宁夏银川一中2020届高三年级第六次月考理科数学试题

宁夏银川一中2020届高三年级第六次月考理科数学试题

宁夏银川一中2020届高三年级第六次月考理科数学试题 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用复数除法运算进行化简，从而得出正确选项.‎ ‎【详解】原式.‎ 故选：A ‎【点睛】本小题主要考查复数的除法运算，属于基础题.‎ ‎2.设集合,则的子集的个数是（ ）‎ A. 8 B. ‎4 ‎C. 2 D. 0‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出集合表示的图像，根据图像交点的个数，判断出元素的个数，由此求得的子集的个数.‎ ‎【详解】画出集合表示的图像如下图所示，由图可知有两个元素，故有个子集.‎ 故选：B ‎【点睛】本小题主要考查集合交集的运算，考查子集的个数求法，考查椭圆的图像和指数函数的图像，属于基础题.‎ ‎3.《张丘建算经》是中国古代的数学著作，书中有一道题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现一月（按30天计）共织390尺布”，则第30天织布（ ）‎ A. 7尺 B. 14尺 C. 21尺 D. 28尺 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意利用等差数列前项和公式列方程，解方程求得第30天织布.‎ ‎【详解】依题意可知，织布数量是首项为，公差的等差数列，且，即，解得（尺）.‎ 故选：C ‎【点睛】本小题主要考查等差数列的前项和公式，考查中国古代数学文化，属于基础题.‎ ‎4.以下四个结论，正确的是（ ）‎ ‎①质检员从匀速传递的产品生产流水线上，每间隔15分钟抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；‎ ‎②在回归直线方程中，当变量每增加一个单位时，变量增加0.13个单位；‎ ‎③在频率分布直方图中，所有小矩形的面积之和是1；‎ ‎④对于两个分类变量与，求出其统计量的观测值，观测值越大，我们认为“与 有关系”的把握程度就越大.‎ A. ②④ B. ②③ C. ①③ D. ③④‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用系统抽样和分层抽样的知识判断①的正确性；利用回归直线方程的知识判断②的正确性；利用频率分布直方图的知识判断③的正确性；利用独立性检验的知识判断④的正确性.‎ ‎【详解】①，是系统抽样，不是分层抽样，所以①错误. ②，增加，所以②错误. ③，在频率分布直方图中，所有小矩形的面积之和是1，所以③正确. ④，对于两个分类变量与，求出其统计量的观测值，观测值越大，我们认为“与有关系”的把握程度就越大，所以④正确.‎ 综上所述，正确的序号为③④.‎ 故选：D ‎【点睛】本小题主要考查抽样方法、回归直线方程、频率分布直方图和独立性检验等知识，属于基础题.‎ ‎5.在的展开式中的系数是（ ）‎ A. －14 B. ‎14 ‎C. -28 D. 28‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据二项式展开式，求得的系数.‎ ‎【详解】依题意，的展开式中的系数是.‎ 故选：C ‎【点睛】本小题主要考查二项式展开式，属于基础题.‎ ‎6.抛物线的焦点为，准线为，，是抛物线上的两个动点，且满足，设线段的中点在上的投影为，则的最大值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：设在直线上的投影分别是，则，，又是中点，所以，则，在中，所以，即，所以，故选B．‎ 考点：抛物线的性质．‎ ‎【名师点晴】在直线与抛物线的位置关系问题中，涉及到抛物线上的点到焦点的距离，焦点弦长，抛物线上的点到准线（或与准线平行的直线）的距离时，常常考虑用抛物线的定义进行问题的转化．象本题弦的中点到准线的距离首先等于两点到准线距离之和的一半，然后转化为两点到焦点的距离，从而与弦长之间可通过余弦定理建立关系．‎ ‎7.设是两条不同直线，是两个不同的平面，下列命题正确的是（ ）‎ A. B. 且，则 C. ，那么 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据线面、面面平行的知识和线线、面面垂直的知识对选项逐一分析，由此确定正确选项.‎ ‎【详解】对于A选项，直线可能在平面内，故A选项错误.‎ 对于B选项，由于且，所以正确，故B选项正确.‎ 对于C选项，可能平行，故C选项错误.‎ 对于D选项，可能相交，故D选项错误.‎ 故选：B ‎【点睛】本小题主要考查线面平行、面面平行、线线垂直、面面垂直的知识，属于基础题.‎ ‎8.已知双曲线的中心在原点，一个焦点为，点在双曲线上，且线段的中点坐标为，则此双曲线的方程是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：设双曲线的标准方程为由的中点为知，，即，双曲线方程为，故选B.