分布在15或16题，有一定的难度，需要对正确的命题进行推证，对错误的命题进行否定，因此要说明命题是正确的需要进行严格的推理证明，判断线线垂直，一般先寻求线面垂直，通过线面垂直去说明线线垂直，再通过新的线线垂直产生新的线面垂直.而说明一个命题为假命题，一可以举一反例，二也可使用反证法思想推出矛盾.‎ 四、解答题 ‎17．记为等差数列的前n项和.已知，.‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）求，并求的最大值.‎ ‎【答案】（1）（2）；9‎ ‎【解析】（1）由已知求出，即得的通项公式；（2）利用等差数列的前n项和公式求出，再求的最大值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由等差数列的前n项和，得，‎ 又∵，即，∴， ‎ ‎∴. ‎ ‎∴. ‎ ‎（2）由（1）知，，，‎ 故. ‎ ‎∴当时，取得最大值9.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查等差数列通项基本量的计算，考查等差数列前n项和的计算和最值的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎18．已知命题方程的曲线是焦点在x轴上的双曲线；命题方程有实根.若p为真，q为假，求实数m的取值范围.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】化简命题得，或，再根据p为真，q为假求实数m的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 若方程的曲线是焦点在x轴上的双曲线，‎ 则满足，即，得，即， ‎ 若方程有实根，则判别式，‎ 即，得或，‎ 即或， ‎ ‎∵q为假，∴ ‎ 又∵p为真，∴， ‎ 即实数m的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查双曲线的标准方程，考查二次方程的根的分布，考查命题的真假，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎19．等比数列的各项均为正数，且，.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前n项和.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）由题得，，即得数列的通项公式；（2）由题得，再利用裂项相消法求数列的前n项和.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设数列的公比为q，由得，所以.‎ 由条件可知，故. ‎ 由得，所以. ‎ 故数列的通项公式为.‎ ‎（2）‎ 故， ‎ ‎ ‎ 所以数列的前n项和为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查等比数列的通项的基本量的计算，考查等差数列的前n项和的求法，考查裂项相消法求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎20．已知抛物线的焦点为F，是C上的一点，且.‎ ‎（1）求C的方程；‎ ‎（2）斜率为的直线l交C于A、B两点，且，求l的方程.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）将代入得，再求出p的值，即得C的方程；‎ ‎（2）设直线，，，根据求出b的值，即得l的方程.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）将代入得，‎ 又，∴，（舍去），‎ ‎∴抛物线的方程为. ‎ ‎（2）设直线，， ‎ 由得：，∴，， ‎ 由，∴，‎ ‎∴直线方程为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查抛物线方程和直线方程的求法，考查直线和抛物线的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎21．如图,在三棱柱中,侧面底面ABC, ,且,O为AC中点. ‎ ‎ (1)求直线与平面所成角的正弦值; (2)在上是否存在一点E,使得平面,若不存在,说明理由;若存在,确定点E的位置.‎ ‎【答案】（1）.；（2）E为的中点.‎ ‎【解析】(1)由已知中,O为AC中点,根据等腰三角形“三线合一”的性质,可得,又由已知中侧面底面ABC,故平面ABC,以O为原点,OB,OC,所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,分别求出直线的方向向量与平面的法向量,代入空间向量夹角公式,即可得到直线与平面所成角的正弦值; (2)设出E点的坐标,根据平面,则OE的方向向量与平面的法向量垂直,数量积为零,我们可以求出E点坐标,进而确定E点的位置.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）如图，因为，且O为AC的中点，所以平面平面 ‎，交线为，且平面，所以平面.‎ 以O为原点，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系.由题意可知，又 所以得:‎ 则有： ‎ 设平面的一个法向量为，则有 ‎，‎ 令，得 所以.‎ ‎ ‎ 因为直线与平面所成角和向量与所成锐角互余，‎ 所以. ‎ ‎（2）设 即，得 所以得 令平面，得，‎ 即得即存在这样的点E，E为的中点.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查利用空间向量求线面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.‎ ‎22．已知椭圆经过点.离心率.‎ ‎（1）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（2）若M，N分别是椭圆长轴的左、右端点，动点D满足，连接MD交椭圆于点Q.问：x轴上是否存在异于点M的定点G，使得以QD为直径的圆恒过直线QN，GD的交点？若存在，求出点G的坐标；若不存在，说明理由.‎ ‎【答案】（1）（2）存在，‎ ‎【解析】（1）解方程，即得椭圆的方程；（2）由题意可设直线，，.由求出，设点，根据求出，即得解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由点在椭圆上得，①‎ 又，所以② ‎ 由①②得，，. ‎ 故椭圆C的标准方程为. ‎ ‎（2）由（1）知，点，.‎ 由题意可设直线，，.‎ 由，整理得. ‎ 方程显然有两个解，，得，，‎ 所以点.‎ 设点，‎ 若存在满足题设的点G，则， ‎ 由，及，，‎ 故恒成立，所以.‎ 故存在定点满足题设要求. ‎ ‎【点睛】‎ 本题主要椭圆方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系和定点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