【推荐】专题08+解密利用基本不等式求最值问题-2018版高人一筹之高三数学（文）二轮复习特色专题训练

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一、单选题 ‎1．【2018届山东省枣庄市第三中学高三一调】已知均为正实数，且，则 的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】，‎ 为正实数，，时等号成立，‎ 的最小值为，故选C.‎ ‎2．若直线经过圆的圆心，则的最小值是（ ）‎ A. 16 B. 9 C. 12 D. 8‎ ‎【答案】B ‎【易错点晴】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.‎ ‎3．正项等比数列中， ，若，则的最小值等于（ ）‎ A. 1 B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】设正项等比数列的公比为q,(q>0)，‎ 由,得q2=q+2，‎ 解得q=2或q=−1(舍去).‎ 又因为,即，‎ 所以m+n=6.‎ 因此，‎ 当且仅当m=4，n=2时，等号成立。‎ 故选： B.‎ ‎4．已知， ，且，则的最小值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【点睛】本题考查了基本不等式的性质、不等式的解法，其中对已知等式进行适当变形以便进一步推理、计算是解题的关键．‎ ‎5．在下列函数中，最小值为的是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】选项可以是负数. 选项，等号成立时时，在定义域内无法满 足. 选项，等号成立时，在实数范围内无法满足.由基本不等式知选项正确.‎ ‎6．已知，且，则的最小值是（ ）‎ A. 2 B. C. D. 3‎ ‎【答案】B ‎【易错点晴】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于中档题. 利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.‎ ‎7．已知不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】不等式化为：2（x﹣1）+＞﹣m﹣2，‎ ‎∵x＞1，∴2（x﹣1）+≥2×=4，当且仅当x=2时取等号．‎ ‎∵不等式对一切x∈（1，+∞）恒成立，‎ ‎∴﹣m﹣2＜4，‎ 解得m＞﹣6，‎ 故选：D．‎ 点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误 ‎8．已知-2与1是方程的两个根，且，则的最大值为（ ）‎ A. -2 B. -4 C. -6 D. -8‎ ‎【答案】B 点睛：本题考查基本不等式的应用。由题意得到，代入得，又基本不等式要求，所以变换得到 ‎，得到答案。‎ ‎9．已知是的重心，过点作直线与， 交于点，且， ， ，则的最小值是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 如图 三点共线， ‎ ‎ ∵是的重心，‎ ‎ ‎ ‎ 解得， 结合图象可知 ‎ 令 ‎ 故 ‎ 故 ‎ 当且仅当等号成立 故选D。‎ ‎10．设为正实数，且满足，下列说法正确的是（ ）‎ A. 的最大值为 B. 的最小值为2‎ C. 的最小值为4 D. 的最大值为 ‎【答案】B 点睛：本题考查基本不等式的应用。求的最值，是基本不等式中的“1”的应用的题型，则；求的最值，是基本不等式的公式直接应用，得。‎ ‎11．设， ， 都是正数，则三个数， ， （ ）‎ A. 至少有一个不小于2 B. 至少有一个大于2‎ C. 都大于2 D. 至少有一个不大于2‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意，得（当且仅当时取等号），所以三个数， ， 至少有一个不小于2.故选A.‎ 二、填空题 ‎12．【2018届安徽省淮南市第二中学、宿城第一中学高三第四次考试】若，则的最大值为__________．‎ ‎【答案】-2‎ ‎ ‎ ‎13．已知， ，且，则的最小值是__________．‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】根据题意得到，‎ 即 ‎ 故答案为：4.‎ ‎14．函数（且）的图象过一个定点,且点在直线 上,则的最小值是_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】函数f（x）=ax-1+3（a＞0，且a≠1）的图象过一个定点P（1，4），‎ ‎∵点P在直线mx+ny-2=0（m＞0，n＞0）上，∴m+4n=2．‎ 所以 当且仅当m=n=时取等号.‎ 故答案为.‎ 点睛：本题利用指数函数过可以得出函数（且）的图象过的一个定点，利用点在直线上得出等式，利用均值不等式即可得出最值.‎ ‎15．若对任意正实数，都有恒成立，则实数的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由，可知，解得。‎ ‎16．当时， 的最小值为，则实数的值为__________.‎ ‎【答案】‎ 三、解答题 ‎17．已知， ， .‎ ‎（1）求证： ；‎ ‎（2）求的最小值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ） .‎ ‎【解析】试题分析：（1）；‎ ‎（2） 。‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）‎ 当且仅当时取等号 ‎ 点睛：本题考查基本不等式的应用。条件型基本不等式（“1”的应用）的基本方法要知道。本题中 ，可知用“1”的妙用，得到，展开得解。‎