‎ 考点：1、待定系数法求双曲线的标准方程为；2、双曲线的简单性质.‎ ‎9.已知向量与向量共线，其中是的内角，则角的大小为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据两个向量共线的坐标表示列方程，由此求得的大小.‎ ‎【详解】由于共线，所以，即 ‎，，‎ ‎，，由于，所以.‎ 故选：C ‎【点睛】本小题主要考查向量共线的坐标表示，考查降次公式和辅助角公式，属于基础题.‎ ‎10.已知在上是可导函数,则的图象如图所示，则不等式的解集为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据图像判断的符号，由此求得不等式的解集.‎ ‎【详解】由的图像可知，在区间上，在区间，.不等式可化为，所以其解集为.‎ 故选：D ‎【点睛】本小题主要考查函数图像与导数符号的关系，考查不等式的解法，属于基础题.‎ ‎11.已知正四面体棱长为，则其外接球的体积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将正四面体补形为正方体，利用正方体的外接球，计算出正四面体外接球的体积.‎ ‎【详解】将正四面体放在正方体中如图所示，正四面体的外接球即正方体的外接球，设正方体的边长为，由于，即，所以正方体的外接球半径为，所以外接球的体积为.‎ 故选：B ‎【点睛】本小题主要考查几何体外接球体积的求法，考查数形结合的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.‎ ‎12.已知椭圆与双曲线有相同的焦点，则双曲线 的一条斜率为正的渐近线的斜率的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据椭圆和双曲线的焦点相同，求得的关系式，由此求得渐近线斜率的取值范围.‎ ‎【详解】根据方程表示椭圆或双曲线得，即.‎ 当时，双曲线的焦点在轴上，所以椭圆的焦点也在轴上，则有，即，且，解得，这与矛盾.‎ 当时，双曲线的焦点在轴上，所以椭圆的焦点也在轴上，则有，即，且，解得，此时，.而双曲线斜率为正的渐近线的斜率为.‎ 故选：A ‎【点睛】本小题主要考查椭圆、双曲线的焦点，考查双曲线渐近线，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的数学检测成绩（满分100分）分成6组：[40,50), [50,60), [60,70), [70,80), [80,90), [90,100]‎ 加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.已知高一年级共有学生800名，据此估计，该数学检测成绩不少于60分的学生人数为_______人.‎ ‎【答案】640‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求得数学检测成绩不少于60分的学生的频率，由此求得数学检测成绩不少于60分的学生人数.‎ ‎【详解】数学检测成绩不少于60分的学生的频率为，所以数学检测成绩不少于60分的学生人数为人.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本小题主要考查利用频率分布直方图进行计算，属于基础题.‎ ‎14.在等比数列中，,则数列的前项和为___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求得数列通项公式，由此求得数列的通项公式，进而求得其前项和.‎ ‎【详解】由于等比数列中，，所以，解得，所以，所以，所以数列是首项为，公差为的等差数列，其前项和为.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本小题主要考查等比数列通项公式的基本量计算，考查等差数列前项和，属于基础题.‎ ‎15.在由数字0，1，2，3，4，5所组成的没有重复数字的四位数中，不能被5整除的数共有_______个．‎ ‎【答案】192‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分3步：先个位、然后千位、排最后百位与十位.‎ ‎【详解】分3步：个位共有4种排法，然后千位有4种排法，最后百位与十位有种排法，‎ 不能被5整除的数共有个，‎ 故答案为：192.‎ ‎【点睛】本题主要考查分步计数原理的应用，考查了元素位置有限制的排列问题，属于基础题.‎ ‎16.设是数列的前项和，且，，则______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据已知条件求得的通项公式，再求得的值.‎ ‎【详解】由于，，所以，，所以数列是首项为，公差为的等差数列，所以，所以，故.