【数学】2020届一轮复习人教B版　三角函数图象与性质的应用学案

【数学】2020届一轮复习人教B版　三角函数图象与性质的应用学案

考查角度 2　三角函数图象与性质的应用 　　分类透析一　三角函数的图象及变换 例 1 (1)函数 y=Asin(ωx+φ) 的部分图象如图所 示,则该函数解析式为　　　　. (2)将函数 y=sin(2x+φ)(0<φ<π)的图象沿 x 轴向左平移 个 单位长度后,得到偶函数 g(x)的图象,则 φ=　　　　. 解析 (1)由图可知 A=2. ∵ T= - = , ∴T=π,∴ω= =2. 由图可知,当 x= 时,2× +φ=2kπ+ (k∈Z),即 φ=2kπ- (k∈Z). ∵- <φ< ,∴φ=- ,∴y=2sin . (2)由题意得 g(x)=sin =sin 2x+ +φ ,∵g(x)为偶函 数,∴ +φ=kπ+ (k∈Z). 又∵0<φ<π,∴φ= . 答案 (1)y=2sin 　(2) 方法技巧 (1)确定函数 y=Asin(ωx+φ)解析式的方法:①函数图 象的对称轴都经过函数的最值点,对称中心的横坐标都是函数的零点;② 图象上相邻两对称轴(对称中心)间的距离都是半个周期;③图象上相 邻两个最大(小)值点之间的距离恰好等于一个周期. (2)函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换的技巧及注意事项:①函数 图象的平移变换规则是“左加右减”;②变换只是相对于其中的自变 量 x 而言的,如果 x 的系数不是 1,就要把这个系数提取后再确定变 换的单位长度和方向. 　　分类透析二　三角函数的性质 例 2 (1)若函数 f(x)=sin x(sin x- cos x)的图象向左平移 个 单位长度,得到函数 g(x)的图象,则下列关于 g(x)的叙述正确的是 (　　). 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.g(x)的最小正周期为 2π B.g(x)在 上单调递增 C.g(x)的图象关于直线 x= 对称 D.g(x)的图象关于点 对称 (2)(2018 届烟台市诊断性测试)若函数 f(x)=4sin ωx·sin2 +cos 2ωx-1(ω>0)在 上是增函数,则 ω 的取值范围是 (　　). A.(0,1] B. C.[1,+∞) D. 解析 (1)f(x)=sin x(sin x- cos x)=sin2x- sin xcos x= - sin 2x= -sin , 将其图象向左平移 个单位长度后,得到函数 g(x)= -sin 2 x+ + = -sin 的图象, 则当 x= 时,函数 y=g(x)取得最小值,故选 C. (2)f(x)=4sin ωx·sin2 +cos 2ωx-1 =2sin ωx· +cos 2ωx-1 =2sin ωx+2sin2ωx+cos 2ωx-1=2sin ωx, 所以函数 f(x)的一个单调递增区间为 . 因为该函数在 上是增函数, 所以 ⊆ , 即 ⇒ 又 ω>0,所以 0<ω≤ . 答案 (1)C　(2)D 方法技巧 三角函数的性质及应用的求解方法: (1)先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数化成 y=Asin(ωx+φ)+B 的形式; (2)把“ωx+φ”视为一个整体,借助复合函数性质求 y=Asin(ωx+φ)+B 的单调性、奇偶性、最值及对称性等问题. 　　分类透析三　三角函数交汇问题 例 3 (1)函数 f(x)=cos 2x+6cos 的最大值为(　　). A.4 B.5 C.6 D.7 (2)若函数 f(x)=x- sin 2x+asin x 在(-∞,+∞)上单调递增,则 实数 a 的取值范围是(　　). A.[-1,1] B. C. D. 解析 (1)f(x)=cos 2x+6cos =1-2sin2x+6sin x,令 t=sin x, 则 f(x)=g(t)=-2t2+6t+1,t∈[-1,1]. 因为二次函数 y=-2t2+6t+1 的图象的对称轴为直线 t= , 所以可知 g(t)=-2t2+6t+1 在[-1,1]上单调递增, 所以 g(t)在 t=1 时取得最大值,最大值为 5.故选 B. (2)原问题转化为 f'(x)=1- cos 2x+acos x≥0 对任意的 x∈R 恒 成立, 故 1- (2cos2x-1)+acos x≥0,即 acos x- cos2x+ ≥0 对任意的 x∈R 恒成立. 令 cos x=t,则- t2+at+ ≥0 对任意的 t∈[-1,1]恒成立. 