数学卷·2018届重庆市武隆县鸭江中学高二上学期第一次月考数学试卷 （解析版）

数学卷·2018届重庆市武隆县鸭江中学高二上学期第一次月考数学试卷 （解析版）

‎2016-2017学年重庆市武隆县鸭江中学高二（上）第一次月考数学试卷 ‎　‎ 一、选择题：本大题共11小题，每小题5分．‎ ‎1．如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是（　　）‎ A．①是棱台 B．②是圆台 C．③是棱锥 D．④不是棱柱 ‎2．下列说法中正确的是（　　）‎ A．有两个面平行，其余各面都是三角形的几何体叫棱柱 B．有两个面平行，其余各面都是梯形的几何体叫棱台 C．有一个面是多边形，其余各面都是五边形的几何体叫棱锥 D．棱台各侧棱的延长线交于一点 ‎3．设a，b为两条直线，α，β为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（　　）‎ A．若a，b与α所成的角相等，则α∥b B．若a∥α，b∥β，α∥β，则a∥b C．若a⊂α，b⊂β，α∥b，则α∥β D．若a⊥α，b⊥β，α⊥β，是a⊥b ‎5．下列几何体中，正视图、侧视图、俯视图都相同的几何体的序号是（　　）‎ A．（1）（2） B．（2）（3） C．（3）（4） D．（1）（4）‎ ‎6．如图，在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，直线AC与直线BC′所成的角为（　　）‎ A．30° B．60° C．90° D．45°‎ ‎7．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．如图，ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是（　　）‎ A．BD∥平面CB1D1‎ B．AC1⊥BD C．AC1⊥平面CB1D1‎ D．异面直线AD与CB1所成的角为60°‎ ‎9．如图，△O′A′B′是水平放置的△OAB的直观图，则△OAB的面积是（　　）‎ A．6 B．3 C．6 D．12‎ ‎10．已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β．直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则（　　）‎ A．α∥β且l∥α B．α⊥β且l⊥β C．α与β相交，且交线垂直于l D．α与β相交，且交线平行于l ‎11．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为，底面的边长都为，若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是（　　）‎ A．100 cm3 B．108 cm3 C．84 cm3 D．92 cm3‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．‎ ‎13．底面直径和高都是4cm的圆柱的侧面积为　　cm2．‎ ‎14．设平面α∥平面β，A，C∈α，B，D∈β，直线AB与CD交于点S，且点S位于平面α，β之间，AS=8，BS=6，CS=12，则SD=　　．‎ ‎15．如图所示，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成的角的大小是　　．‎ ‎16．已知正四棱锥O﹣ABCD的体积为，底面边长为，则以O为球心，OA为半径的球的表面积为　　．‎ ‎　‎ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17．如图所示，四棱锥V﹣ABCD的底面为边长等于2cm的正方形，顶点V与底面正方形中心的连线为棱锥的高，侧棱长VC=4cm，求这个正四棱锥的体积．‎ ‎18．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面垂直，AC=9，BC=12，AB=15，AA1=12，点D是AB的中点．‎ ‎（1）求证：AC⊥B1C； ‎ ‎（2）求证：AC1∥平面CDB1．‎ ‎19．