数学（文）卷·2017届四川省绵阳市高中高三第三次诊断性考试（2017

数学（文）卷·2017届四川省绵阳市高中高三第三次诊断性考试（2017

绵阳市高中2014级第三次诊断性考试 文科数学 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合 , ,则 ( )‎ A． B. C． D．[1,2)‎ ‎2. 已知是虚数单位，则 ( )‎ A．1 B． C．2 D．‎ ‎3. 某人午觉醒来,他打开收音机,想听电台整点报时,则他等待的视角不多余10分钟的概率是( )‎ A． B． C. D．‎ ‎4. 等比数列的各项均为正数，且，，则 ( )‎ A． B． C. 20 D. 40‎ ‎5. 若某校8个伴参加合唱比赛的得分茎叶图如图所示,则这组数据的中位数和平均数分别是( )‎ A．92和92 B．91.5和92 C. 91和91.5 D．91.5和91.5‎ ‎6. 已知正方形的边长为6，在边上且，为的中点，则 ( )‎ A．-6 B．12 C. 6 D．-12‎ ‎7. 《九章算术》是中国古代第一部数学专著，书中有关于“堑堵”的记载，“堑堵”即底面是直角三角形的直三棱柱.已知某“堑堵”被一个平面截去一部分后，剩下部分的三视图如图所示，则剩下部分的体积是( )‎ A．75 B．50 C.37.5 D．25.5‎ ‎8. 在如图的程序框图中，若函数则输出的结果是( )‎ A．16 B．8 C. D．‎ ‎9. 已知函数,且.若函数的最大值记为，则的最小值为( )‎ A． B． C. D．‎ ‎10. 三棱锥中，，，互相垂直，，是线段上一动点，若直线与平面所成角的正切的最大值是，则三棱锥的外接球表面积是( )‎ A． B． C. D．‎ ‎11. 已知是双曲线：的右焦点，，分别为的左、‎ 右顶点. 为坐标原点，为上一点，轴.过点的直线与线段交于点，与轴交于点,直线与轴交于点，若，则双曲线的离心率为（ )‎ A．3 B．4 C.5 D．6‎ ‎12. 函数在区间(-1,1)上单调递增,则最小值是( )‎ A．8 B．16 C. D．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.若实数满足，则的最小值是 ．‎ ‎14.过定点的直线：与圆：相切于点，则 ．‎ ‎15.已知数列的前项和为，若，， ，则 ．‎ ‎16.若抛物线上有一条长为10的动弦，则的中点到轴的最短距离为 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 在中，，，分别是内角，，的对边，且.‎ ‎（Ⅰ）求角的大小；‎ ‎（Ⅱ）若，且，求的面积.‎ ‎18. 共享单车进驻城市，绿色出行引领时尚．某市有统计数据显示，2016年该市共享单车用户年龄登记分布如图1所示，一周内市民使用单车的频率分布扇形图如图2所示．若将共享单车用户按照年龄分为“年轻人”（20岁~39岁）和“非年轻人”（19岁及以下或者40岁及以上）两类，将一周内使用的次数为6次或6次以上的称为“经常使用单车用户”‎ ‎，使用次数为5次或不足5次的称为“不常使用单车用户”．已知在“经常使用单车用户”中有是“年轻人”．‎ ‎（Ⅰ）现对该市市民进行“经常使用共享单车与年龄关系”的调查，采用随机抽样的方法，抽取一个容量为200的样本，请你根据图表中的数据，补全下列列联表：‎ 年轻人 非年轻人 合计 经常使用单车用户 ‎120‎ 不常使用单车用户 ‎80‎ 合计 ‎160‎ ‎40‎ ‎200‎ ‎（Ⅱ）请根据（Ⅰ）中的列联表独立性检验，判断有多大把握可以认为经常使用共享单车与年龄有关？．‎ ‎（参考数据：‎ 独立性检验界值表 ‎0．15‎ ‎0．10‎ ‎0．050‎ ‎0．025‎ ‎0．010‎ ‎2．072‎ ‎2．706‎ ‎3．841‎ ‎5．024‎ ‎6．635‎ 其中，，）‎ ‎19. 如图，矩形和菱形所在平面互相垂直，已知，点是线段的中点．