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本小题主要考查根据递推关系求通项公式，属于基础题.‎ 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.‎ ‎17.设的内角的对边分别为，且 ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若，，求的面积．‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用正弦定理和余弦定理化简已知条件，求得的值，进而求得角的大小.‎ ‎（2）利用正弦定理求得，进而求得角的可能取值，由此求得角，进而求得的面积.‎ ‎【详解】（1）由已知及正弦定理可得，‎ 整理得，‎ 所以．‎ 又，故．‎ ‎（2）由正弦定理可知，又，，，‎ 所以．‎ 又，故或．‎ 若，则，于是；‎ 若，则，于是．‎ ‎【点睛】本小题主要考查正弦定理和余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，属于基础题.‎ ‎18.如图，正三棱柱的底面边长为1，点是的中点，是以为直角顶点的等腰直角三角形.‎ ‎（1）求点 到平面的距离；‎ ‎（2）求二面角的大小.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用等体积法求得点到平面的距离.‎ ‎（2）建立空间直角坐标系，利用平面和平面的法向量，计算出二面角的余弦值，进而求得其大小.‎ ‎【详解】（1）设点到平面的距离为.则 由（I）知 ，，‎ ‎∴平面 ‎ ‎∵，可求出：‎ ‎，，‎ ‎，即，‎ 得.‎ ‎（2）过作交于.‎ 以为坐标原点，分别为轴，轴，轴方向，建立如图所示空间直角坐标系 设面的一个法向量为,‎ 由得，取，则,‎ ‎,‎ 同理可求得面的一个法向量为,‎ 设二面角的大小为，由图知为锐角,‎ 故,‎ 故二面角的大小为.‎ ‎【点睛】本小题主要考查点面距的求法，考查二面角的大小的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.‎ ‎19.2019年7月，超强台风登陆某地区．据统计，本次台风造成该地区直接经济损失119.52亿元．经过调查住在该地某小区的50‎ 户居民由于台风造成的经济损失，作出如下频率分布直方图：‎ ‎（1）根据频率分布直方图估计小区平均每户居民的平均损失；‎ ‎（2）台风后区委会号召小区居民为台风重灾区捐款，经过调查的50户居民捐款情况如下表，在表格空白处填写正确数字，并说明是否有以上的把握认为捐款数额是否多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关？‎ ‎（3）台风造成了小区多户居民门窗损坏，若小区所有居民的门窗均由王师傅和张师傅两人进行维修，王师傅每天早上在7：00到8：00之间的任意时刻来到小区，张师傅每天早上在7：30到8:30分之间的任意时刻来到小区，求王师傅比张师傅早到小区的概率．‎ 附：临界值表 参考公式：，．‎ ‎【答案】（1）3360；（2）有以上的把握认为捐款数额是否多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关；（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据由频率分布直方图计算平均数的方法，计算出平均损失.‎ ‎（2）根据已知条件填写列联表，计算出的值，由此判断出有以上的把握认为捐款数额是否多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关.‎ ‎（3）利用面积型几何概型的概率计算方法，计算出所求概率.‎ ‎【详解】（1）记每户居民的平均损失为元，则：‎ ‎（2）如图：‎ ‎，‎ 所以有以上的把握认为捐款数额是否多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关．‎ ‎（3）设王师傅，张师傅到小区的时间分别为，则可以看成平面中的点．‎ 试验的全部结果所构成的区域为，则，事件表示王师傅比张师傅早到小区，所构成的区域为，‎ 即图中的阴影部分：面积，所以，‎ ‎∴王师傅比张师傅早到小区的概率是.‎ ‎【点睛】本小题主要考查根据频率分布直方图计算平均数，考查列联表独立性检验，考查面积型几何概型概率计算，属于基础题.‎ ‎20.已知动圆过定点，且与直线相切，椭圆的对称轴为坐标轴，点为坐标原点，是其一个焦点，又点在椭圆上．‎ ‎（1）求动圆圆心的轨迹的标准方程和椭圆的标准方程；‎ ‎（2）若过的动直线交椭圆于点，交轨迹于两点，设为的面积，为的面积，令的面积，令，试求的取值范围.