2021高考数学一轮复习课后限时集训55抛物线理北师大版

2021高考数学一轮复习课后限时集训55抛物线理北师大版

1 课后限时集训 55 抛物线 建议用时：45 分钟 一、选择题 1．点 M(5,3)到抛物线 y＝ax2 的准线的距离为 6，那么抛物线的标准方程是 (　　) A．x2＝ 1 12y　 B．x2＝ 1 12y 或 x2＝－ 1 36y C．x2＝－ 1 36y D．x2＝12y 或 x2＝－36y D　[将 y＝ax2 化为 x2＝ 1 ay.当 a>0 时，准线 y＝－ 1 4a，则 3＋ 1 4a＝6， ∴a＝ 1 12. 当 a<0 时，准线 y＝－ 1 4a，则|3＋ 1 4a|＝6， ∴a＝－ 1 36. ∴抛物线方程为 x2＝12y 或 x2＝－36y.] 2．(2019·菏泽模拟)过抛物线 C：x2＝2y 的焦点 F 的直线 l 交抛物线 C 于 A，B 两点， 若抛物线 C 在点 B 处的切线斜率为 1，则|AF|＝(　　) A．1　　 B．2　　　　 C．3　　 D．4 A　[∵x2＝2y，∴y＝ x2 2 ，∴y′＝x， ∵抛物线 C 在点 B 处的切线斜率为 1，∴B(1， 1 2 )， ∵抛物线 x2＝2y 的焦点 F 的坐标为(0， 1 2 )， ∴直线 l 的方程为 y＝ 1 2，∴|AF|＝|BF|＝1.] 3．(2019·桂林模拟)设经过抛物线C 的焦点的直线 l 与抛物线 C 交于 A、B 两点，那么 抛物线 C 的准线与以 AB 为直径的圆的位置关系为(　　) A．相离 B．相切 C．相交但不经过圆心 D．相交且经过圆心 2 B　[设圆心为 M，过点 A、B、M 作准线 l 的垂线，垂足分别为 A1、B1、M1，则|MM1|＝ 1 2(|AA1| ＋|BB1|)．由抛物线定义可知|BF|＝|BB1|，|AF|＝|AA1|，所以|AB|＝|BB1|＋|AA1|，|MM1|＝ 1 2|AB|，即圆心 M 到准线的距离等于圆的半径，故以 AB 为直径的圆与抛物线的准线相切．] 4．过抛物线 y2＝4x 的焦点 F 的直线交抛物线于 A，B 两点，点 O 是坐标原点，若|AF|＝ 3，则△AOB 的面积为(　　) A. 2 2 B． 2 C. 3 2 2 D．2 2 C　[设 A(x1，y1)，B(x2，y2)(y1>0，y2<0)，如图所示，|AF|＝x1 ＋1＝3，所以 x1＝2，y1＝2 2. 设 AB 的方程为 x－1＝ty， 由Error!消去 x 得 y2－4ty－4＝0. 所以 y1y2＝－4.所以 y2＝－ 2，x2＝ 1 2， 所以 S△AOB＝ 1 2×1×|y1－y2|＝ 3 2 2 .] 5．已知 P 是抛物线 y2＝4x 上的一个动点，Q 是圆(x－3)2＋(y－1)2＝1 上的一个动点， N(1,0)是一个定点，则|PQ|＋|PN|的最小值为(　　) A．3 B．4 C．5 D． 2＋1 A　[由抛物线方程 y2＝4x，可得抛物线的焦点 F(1,0)，又 N(1,0)，所以 N 与 F 重 合．过圆(x－3)2＋(y－1)2＝1 的圆心 M 作抛物线准线的垂线 MH，交圆于 Q，交抛物线于 P， 则|PQ|＋|PN|的最小值等于|MH|－1＝3. ] 二、填空题 6．(2019·北京高考)设抛物线 y2＝4x 的焦点为 F，准线为 l，则以 F 为圆心，且与 l 相切的圆的方程为________． (x－1)2＋y2＝4　[如图，抛物线 y2＝4x 的焦点为 F(1,0)． 3 ∵所求圆的圆心 F，且与准线 x＝－1 相切， ∴圆的半径为 2，则所求圆的方程为(x－1)2＋y2＝4.] 7．已知抛物线 y2＝4x 的焦点为 F，过点 F 作一条直线交抛物线于 A，B 两点．若|AF|＝ 3，则|BF|＝________. 3 2　[由题意可知 F(1,0)，设 A(xA，yA)，B(xB，yB)，点 A 在第一象限，则|AF|＝xA＋1＝ 3，所以 xA＝2，yA＝2 2，所以直线 AB 的斜率为 k＝ 2 2 2－1＝2 2. 则直线 AB 的方程为 y＝2 2(x－1)， 与抛物线方程联立整理得 2x2－5x＋2＝0，xA＋xB＝ 5 2， 所以 xB＝ 1 2，所以|BF|＝ 1 2＋1＝ 3 2.] 8．已知抛物线 x2＝2py(p＞0)的焦点为 F，点 P 为抛物线上的动点，点 M 为其准线上的 动点，若△FPM 为边长是 4 的等边三角形，则此抛物线的方程为________． x2＝4y　[△FPM 为等边三角形，则|PM|＝|PF|，由抛物线的定义得 PM 垂直于抛物线的 准线，设 P(m， m2 2p)，则点 M(m，－ p 2)，因为焦点 F(0， p 2 )，△FPM 是等边三角形， 所以Error! 