如图，正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为a，连接A′C′，A′D，A′B，BD，BC′，C′D，得到一个三棱锥，求：‎ ‎（1）三棱锥A′﹣BC′D的表面积与正方体表面积的比值；‎ ‎（2）三棱锥A′﹣BC′D的体积．‎ ‎20．在三棱锥S﹣ABC中，SA⊥底面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分SC且分别交AC、SC于D、E，又SA=AB，SB=BC，‎ ‎（1）求证：BD⊥平面SAC；‎ ‎（2）求二面角E﹣BD﹣C的大小．‎ ‎21．正三棱锥的高为1，底面边长为2，内有一个球与它的四个面都相切，求：‎ ‎（1）棱锥的表面积；‎ ‎（2）内切球的表面积与体积．‎ ‎22．三棱台ABC﹣A1B1C1中，侧棱CC1⊥底面ABC，∠ACB=90°，AC=B1C1=a，BC=2a，AB1与CC1成45°角，D为BC中点，‎ ‎（1）B1D与平面ABC的位置关系如何？‎ ‎（2）求三棱台的体积；‎ ‎（3）求A1C1与平面AB1C的距离．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年重庆市武隆县鸭江中学高二（上）第一次月考数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共11小题，每小题5分．‎ ‎1．如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是（　　）‎ A．①是棱台 B．②是圆台 C．③是棱锥 D．④不是棱柱 ‎【考点】棱台的结构特征．‎ ‎【分析】利用几何体的结构特征进行分析判断，能够求出结果．‎ ‎【解答】解：图①不是由棱锥截来的，所以①不是棱台；‎ 图②上、下两个面不平行，所以②不是圆台；‎ 图③是棱锥．‎ 图④前、后两个面平行，其他面是平行四边形，且每相邻两个四边形的公共边平行，所以④是棱柱．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎2．下列说法中正确的是（　　）‎ A．有两个面平行，其余各面都是三角形的几何体叫棱柱 B．有两个面平行，其余各面都是梯形的几何体叫棱台 C．有一个面是多边形，其余各面都是五边形的几何体叫棱锥 D．棱台各侧棱的延长线交于一点 ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【分析】利用棱柱、棱锥、棱台的概念即可对逐个选项的正误作出判断．‎ ‎【解答】解：对于A，由棱柱的概念“有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱”知A错；‎ ‎ 对于B，D，用平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台，故B错误，D正确；‎ 对于C，如果一个多面体的一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，那么这个多面体叫做棱锥棱锥，故C错误．‎ 综上所述，正确的命题为D．‎ 故选：D ‎　‎ ‎3．设a，b为两条直线，α，β为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（　　）‎ A．若a，b与α所成的角相等，则α∥b B．若a∥α，b∥β，α∥β，则a∥b C．若a⊂α，b⊂β，α∥b，则α∥β D．若a⊥α，b⊥β，α⊥β，是a⊥b ‎【考点】平面与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系．‎ ‎【分析】根据题意，依次分析选项，A、用直线的位置关系判断．B、用长方体中的线线，线面，面面关系验证．C、用长方体中的线线，线面，面面关系验证．D、由a⊥α，α⊥β，可得到a⊂β或a∥β，再由b⊥β得到结论．‎ ‎【解答】解：A、直线a，b的方向相同时才平行，不正确；‎ B、用长方体验证．如图，设A1B1为a，平面AC为α，BC为b，平面A1C1为β，显然有a∥α，b∥β，α∥β，但得不到a∥b，不正确；‎ C、可设A1B1为a，平面AB1为α，CD为b，平面AC为β，满足选项C的条件却得不到α∥β，不正确；‎ D、∵a⊥α，α⊥β，‎ ‎∴a⊂β或a∥β 又∵b⊥β ‎∴a⊥b 故选D ‎　‎ ‎5．