构造函数 g(t)=- t2+at+ ,其图象开口向下, 所以函数 g(t)的最小值的可能值为端点值, 故只需保证 解得- ≤a≤ .故选 C. 答案 (1)B　(2)C 方法技巧 (1)高考中的三角函数的最值问题主要考查三角函数 的基础知识,化归转化的方法以及分析解决问题的能力.主要解法有: 利用单调性解题,利用三角恒等变换化为 y=Asin(ωx+φ)+B 或 y=Acos(ωx+φ)+B 型的三角函数最值问题,化为关于 sin x 或 cos x 的二次函数问题,换元法,利用均值不等式等. (2)已知函数的单调性求参数的取值范围问题,一般是先将问题 转化为 f'(x)≥0(f'(x)≤0)在区间 I 上恒成立问题,然后直接求 f'(x)的最值或利用分离参数的方法求解.本题中由于换元后 t∈[-1,1],所以只能化为二次函数在定区间的最值问题. 1.(2018 年天津卷,理 6 改编)将函数 f(x)=2sin 的图象向右平 移 个单位长度,得到函数 g(x)的图象.若关于 x 的方程 g(x)-(2m+1)=0 在 上有唯一解,则实数 m 的取值范围是　　　　. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 解析 通过平移,得 g(x)=2sin =2sin 2x- ,方程 g(x)-(2m+1)=0 在 上有唯一解可看成函数 y=g(x)的图象和直线 y=2m+1 在 上有且只有 1 个交点.当 x∈ 时,2x- ∈ ,为使 直线 y=2m+1 与函数 y=g(x)的图象在 上有且只有 1 个交点,结合 y=g(x)在 上的图象(图略),只需-1≤2m+1<1 或 2m+1=2,解得 -1≤m<0 或 m= .故实数 m 的取值范围为[-1,0)∪ . 答案 [-1,0)∪ 2.(2018 年全国Ⅰ卷,文 8 改编)设函数 f(x)=cos ,则下列结论 错误的是(　　). A.f(x)的一个周期可为-2π B.y=f(x)的图象关于直线 x= 对称 C.f(x)在 上单调递减 D.f(x+π)的一个零点为 x= 解析 (法一)f(x)的周期为 kπ(k∈Z),所以 A 正确;当 x= 时,f(x)=cos =cos 3π=cos π=-1,所以 B 正确;f(x+π)=cos =cos ,当 x= 时,cos =cos =cos =0,f(x+π)=0,所以 D 正确;令 2kπ≤2x+ ≤2kπ+π(k∈Z),则 kπ- ≤x≤kπ+ (k∈Z),当 k=0 时,f(x)的一个单调递减区间为 ,故 C 错误. (法二)函数 f(x)=cos 的图象可由 y=cos 2x 的图象向左平 移 个单位长度得到,作出函数 f(x)的图象(如图).由图可知,f(x)在 上先减后增,C 错误,故选 C. 答案 C 3.(2018 年全国Ⅱ卷,理 10 改编)若函数 y=cos x+ax 在 上是增 函数,则实数 a 的最小值是(　　). A.-1 B.1 C.2 D.π 解析 依题意,y'=-sin x+a,若函数 y=cos x+ax 在 上是增函 数,则 a≥sin x 在 上恒成立,所以 a≥1,即实数 a 的最小值是 1, 故选 B. 答案 B 4.(2016 年全国Ⅰ卷,理 12 改编)已知 f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0≤φ≤π)是 R 上的偶函数,其图象关于点 M 对称,且在区间 上单调递减,则 ω 的值为　　　　. 解析 由 f(x)为偶函数得 f(0)=sin φ=±1,所以 φ=kπ+ ,k∈Z. 又因为 0≤φ≤π,所以 φ= . 又函数 f(x)的图象关于点 M 对称,所以 f =sin =cos =0. 由 ω>0,得 =kπ+ ,k=0,1,…,即 ω= (2k+1),k=0,1,…. 当 k=0 时,ω= ,f(x)=sin 在区间 上是减函数; 当 k=1 时,ω=2,f(x)=sin 在区间 上是减函数; 当 k≥2 时,ω≥ ,f(x)=sin 在区间 上不是单调函数. 综上,ω= 或 ω=2. 答案 或 2 5.(2018 年全国Ⅰ卷,理 16 改编)设当 x=θ 时,函数 f(x)=sin x-3cos x 取得最大值,则 cos θ=　　　　. 解析 (法一)f(x)=sin x-3cos x= sin(x-φ),其中锐角 φ 满 足 cos φ= ,sin φ= . 