数学理卷·2018届河北省大名县一中高三10月月考（2017

数学理卷·2018届河北省大名县一中高三10月月考（2017

高三月考试题理科数学（2017年10月）‎ 一. 选择题：本大题共15小题，每小题4分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．设，，则A∪B=（   ）‎ A. {x|﹣1＜x＜0} B. {x|x≥1} C. {x|x＞0} D. {x|x＞﹣1}‎ ‎2．已知m∈R，“函数y=2x+m﹣1有零点”是“函数y=logmx在（0，+∞）上为减函数”的（　　）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎3．函数的最小正周期和振幅分别是（ ）‎ A. ，1 B. ，2 C. ，1 D. ，2‎ ‎4．函数的最小值为（ ）‎ A. 2 B. 3 C. 2 D. 2.5‎ ‎5．已知在上是单调递增的，且图像关于轴对称，若，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎6．若是方程的根，则所在的区间为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎7．已知向量， ，则向量与的夹角为（ ）‎ A. 135° B. 60° C. 45° D. 30°‎ ‎8．已知m为一条直线，α，β为两个不同的平面，则下列说法正确的是 （ ‎ ‎ ）A. 若m∥α，α∥β，则m∥β B. 若m⊥α，α⊥β，则m⊥β C. 若m∥α，α⊥β，则m⊥β D. 若m⊥α，α∥β，则m⊥β ‎9．大衍数列，来源于《乾坤普》中对易传“大衍之数五十”的推论.主要用于解释中国传统文化中太极衍生原理.数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两翼数量总和.是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.其前项依次是0、2、4、8、12、18、24、32、40、50…，则此数列第项为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎10．设f(x)＝则等于(　　)‎ A. B. C. D. 不存在 ‎11．已知点是锐角三角形的外心，若（， ），则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎12．在中，内角所对的边分别为，若依次成等差数列，则（ ）‎ A. 依次成等差数列 B. 依次成等差数列 C. 依次成等差数列 D. 依次成等差数列 ‎13．设函数 (， ， 是常数， ， ．若在区间上具有单调性，且，则的最小正周期为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎14．已知函数（其中为自然对数底数）在取得极大值，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎15．如图为一个多面体的三视图，则该多面体的体积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 二. 填空题：本大题共4小题，每小题5分.‎ ‎16．已知，则的值为__ ____．‎ ‎17．已知数列是递增的等比数列，，，则数列的前项和等于____．‎ ‎18．在直角梯形中， ， 分别为的中点，以为圆心， 为半径的圆弧的中点为 (如图所示).若，则的值是__________．‎ ‎19．一块石材表示的几何体的三视图如图所示,将该石材切削、打磨,加工成球,则能得到的最大球的体积为 ________．‎ ‎20．已知均为非负数且,则的最小值为______.‎ 三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎21. 已知数列满足且.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若数列为等差数列，请求出实数；‎ ‎（3）求数列的通项公式及前项和为 ‎22. 如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD．‎ ‎（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；‎ ‎（2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D–AE–C的余弦值.‎ ‎23. 为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药.一段时间后，记录了两组患者的生理指标x和y的数据，并制成下图，其中“*”表示服药者，“+”表示未服药者.‎ ‎（Ⅰ）从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y的值小于60的概率；‎ ‎（Ⅱ）从图中A，B，C，D四人中随机.选出两人，记为选出的两人中指标x 的值大于1.7的人数，求的分布列和数学期望E（）；‎ ‎（Ⅲ）试判断这100名患者中服药者指标数据的方差与未服药者指标数据的方差的大小.（只需写出结论）‎ ‎24. 一种作图工具如图1所示.是滑槽的中点，短杆可绕转动，长杆通过处铰链与连接，上的栓子可沿滑槽滑动，且，.当栓子在滑槽内作往复运动时，带动绕转动一周（不动时，也不动），处的笔尖画出的曲线记为.以为原点，所在的直线为轴建立如图2所示的平面直角坐标系.