‎ ‎【答案】（1），（2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）动圆圆心满足抛物线的定义：，所以方程为，而椭圆标准方程的确定，利用待定系数法：（2）先表示面积：抛物线中三角形面积，利用焦点，底边OF为常数，高为横坐标之差的绝对值，再根据直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理求解；椭圆中三角形面积，利用A点为定点，底边AF为常数，高为横坐标之差的绝对值，再根据直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理求解；研究函数关系式：是一元函数，可根据直线斜率k取值范围求解 试题解析：（1）依题意，由抛物线的定义易得动点的轨迹的标准方程为：‎ 依题意可设椭圆的标准方程为，‎ 显然有，∴，∴椭圆的标准方程为 ‎（2）显然直线的斜率存在，不妨设直线的直线方程为：①‎ 联立椭圆的标准方程，有，‎ 设则有，‎ 再将①式联立抛物线方程，有，设得，∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴当时，，又，∴‎ 考点：抛物线的定义,直线与抛物线位置关系，直线与椭圆位置关系 ‎【方法点睛】1.凡涉及抛物线上点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理．本题中充分运用抛物线定义实施转化，易得动点的轨迹．‎ ‎2．若P(x0，y0)为抛物线y2＝2px(p＞0)上一点，由定义易得|PF|＝x0＋；若过焦点的弦AB的端点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦长为|AB|＝x1＋x2＋p，x1＋x2可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到．‎ ‎21.已知函数.‎ ‎（1）设实数（为自然对数的底数），求函数在上的最小值；‎ ‎（2）若为正整数，且对任意恒成立，求的最大值．‎ ‎【答案】（1）；（2）3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求得函数的定义域和导函数，对分成和两种情况讨论的单调区间，由此求得在区间上的最小值.‎ ‎（2）将不等式分离常数得到，构造函数，利用导数求得取得最小值时对应的的取值范围，由此求得的最大值.‎ ‎【详解】（1）的定义域为，∵，令，得,‎ 当时，，单调递减；‎ 当时，，单调递增．‎ 当时，在单调递增，‎ 当时，得，.‎ ‎（2） 对任意恒成立，‎ 即对任意恒成立， 即对任意恒成立.‎ 令 令在上单调递增.‎ ‎∵‎ ‎∴所以存在唯一零点，即.‎ 当时，；‎ 当时，；‎ ‎∴在时单调递减；在时，单调递增；‎ ‎∴‎ 由题意，.‎ 又因为，所以的最大值是3.‎ ‎【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查利用导数求解不等式恒成立问题，考查化归与转化的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.‎ ‎22.在平面直角坐标系中，过点作倾斜角为的直线，以原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，将曲线上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到曲线，直线与曲线交于不同的两点.‎ ‎（1）求直线的参数方程和曲线的普通方程；‎ ‎（2）求的值.‎ ‎【答案】（1）直线的参数方程为，曲线的普通方程为；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据直线参数方程的知识求得直线的参数方程，将的极坐标方程转化为直角坐标方程，然后通过图像变换的知识求得的普通方程.‎ ‎（2）将直线的参数方程代入曲线的普通方程，化简后写出韦达定理，根据直线参数的几何意义，求得的值.‎ ‎【详解】直线的参数方程为，‎ 由两边平方得，所以曲线的直角坐标方程式,‎ 曲线的方程为,即.‎ ‎(2)直线的参数方程为，代入曲线的方程得：‎ ‎ ‎ 设对应得参数分别为,则 ‎ ‎【点睛】本小题主要考查直线参数方程，考查极坐标方程转化为直角坐标方程，考查图像变换，考查直线参数的几何意义，考查运算求解能力，属于中档题.‎ ‎23. 选修4—5：不等式选讲 设函数 ‎（1）若a=1，解不等式；‎ ‎（2）若函数有最小值，求实数a的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）绝对值不等式，根据绝对值的定义分类讨论去绝对值符号；（2）函数是分段函数，它要存在最小值，则两部分应满足左边是减函数，右边是增函数．‎ 试题解析：（Ⅰ）时，．‎ 当时，可化为，解之得；‎ 当时，可化为，解之得．‎ 综上可得，原不等式的解集为5分 ‎（Ⅱ）‎ 函数有最小值充要条件为即10分 考点：解绝对值不等式，分段函数的单调性与最值．‎ ‎ ‎