解得Error!因此抛物线方程为 x2＝4y.] 三、解答题 9．已知过抛物线 y2＝2px(p＞0)的焦点，斜率为 2 2的直线交抛物线于 A(x1，y1)，B(x2， y2)(x1＜x2)两点，且|AB|＝9. (1)求该抛物线的方程； (2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC→ ＝OA→ ＋λOB→ ，求 λ 的值． [解]　(1)由题意得直线 AB 的方程为 y＝2 2·(x－ p 2 )，与 y2＝2px 联立，消去 y 有 4x2－ 5px＋p2＝0，所以 x1＋x2＝ 5p 4 . 由抛物线定义得|AB|＝x1＋x2＋p＝ 5p 4 ＋p＝9，所以 p＝4，从而该抛物线的方程为 y2＝8x. (2)由(1)得 4x2－5px＋p2＝0，即 x2－5x＋4＝0， 则 x1＝1，x2＝4，于是 y1＝－2 2，y2＝4 2， 从而 A(1，－2 2)，B(4,4 2)．设 C(x3，y3)， 则OC→ ＝(x3，y3)＝(1，－2 2)＋λ(4,4 2) ＝(4λ＋1,4 2λ－2 2)． 4 又 y23＝8x3，所以[2 2(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，整理得(2λ－1)2＝4λ＋1，解得 λ＝ 0 或 λ＝2. 10．(2018·全国卷Ⅰ)设抛物线 C：y2＝2x，点 A(2,0)，B(－2,0)，过点 A 的直线 l 与 C 交于 M，N 两点． (1)当 l 与 x 轴垂直时，求直线 BM 的方程； (2)证明：∠ABM＝∠ABN. [解]　(1)当 l 与 x 轴垂直时，l 的方程为 x＝2，可得点 M 的坐标为(2,2)或(2，－ 2)． 所以直线 BM 的方程为 y＝ 1 2x＋1 或 y＝－ 1 2x－1. (2)证明：当 l 与 x 轴垂直时，AB 为 MN 的垂直平分线， 所以∠ABM＝∠ABN. 当 l 与 x 轴不垂直时，设 l 的方程为 y＝k(x－2)(k≠0)， M(x1，y1)，N(x2，y2)，则 x1>0，x2>0. 由Error! 得 ky2－2y－4k＝0， 可知 y1＋y2＝ 2 k，y1y2＝－4. 直线 BM，BN 的斜率之和为 kBM＋kBN＝ y1 x1＋2＋ y2 x2＋2＝ x2y1＋x1y2＋2y1＋y2 x1＋2x2＋2 .① 将 x1＝ y1 k ＋2，x2＝ y2 k ＋2 及 y1＋y2，y1y2 的表达式代入①式分子，可得 x2y1＋x1y2＋2(y1＋y2)＝ 2y1y2＋4ky1＋y2 k ＝ －8＋8 k ＝0. 所以 kBM＋kBN＝0，可知 BM，BN 的倾斜角互补，所以∠ABM＝∠ABN. 综上，∠ABM＝∠ABN. 1．(2018·全国卷Ⅰ)设抛物线 C：y2＝4x 的焦点为 F，过点(－2,0)且斜率为 2 3的直线 与 C 交于 M，N 两点，则FM→ ·FN→ ＝(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 D　[过点(－2,0)且斜率为 2 3的直线的方程为 y＝ 2 3(x＋2)，由Error!得 x2－5x＋4＝0， 5 解得 x＝1 或 x＝4，所以Error!或Error!不妨设 M(1,2)，N(4,4)，易知 F(1,0)，所以FM→ ＝ (0,2)，FN→ ＝(3,4)，所以FM→ ·FN→ ＝8.故选 D.] 2．已知 F 是抛物线 C1：y2＝2px(p＞0)的焦点，曲线 C2 是以 F 为圆心， p 2为半径的圆， 直线 4x－3y－2p＝0 与曲线 C1，C2 从上到下依次相交于点 A，B，C，D，则 |AB| |CD|＝(　　) A．16 B．4 C． 8 3 D． 5 3 A　[因为直线 4x－3y－2p＝0 过 C1 的焦点 F(C2 的圆心)，故|BF|＝|CF|＝ p 2，所以 |AB| |CD|＝ |AF|－ p 2 |DF|－ p 2 . 由抛物线的定义得|AF|－ p 2＝xA，|DF|－ p 2＝xD. 由Error!整理得 8x2－17px＋2p2＝0，即(8x－p)(x－2p)＝0，可得 xA＝2p，xD＝ p 8，故 |AB| |CD|＝ xA xD＝ 2p p 8 ＝16.故选 A.] 3．