当 x=2kπ+ +φ(k∈Z)时,f(x)=sin x-3cos x 取得最大值,所以 θ=2kπ+ +φ(k∈Z),从而 cos θ=cos =-sin φ=- . (法二)f'(x)=cos x+3sin x,依题设得 f'(θ)=0,即 cos θ+3sin θ=0.又 sin θ-3cos θ= ,所以 cos θ=- . 答案 - 1.(2018 年佛山市质检)函数 y=sin +cos 2x- 的最小正周期和 振幅分别是(　　). 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.π, B.π,2 C.2π,1 D.2π, 解析 y=sin +cos =sin 2x+ +sin =2sin , ∴T= =π,振幅为 2,故选 B. 答案 B 2.(2018 年南平市质检)已知函数 f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)的图象的 一个对称中心为 ,且 f = ,则 ω 的最小值为(　　). A. B.1 C. D.2 解析 要使 ω 取得最小值,则最小正周期 T 应取最大值,故可令 ω+φ=π, ω+φ= ,得 ω= ,解得 ω= .故选 A. 答案 A 3.(2018 年长春十一中、东北师大附中、吉林一中、重庆一中联合模 拟)将函数 f(x)=2cos 图象上所有点的横坐标缩短到原来的 (纵 坐标不变),得到函数 y=g(x)的图象,则函数 y=g(x)的图象的一个对 称中心是(　　). A. B. C. D. 解析 由题意得 g(x)=2cos ,则该函数图象的对称中心的横 坐标满足 2x+ = +kπ,k∈Z,即 x= + ,k∈Z.当 k=0 时,对称中心为 .故选 B. 答案 B 4.(2018 年乌鲁木齐质检)已知 为函数 f(x)=sin(2x+φ) 的 零点,则函数 f(x)的单调递增区间是(　　). A. (k∈Z) B. (k∈Z) C. (k∈Z) D. (k∈Z) 解析 由已知,得 f =sin =0,所以 +φ=kπ(k∈Z),即 φ=kπ- (k∈Z). 因为 0<φ< ,所以 φ= ,所以 f(x)=sin . 令 2kπ- ≤2x+ ≤2kπ+ (k∈Z), 得 kπ- ≤x≤kπ+ (k∈Z), 所以函数 f(x)的单调递增区间为 (k∈Z). 答案 C 5.(2018 届广元市统考)已知函数 y=sin(ωx+φ) ω>0,0<φ< 一个 周期内的图象如图所示,点 A ,C 为图象上的最高点,则 ω,φ 的 值为(　　). A.ω= ,φ= B.ω= ,φ= C.ω=2,φ= D.ω=2,φ= 解析 (法一)由图象得 T=4 =π,故 ω=2,所以 y=sin(2x+φ). 又点 C 在该函数的图象上,故 sin =1,解得 φ= +2kπ(k∈Z). 又 0<φ< ,所以 φ= . (法二)由题意得 解得 故选 C. 答案 C 6.(2018 福建龙岩质检)函数 y=cos (cos x+sin x)的单调递增区 间是(　　). A. (k∈Z) B. (k∈Z) C. (k∈Z) D. (k∈Z) 解析 y=sin x(cos x+sin x)=sin xcos x+sin2x= sin 2x+ = (sin 2x-cos 2x)+ = sin 2x- + , 结合三角函数的性质可知,2kπ- ≤2x- ≤2kπ+ (k∈Z),即 kπ- ≤x≤kπ+ (k∈Z), 故该函数的单调递增区间是 (k∈Z).故选 B. 答案 B 7.(2018 年海南省二模)将曲线 y=sin(2x+φ) 向右平移 个单 位长度后得到曲线 y=f(x),若函数 f(x)的图象关于 y 轴对称,则 φ=(　　). A. B. C.- D.- 解析 曲线 y=sin(2x+φ) 向右平移 个单位长度后得到曲 线 y=f(x)=sin =sin 2x- +φ ,若函数 f(x)的图象关于 y 轴对称,则- +φ= +kπ(k∈Z),即 φ= +kπ(k∈Z).又|φ|< ,所以 φ=- .故选 D. 答案 D 8.(2018 年云南昆明二模)若直线 x=aπ(00),其图象 的一条对称轴在区间 内,且 f(x)的最小正周期大于 π,则 ω 的取 值范围为(　　). A. B.(0,2) C.(1,2) D.[1,2) 解析 由题意得 f(x)= sin ωx+cos ωx=2sin ωx+ (ω>0). 令 ωx+ = +kπ,k∈Z,得 x= + ,k∈Z. ∵该函数图象的一条对称轴在区间 内, ∴ < + < ,k∈Z, ∴3k+1<ω<6k+2,k∈Z. 又 f(x)的最小正周期大于 π, ∴ >π,解得 0<ω<2. ∴ω 的取值范围为(1,2).