下列几何体中，正视图、侧视图、俯视图都相同的几何体的序号是（　　）‎ A．（1）（2） B．（2）（3） C．（3）（4） D．（1）（4）‎ ‎【考点】简单空间图形的三视图．‎ ‎【分析】根据三视图的作法，判断正方体、圆锥、圆柱、球的三视图中，满足题意的几何体即可．‎ ‎【解答】解：（1）的三视图中正视图、左视图、俯视图都是正方形，满足题意；（2）（3）的左视图、正视图是相同的，俯视图与之不同；（4）的三视图都是圆，满足题意；‎ 故选D ‎　‎ ‎6．如图，在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，直线AC与直线BC′所成的角为（　　）‎ A．30° B．60° C．90° D．45°‎ ‎【考点】异面直线及其所成的角．‎ ‎【分析】连接AD′，CD′．由正方体可得：BC′=AD′=CD′，BC′∥AD′．可得∠D′AC是异面直线AC与直线BC′所成的角．求出即可．‎ ‎【解答】解：如图所示，‎ 连接AD′，CD′．‎ 由正方体可得：BC′=AD′=CD′，BC′∥AD′．‎ ‎∴∠D′AC是异面直线AC与直线BC′所成的角．‎ 由BC′=AD′=CD′，‎ ‎∴△AD′C是等边三角形．‎ ‎∴∠D′AC=60°．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎7．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】简单空间图形的三视图．‎ ‎【分析】首先由几何体的俯视图断定原几何体的最上面的平面图形应是圆，再由俯视图内部只有一个虚圆，断定原几何体下部分的图形不可能是棱柱，由此可排除前三个选项．‎ ‎【解答】解：由俯视图可知，原几何体的上底面应该是圆面，由此排除选项A和选项C．‎ 而俯视图内部只有一个虚圆，所以排除B．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎8．如图，ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是（　　）‎ A．BD∥平面CB1D1‎ B．AC1⊥BD C．AC1⊥平面CB1D1‎ D．异面直线AD与CB1所成的角为60°‎ ‎【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；棱柱的结构特征；空间中直线与平面之间的位置关系．‎ ‎【分析】A中因为BD∥B1D1可判，B和C中可由三垂线定理进行证明；而D中因为CB1∥D1A，所以∠D1AD即为异面直线所成的角，∠D1AD=45°．‎ ‎【解答】解：A中因为BD∥B1D1，正确；B中因为AC⊥BD，由三垂线定理知正确；‎ C中有三垂线定理可知AC1⊥B1D1，AC1⊥B1C，故正确；‎ D中显然异面直线AD与CB1所成的角为45°‎ 故选D ‎　‎ ‎9．如图，△O′A′B′是水平放置的△OAB的直观图，则△OAB的面积是（　　）‎ A．6 B．3 C．6 D．12‎ ‎【考点】平面图形的直观图．‎ ‎【分析】由直观图和原图的之间的关系，由直观图画法规则，还原△OAB是一个直角三角形，直角边OA=6，OB=4，直接求解其面积即可．‎ ‎【解答】解：由直观图画法规则，可得△OAB是一个直角三角形，直角边OA=6，OB=4，‎ ‎∴S△OAB=OA•OB=×6×4=12．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎10．已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β．直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则（　　）‎ A．α∥β且l∥α B．α⊥β且l⊥β C．α与β相交，且交线垂直于l D．α与β相交，且交线平行于l ‎【考点】平面与平面之间的位置关系；平面的基本性质及推论．‎ ‎【分析】由题目给出的已知条件，结合线面平行，线面垂直的判定与性质，可以直接得到正确的结论．‎ ‎【解答】解：由m⊥平面α，直线l满足l⊥m，且l⊄α，所以l∥α，‎ 又n⊥平面β，l⊥n，l⊄β，所以l∥β．