‎ ‎（1）求曲线的坐标方程. ‎ ‎（2）直线与圆相切，且与曲线相交于不同的两点、，求的最大值.‎ ‎25. 已知函数.‎ ‎（1）求函数在处的切线方程.‎ ‎（2）若是两个不相等的正数，且，试比较与2的大小，并说明理由.‎ 选做题（26、27二选一）‎ ‎26. （选修4-4坐标系与参数方程）在直角坐标系中，圆的方程为．‎ ‎（Ⅰ）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求的极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）直线的参数方程是（为参数）,与交于两点，，求的斜率．‎ ‎27. （选修4-5 不等式选件）已知常数R，函数.‎ ‎（1）当时，求解不等式的解集；‎ ‎（2）设函数，对任意R，不等式恒成立，求的取值范围.‎ 参考答案 DBADD CCDBC CCCDB ‎16. 17. 18. 19. 20. ‎ ‎21. 已知数列满足且.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若数列为等差数列，请求出实数；‎ ‎（3）求数列的通项公式及前项和为.‎ ‎（1）∵，，，.‎ ‎（2）∵为等差数列，‎ ‎∴，‎ ‎，‎ ‎.‎ ‎(3)，‎ ‎∴‎ ‎，‎ ‎∴‎ 令，‎ ‎，‎ ‎∴，∴.‎ ‎22. 如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD．‎ ‎ ‎ ‎（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；‎ ‎（2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D–AE–C的余弦值.‎ 由题设及（1）知，两两垂直，以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系.则 ‎ ‎ 由题设知，四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的，从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的，即E为DB的中点，得 .故 ‎23. 为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药.一段时间后，记录了两组患者的生理指标x和y的数据，并制成下图，其中“*”表示服药者，“+”表示未服药者.‎ ‎ ‎ ‎（Ⅰ）从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y的值小于60的概率；‎ ‎（Ⅱ）从图中A，B，C，D四人中随机选出两人，记为选出的两人中指标x的值大于1.7的人数，求的分布列和数学期望E（）；‎ ‎（Ⅲ）试判断这100名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小.（只需写出结论）‎ ‎【答案】（Ⅰ）0.3；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）在这100名患者中，服药者指标数据的方差大于未服药者指标数据的方差.‎ ‎【解析】‎ ‎（Ⅱ）由图知，A,B,C,D四人中，指标的值大于1.7的有2人：A和C.‎ 所以的所有可能取值为0,1,2.‎ ‎.‎ 所以的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎ ‎ 故的期望.‎ ‎（Ⅲ）在这100名患者中，服药者指标数据的方差大于未服药者指标数据的方差.‎ ‎24. 一种作图工具如图1所示.是滑槽的中点，短杆可绕转动，长杆通过处铰链与连接，上的栓子可沿滑槽滑动，且，.当栓子在滑槽内作往复运动时，带动绕转动一周（不动时，也不动），处的笔尖画出的曲线记为.以为原点，所在的直线为轴建立如图2所示的平面直角坐标系.‎ ‎（1）求曲线的坐标方程. ‎ ‎（2）直线与圆相切于点，且与曲线相交于不同的两点， ，求的最大值.‎ ‎（1）． ‎ ‎（Ⅱ）当直线垂直于轴时，由直线与圆： 相切，‎ 可知直线的方程为，易求.‎ 当直线不垂直于轴时，设直线的方程为，‎ 由直线与圆相切，得，即，‎ 将代入，整理得，‎ 设， ，则， ，‎ ‎，‎ 又因为，‎ 所以，‎ 当且仅当，即时等号成立，‎ 综上所述， 的最大值为2.‎ ‎25. 已知函数.‎ ‎（1）求函数在处的切线方程.‎ ‎（2）若是两个不相等的正数，且，试比较与2的大小，并说明理由.‎ ‎（1）‎ ‎（2）‎ ‎26. 在直角坐标系中，圆的方程为．‎ ‎（Ⅰ）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求的极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）直线的参数方程是（为参数）, 与交于两点，，求的斜率．‎ 解：⑴整理圆的方程得，‎ ‎ 由可知圆的极坐标方程为．‎ ‎ ⑵记直线的斜率为，则直线的方程为，‎ ‎ 由垂径定理及点到直线距离公式知：，‎ ‎ 即，整理得，则 ‎27. 已知常数，函数.‎ ‎（1）当时，求解不等式的解集；‎ ‎（2）设函数，对任意，不等式恒成立，求的取值范围.‎ ‎（1）∵，‎ ‎∴，即，即， ‎ 即，∴的解集为. ‎ ‎（2）∵对任意，不等式恒成立，‎ ‎∴不等式对任意恒成立， ‎ ‎①当时，得恒成立，所以； ‎ ‎②当时，得恒成立，所以； ‎ ‎③当时，得恒成立，所以； ‎ 综上， . ‎