故选 C. 答案 C 10.(2018 年重庆巴蜀中学月考)把 y=sin x 的图象向左平移 φ(φ>0) 个单位长度,再把所得图象各点的横坐标缩短到原来的 ,纵坐标不变, 得到 f(x)的图象.若 f(x)≤ 对 x∈R 恒成立,且 f >f(π),f(θ)= ,则 θ 的可能取值为(　　). A. B. C. D. 解析 由题意可得 f(x)=sin(2x+φ), ∵f(x)≤ 对 x∈R 恒成立, ∴f 是 f(x)的最大值或最小值, ∴2× +φ=kπ+ ,k∈N,故 φ=kπ+ ,k∈N. 又 f >f(π),∴sin >sin(2π+φ),即-sin φ>sin φ,∴sin φ<0. ∴φ=2kπ+ ,k∈N, ∴f(x)=sin =sin . 又 f(θ)=sin = , ∴2θ- =2kπ+ 或 2θ- =2kπ+ ,k∈Z, ∴θ=kπ+ 或 θ=kπ+ ,k∈Z,故选 A. 答案 A 11.(2018 年江西高三质检)设函数 f(x)=asin x+bcos x,其中 a,b∈R,ab≠0,若 f(x)≥f 对一切 x∈R 恒成立,则函数 f(x)的单调 递增区间是　　　　. 解析 由题意知,函数 f(x)的最小正周期为 2π,当 x= 时,f(x)取 到最小值.作出函数 f(x)的图象(图略),可知该函数的单调递增区间 是 2kπ+ ,2kπ+ (k∈Z). 答案 (k∈Z) 12.(2018 年重庆高三二诊)设函数 y=6cos x 与 y=5tan x 的图象在 y 轴右侧的第一个交点为 A,过点 A 作 y 轴的平行线交函数 y=sin 2x 的 图象于点 B,则线段 AB 的长度为　　　　. 解析 联立 y=6cos x 与 y=5tan x 得 6cos x=5tan x,即 6cos2x=5sin x. 又 cos2x+sin2x=1,所以 6sin2x+5sin x-6=0, 解得 sin x= 或 sin x=- (舍去),则 cos x= . 所以|AB|=6cos x-sin 2x=6cos x-2sin xcos x=6× -2× × = . 答案 13.(2018 届天津一中月考)设函数 f(x)=sin(ωx+φ),ω>0,若 f(x) 在区间 上单调,且 f =f =-f ,则 f(x)的最小正周期 为　　　　. 解析 由 f(x)在区间 上单调,得 - ≤ = × = ,解得 0<ω≤3. 又 f =f =-f , ∴直线 x= = 为 f(x)图象的一条对称轴,且 ,0 ,即 为 f(x)图象的一个对称中心. ∴ = · = - = ,解得 ω=2∈(0,3], ∴T= =π. 答案 π 14.(2018 届天门期末)函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的部分图 象如图所示,则 f(1)+f(2)+f(3)+…+f(18)的值为　　　　. 解析 由图知 A=2, =6-2,∴T=8,ω= = . ∵2sin =2, ∴ +φ= +2kπ(k∈Z),φ=2kπ(k∈Z), ∴f(x)=2sin , ∴f(1)+f(2)+f(3)+…+f(18) =2f(1)+2f(2)+…+2f(8)+f(1)+f(2) =f(1)+f(2)= +2. 答案 +2 15.(2018 届昆明模拟)把函数 y=sin 2x 的图象沿 x 轴向左平移 个单 位长度,纵坐标伸长到原来的 2 倍(横坐标不变)后得到函数 y=f(x) 的图象,对于函数 y=f(x)有以下四个判断: ①该函数的解析式为 y=2sin ; ②该函数图象关于点 对称; ③该函数在 上是增函数; ④若函数 y=f(x)+a 在 上的最小值为 ,则实数 a=2 . 其中正确判断的序号是　　　　. 解析 将函数 y=sin 2x 的图象向左平移 个单位长度得到 y=sin 2 x+ =sin 的图象,然后将所得图象上所有点的纵坐标伸长到原 来的 2 倍(横坐标不变)得到 y=2sin 的图象,故①不正确;y=f =2sin 2× + =2sin π=0,故该函数图象关于点 对称,②正确;由 - +2kπ≤2x+ ≤ +2kπ,k∈Z,得- +kπ≤x≤ +kπ,k∈Z,即函数 f(x)的单调递增区间为 ,k∈Z,当 k=0 时,单调递增区 间为 - , ,故③不正确;y=f(x)+a=2sin +a,当 0≤x≤ 时, ≤2x+ ≤ ,故当 2x+ = ,即 x= 时,该函数取得最小值,ymin=2sin +a=- +a= ,得 a=2 ,④正确. 答案 ②④