(2019·贵阳模拟)过抛物线 y2＝2px(p＞0)的焦点 F，且倾斜角为 60°的直线交抛 物线于 A，B 两点，若|AF|＞|BF|，且|AF|＝2，则 p＝________. 1　[过点 A，B 向抛物线的准线 x＝－ p 2作垂线，垂足分别为 C，D，过点 B 向 AC 作垂线， 垂足为 E(图略)，∵A，B 两点在抛物线上，∴|AC|＝|AF|，|BD|＝|BF|. ∵BE⊥AC，∴|AE|＝|AF|－|BF|， ∵直线 AB 的倾斜角为 60°， ∴在 Rt△ABE 中，2|AE|＝|AB|＝|AF|＋|BF|， 即 2(|AF|－|BF|)＝|AF|＋|BF|，∴|AF|＝3|BF|. ∵|AF|＝2，∴|BF|＝ 2 3，∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝ 8 3. 设直线 AB 的方程为 y＝ 3(x－ p 2 )，代入 y2＝2px， 得 3x2－5px＋ 3p2 4 ＝0，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， ∴x1＋x2＝ 5 3p，∵|AB|＝x1＋x2＋p＝ 8 3，∴p＝1.] 6 4．(2017·全国卷Ⅰ)设 A，B 为曲线 C：y＝ x2 4 上两点，A 与 B 的横坐标之和为 4. (1)求直线 AB 的斜率； (2)设 M 为曲线 C 上一点，C 在 M 处的切线与直线 AB 平行，且 AM⊥BM，求直线 AB 的方 程． [解]　(1)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 x1≠x2，y1＝ x21 4 ，y2＝ x22 4 ，x1＋x2＝4， 于是直线 AB 的斜率 k＝ y1－y2 x1－x2＝ x1＋x2 4 ＝1. (2)由 y＝ x2 4 ，得 y′＝ x 2. 设 M(x3，y3)，由题设知 x3 2 ＝1，解得 x3＝2，于是 M(2,1)． 设直线 AB 的方程为 y＝x＋m， 故线段 AB 的中点为 N(2,2＋m)，|MN|＝|m＋1|. 将 y＝x＋m 代入 y＝ x2 4 得 x2－4x－4m＝0. 当 Δ＝16(m＋1)>0，即 m>－1 时，x1,2＝2±2 m＋1. 从而|AB|＝ 2|x1－x2|＝4 2m＋1. 由题设知|AB|＝2|MN|，即 4 2m＋1＝2(m＋1)，解得 m＝7. 所以直线 AB 的方程为 y＝x＋7. 1．设 F 为抛物线 y2＝2x 的焦点，A，B，C 为抛物线上三点，若 F 为△ABC 的重心，则| FA→ |＋|FB→ |＋|FC→ |的值为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 C　[依题意，设点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，又焦点 F(1 2，0 )，所以 x1＋x2＋ x3＝3× 1 2＝ 3 2，则|FA→ |＋|FB→ |＋|FC→ |＝(x1＋ 1 2)＋(x2＋ 1 2)＋(x3＋ 1 2)＝(x1＋x2＋x3)＋ 3 2＝ 3 2＋ 3 2 ＝3.] 2.如图所示，抛物线 y＝ 1 4x2，AB 为过焦点 F 的弦，过 A，B 分别 作抛物线的切线，两切线交于点 M，设 A(xA，yA)，B(xB，yB)，M(xM， yM)，则： 7 ①若 AB 的斜率为 1，则|AB|＝4； ②|AB|min＝2； ③yM＝－1； ④若 AB 的斜率为 1，则 xM＝1； ⑤xA·xB＝－4. 以上结论正确的所有序号是(　　) A．①②④ B．③④⑤ C．①②⑤　 D．③⑤ D　[由题意得，焦点 F(0,1)，对于①，lAB 的方程为 y＝x＋1，与抛物线的方程联立， 得Error!消去 x，得 y2－6y＋1＝0， 所以 yA＋yB＝6，则|AB|＝yA＋yB＋p＝8，则①错误； 对于②，|AB|min＝2p＝4，则②错误； 因为 y′＝ x 2，则 lAM：y－yA＝ xA 2 (x－xA)， 即 y＝ 1 2xAx－ x2A 4 ，lBM：y－yB＝ xB 2 (x－xB)， 即 y＝ 1 2xBx－ x2B 4 ， 联立 lAM 与 lBM 的方程得Error! 解得 M(xA＋xB 2 ， xA·xB 4 ). 设 lAB 的方程为 y＝kx＋1，与抛物线的方程联立， 得Error! 消去 y，得 x2－4kx－4＝0， 所以 xA＋xB＝4k，xA·xB＝－4， 所以 yM＝－1，③和⑤均正确； 对于④，当 AB 的斜率为 1 时，xM＝2，则④错误，故选 D.]