‎ 由直线m，n为异面直线，且m⊥平面α，n⊥平面β，则α与β相交，否则，若α∥β则推出m∥n，‎ 与m，n异面矛盾．‎ 故α与β相交，且交线平行于l．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎11．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为，底面的边长都为，若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】直线与平面所成的角．‎ ‎【分析】利用三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面垂直和线面角的定义可知，∠APA1为PA与平面A1B1C1所成角．利用三棱锥的体积计算公式可得AA1，再利用正三角形的性质可得A1P，在Rt△AA1P中，利用tan∠APA1=，可得结论．‎ ‎【解答】解：如图所示，‎ ‎∵AA1⊥底面A1B1C1，∴∠APA1为PA与平面A1B1C1所成角，‎ ‎∵平面ABC∥平面A1B1C1，∴∠APA1为PA与平面ABC所成角．‎ ‎∵=．‎ ‎∴V三棱柱ABC﹣A1B1C1=AA1，解得AA1=．‎ 又P为底面正三角形A1B1C1的中心，∴A1P=1，‎ 在Rt△AA1P中，tan∠APA1==，‎ ‎∴∠APA1=60°．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎12．已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是（　　）‎ A．100 cm3 B．108 cm3 C．84 cm3 D．92 cm3‎ ‎【考点】由三视图求面积、体积．‎ ‎【分析】如图所示，原几何体为：一个长宽高分别为6，3，6的长方体砍去一个三棱锥，底面为直角边分别为3，4直角三角形，高为4．利用长方体与三棱锥的体积计算公式即可得出．‎ ‎【解答】解：如图所示，原几何体为：‎ 一个长宽高分别为6，3，6的长方体砍去一个三棱锥，底面为直角边分别为3，4直角三角形，高为4．‎ 因此该几何体的体积=3×6×6﹣××3×4×4‎ ‎=108﹣8‎ ‎=100．‎ 故选：A ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．‎ ‎13．底面直径和高都是4cm的圆柱的侧面积为　16π　cm2．‎ ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．‎ ‎【分析】根据所给的圆柱的底面直径和高，先做出圆柱的底面圆的周长，根据矩形的面积等于长乘以宽，用圆柱的底面圆的周长乘以圆柱的高，得到圆柱的侧面积．‎ ‎【解答】解：∵圆柱的底面直径和高都是4cm，‎ ‎∴圆柱的底面圆的周长是2π×2=4π ‎∴圆柱的侧面积是4π×4=16π，‎ 故答案为：16π．‎ ‎　‎ ‎14．设平面α∥平面β，A，C∈α，B，D∈β，直线AB与CD交于点S，且点S位于平面α，β之间，AS=8，BS=6，CS=12，则SD=　9　．‎ ‎【考点】平面与平面平行的性质．‎ ‎【分析】根据题意做出符合题意的图形（如下图）然后根据图形再结合线面平行的性质定理可得AC∥DB故△ASC∽△DSB故可得，再结合条件AS=1，BS=2，CD=6即可求出SD的值．‎ ‎【解答】解：根据题意做出如下图形：‎ ‎∵AB，CD交于S点 ‎ ‎∴三点确定一平面，所以设ASC平面为n，于是有n交α于AC，交β于DB，‎ ‎∵α，β平行 ‎∴AC∥DB ‎∴△ASC∽△DSB ‎∴‎ ‎∵AS=8，BS=6，CS=12‎ ‎∴‎ ‎∴SD=9．‎ 故答案为：9．‎ ‎　‎ ‎15．如图所示，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成的角的大小是　90°　．‎ ‎【考点】异面直线及其所成的角．‎ ‎【分析】由题意设棱长为a，补正三棱柱ABC﹣A2B2C2，构造直角三角形A2BM，解直角三角形求出BM，利用勾股定理求出A2M，从而求解．‎ ‎【解答】解：设棱长为a，补正三棱柱ABC﹣A2B2C2（如图）．‎ 平移AB1至A2B，连接A2M，∠MBA2即为AB1与BM所成的角，‎ 在△A2BM中，A2B=a，BM==a，‎ A2M==a，‎ ‎∴A2B2+BM2=A2M2，‎ ‎∴∠MBA2=90°．