‎ ‎（Ⅰ）求证：；‎ ‎（Ⅱ）试问在线段上是否存在点，使得直线平面？若存在，请证明平面，并求出的值；若不存在，请说明理由.‎ ‎20. 已知点，椭圆：的右焦点，过的直线交椭圆交于，两点， 的周长为12．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线交轴于点，已知，，求的值．‎ ‎21. 函数，．‎ ‎（Ⅰ）若，设，试证明存在唯一零点；‎ ‎（Ⅱ）若关于的不等式的解集中有且只有两个整数，求实数的取值范围．‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程是（为参数）．以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．‎ ‎（Ⅰ）分别写出的极坐标方程和的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）若射线的极坐标方程，且分别交曲线、于、两点，求．‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 已知函数，．‎ ‎（Ⅰ）时，解不等式；‎ ‎（Ⅱ）若对任意都有，使得成立，求实数的取值范围．‎ 绵阳市高2014级第三次诊断性考试 数学(文史类)参考解答及评分标准 一、选择题 ‎1-5: ADABD 6-10: ACBCB 11、12：CB 二、填空题 ‎13.2 14. 4 15. 16.4‎ 三、解答题 ‎17. 解：（Ⅰ） 把整理得，,‎ 由余弦定理有,‎ ‎∴．‎ ‎（Ⅱ）中，，即，故，‎ 由已知可得,‎ ‎∴,‎ 整理得．‎ 若，则，‎ 于是由，可得，‎ 此时的面积为．‎ 若，则，‎ 由正弦定理可知，，‎ 代入整理可得，解得，进而，‎ 此时的面积．‎ ‎∴综上所述，的面为．‎ ‎18. 解：（Ⅰ）补全的列联表如下：‎ 年轻人 非年轻人 合计 经常使用共享单车 ‎100‎ ‎20‎ ‎120‎ 不常使用共享单车 ‎60‎ ‎20‎ ‎80‎ 合计 ‎160‎ ‎40‎ ‎200‎ ‎（Ⅱ）于是，，，，‎ ‎∴，‎ 即有85%的把握可以认为经常使用共享单车与年龄有关．‎ ‎19.解：（Ⅰ）证明：菱形，，，则是等边三角形，‎ 又是线段的中点，‎ ‎∴．‎ 又平面平面，平面平面，‎ 所以平面.‎ 又∵平面，‎ 故.‎ ‎（Ⅱ）作的中点，连接交于点，点即为所求的点．‎ 证明：连接，‎ ‎∵是的中点，是的中点，‎ ‎∴，‎ 又平面，平面，‎ ‎∴直线平面．‎ ‎∵，，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ ‎20. 解：（Ⅰ）由题意知，，‎ 解得，‎ 又，故，‎ ‎∴椭圆的方程为：．‎ ‎（Ⅱ）由题意知，‎ 若直线恰好过原点，则，，，‎ ‎∴，，则，‎ ‎，，则，‎ ‎∴．‎ 若直线不过原点，设直线：，，‎ ‎，，．‎ 则，，‎ ‎，，‎ 由，得，从而；‎ 由，得，从而；‎ 故．‎ 联立方程组得：整理得，‎ ‎∴，，‎ ‎∴．‎ 综上所述，．‎ ‎21.解：（Ⅰ）证明：由题意知，‎ 于是 令，，‎ ‎∴在上单调递减．‎ 又，，‎ 所以存在，使得，‎ 综上存在唯一零点．‎ ‎（Ⅱ）解：等价于．‎ ‎，‎ 令，则，‎ 令，则，即在上单调递增．‎ 又，，‎ ‎∴存在，使得．‎ ‎∴当，在单调递增；‎ 当，在单调递减．‎ ‎∵，，，‎ 且当时，，‎ 又，，，‎ 故要使不等式解集中有且只有两个整数，的取值范围应为．‎ ‎22. 解：（Ⅰ）将参数方程化为普通方程为，即，‎ ‎∴的极坐标方程为．‎ 将极坐标方程化为直角坐标方程为．‎ ‎（Ⅱ）将代入：整理得，‎ 解得，即．‎ ‎∵曲线是圆心在原点，半径为1的圆，‎ ‎∴射线与相交，即，即．‎ 故．‎ ‎23. 解：（Ⅰ）当时，，由解得，综合得，‎ 当时，，显然不成立，‎ 当时，，由解得，综合得，‎ 所以的解集是．‎ ‎（Ⅱ），‎ ‎，‎ ‎∴根据题意，‎ 解得，或．‎