‎ 故答案为90°．‎ ‎　‎ ‎16．已知正四棱锥O﹣ABCD的体积为，底面边长为，则以O为球心，OA为半径的球的表面积为　24π　．‎ ‎【考点】球的体积和表面积；棱锥的结构特征．‎ ‎【分析】先直接利用锥体的体积公式即可求得正四棱锥O﹣ABCD的高，再利用直角三角形求出正四棱锥O﹣ABCD的侧棱长OA，最后根据球的表面积公式计算即得．‎ ‎【解答】解：如图，正四棱锥O﹣ABCD的体积V=sh=（×）×OH=，‎ ‎∴OH=，‎ 在直角三角形OAH中，OA===‎ 所以表面积为4πr2=24π；‎ 故答案为：24π．‎ ‎　‎ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17．如图所示，四棱锥V﹣ABCD的底面为边长等于2cm的正方形，顶点V与底面正方形中心的连线为棱锥的高，侧棱长VC=4cm，求这个正四棱锥的体积．‎ ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．‎ ‎【分析】连AC、BD相交于点O，连VO，求出VO，则VV﹣ABCD=SABCD•VO，由此能求出这个正四棱锥的体积．‎ ‎【解答】解：连AC、BD相交于点O，连VO，‎ ‎∵AB=BC=2 cm，‎ ‎∴在正方形ABCD中，CO= cm，‎ 在直角三角形VOC中，VO= cm，‎ ‎∴VV﹣ABCD=SABCD•VO=×4×=（cm3）．‎ 故这个正四棱锥的体积为 cm3．‎ ‎　‎ ‎18．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面垂直，AC=9，BC=12，AB=15，AA1=12，点D是AB的中点．‎ ‎（1）求证：AC⊥B1C； ‎ ‎（2）求证：AC1∥平面CDB1．‎ ‎【考点】直线与平面平行的判定；空间中直线与直线之间的位置关系．‎ ‎【分析】（1）证明C1C⊥AC，AC⊥BC，可得AC⊥平面BCC1B1，而B1C⊂平面BCC1B1，故AC⊥B1C．‎ ‎（2）连接BC1交B1C于O点，由三角形中位线的性质得OD∥AC1，又OD⊂平面CDB1，可得AC1∥平面CDB1．‎ ‎【解答】证明：（1）∵C1C⊥平面ABC，AC⊂面ABC，∴C1C⊥AC．‎ ‎∵AC=9，BC=12，AB=15，∴AC⊥BC． 又 BC∩C1C=C，‎ ‎∴AC⊥平面BCC1B1，而B1C⊂平面BCC1B1，∴AC⊥B1C．‎ ‎（2）连接BC1交B1C于O点，连接OD，‎ ‎∵O，D分别为BC1，AB的中点，‎ ‎∴OD∥AC1，又OD⊂平面CDB1，AC1⊄平面CDB1，‎ ‎∴AC1∥平面CDB1．‎ ‎　‎ ‎19．如图，正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为a，连接A′C′，A′D，A′B，BD，BC′，C′D，得到一个三棱锥，求：‎ ‎（1）三棱锥A′﹣BC′D的表面积与正方体表面积的比值；‎ ‎（2）三棱锥A′﹣BC′D的体积．‎ ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．‎ ‎【分析】（1）求出三棱锥A′﹣BC′D的棱长为a，即可求出三棱锥A′﹣BC′D的表面积与正方体表面积的比值；‎ ‎（2）利用割补法，即可求出三棱锥A′﹣BC′D的体积．‎ ‎【解答】解：（1）正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为a，则三棱锥A′﹣BC′D的棱长为a，表面积为4××（a）2=2a2，正方体表面积为6a2，‎ ‎∴三棱锥A′﹣BC′D的表面积与正方体表面积的比值为：3；‎ ‎（2）三棱锥A′﹣BC′D的体积为a3﹣4××a3=a3．‎ ‎　‎ ‎20．在三棱锥S﹣ABC中，SA⊥底面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分SC且分别交AC、SC于D、E，又SA=AB，SB=BC，‎ ‎（1）求证：BD⊥平面SAC；‎ ‎（2）求二面角E﹣BD﹣C的大小．‎ ‎【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．‎ ‎【分析】（1）利用线面垂直的判定定理即可证明先证BD⊥面SAC，‎ ‎（2）根据二面角的平面角的定义得到∠EDC是所求的二面角的平面角，利用Rt△SAC与Rt△EDC相似求出∠EDC即可．‎ ‎【解答】证明：（1）由于SB=BC，且E是SC的中点，因此BE是等腰三角形SBC的底边SC的中线，所以SC⊥BE．‎ 又已知SC⊥DE，BE∩DE=E，‎ ‎∴SC⊥面BDE，‎ ‎∴SC⊥BD．‎ 又∵SA⊥底面ABC，BD在底面ABC上，‎ ‎∴SA⊥BD．‎ 而SC∩SA=S，∴BD⊥面SAC．‎ ‎（2）∵DE=面SAC∩面BDE，DC=面SAC∩面BDC，‎ ‎∴BD⊥DE，BD⊥DC．‎ ‎∴∠EDC是所求的二面角的平面角．‎ ‎∵SA⊥底面ABC，∴SA⊥AB，SA⊥AC．‎ 设SA=a，则AB=a，BC=SB=a ‎∵AB⊥BC，∴AC=，在Rt△SAC中tan∠ACS=‎ ‎∴∠ACS=30°．‎ 又已知DE⊥SC，所以∠EDC=60°，即所求的二面角等于60°．‎ ‎　‎ ‎21．正三棱锥的高为1，底面边长为2，内有一个球与它的四个面都相切，求：‎ ‎（1）棱锥的表面积；‎ ‎（2）内切球的表面积与体积．‎ ‎【考点】球的体积和表面积．‎ ‎【分析】（1）过点P作PD⊥平面ABC于D，连结并延长AD交BC于E，连结PE，△ABC是正三角形，AE是BC边上的高和中线，D为△ABC的中心．由此能求出棱锥的全面积．‎ ‎（2）求出棱锥的体积，设球的半径为r，以球心O为顶点，棱锥的四个面为底面把正三棱锥分割为四个小棱锥，由此能求出球的表面积．‎ ‎【解答】解：（1）如图，过点P作PD⊥平面ABC于D，‎ 连结并延长AD交BC于E，连结PE，△ABC是正三角形，‎ ‎∴AE是BC边上的高和中线，D为△ABC的中心．‎ ‎∵AB=2，‎ ‎∴S△ABC=×（2）2=6，‎ DE=AB=，PE=．‎ S△PAB=S△PBC=S△PCA==3．‎ ‎∴S表=9+6；‎ ‎（2）设球的半径为r，以球心O为顶点，棱锥的四个面为底面把正三棱锥分割为四个小棱锥，‎ ‎∵PD=1，∴VP﹣ABC=•6•1=2．‎ 则由等体积可得r==﹣2，‎ ‎∴S球=4π（﹣2）2．体积V=π（﹣2）3．‎ ‎　‎ ‎22．三棱台ABC﹣A1B1C1中，侧棱CC1⊥底面ABC，∠ACB=90°，AC=B1C1=a，BC=2a，AB1与CC1成45°角，D为BC中点，‎ ‎（1）B1D与平面ABC的位置关系如何？‎ ‎（2）求三棱台的体积；‎ ‎（3）求A1C1与平面AB1C的距离．‎ ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；点、线、面间的距离计算．‎ ‎【分析】（1）由BC中点为D且B1C1=a，BC=2a，可得四边形DCC1B1为平行四边形，得到B1D∥C1C，又C1C⊥平面ABC，可得B1D⊥平面ABC；‎ ‎（2）在三棱台ABC﹣A1B1C1中，求解直角三角形可得，再求出棱台上下底面的面积，可得三棱台的体积；‎ ‎（3）由A1C1∥AC，可得A1C1∥平面AB1C，再由已知可得CC1⊥底面A1B1C1，进一步得到CC1⊥B1C1，则△B1C1C为直角三角形，然后证明面AB1C⊥平面BCC1B1，在平面BCC1B1内过C1作C1G⊥B1C，可得C1G为A1C1与平面AB1C的距离，然后通过面积相等求得A1C1与平面AB1C的距离．‎ ‎【解答】解：（1）∵BC中点为D且B1C1=a，BC=2a，∴B1C1∥CD，B1C1=CD，‎ ‎∴四边形DCC1B1为平行四边形，则B1D∥C1C，‎ ‎∵C1C⊥平面ABC，∴B1D⊥平面ABC；‎ ‎（2）在三棱台ABC﹣A1B1C1中，‎ ‎∵AC=B1C1=a，BC=2a，∴，‎ ‎∵∠ACB=90°，∴，‎ 又AB1与CC1成45°角，B1D∥C1C，‎ ‎∴，‎ ‎=，，‎ 则 ‎=×=；‎ ‎（3）∵A1C1∥AC，AC⊂平面AB1C，‎ ‎∴A1C1∥平面AB1C，‎ ‎∵棱CC1⊥底面ABC，∴CC1⊥底面A1B1C1，‎ ‎∴CC1⊥B1C1，则△B1C1C为直角三角形，‎ 由题意AC⊥平面BCC1B1，可得面AB1C⊥平面BCC1B1，‎ 在平面BCC1B1内过C1作C1G⊥B1C，垂足为G，‎ 则C1G为A1C1与平面AB1C的距离，‎ 在Rt△B1C1C中，∵B1C1=a，，‎ ‎∴，‎ 则．‎