数学文卷·2017届湖南省三湘名校教育联盟高三第三次大联考（2017

数学文卷·2017届湖南省三湘名校教育联盟高三第三次大联考（2017

三湘名校教育联盟·2017届高三第三次大联考 文 数 第Ⅰ卷：选择题（共60分）‎ 一、选择题：共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，，则=（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.已知复数，则（ ）‎ A． B．2 C． D．-2‎ ‎3.下面结论正确的是（ ）‎ ‎①一个数列的前三项是1，2，3，那么这个数列的通项公式.‎ ‎②由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合理推理.‎ ‎③在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适.‎ ‎④“所有3的倍数都是9的倍数，某数一定是9的倍数，则一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的.‎ A．①② B.②③ C.③④ D.②④‎ ‎4.在为所在平面内一点，且，则（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎5.下列说法正确的是（ ）‎ A．，，若，则且（ ）‎ B.，“”是“”的必要不充分条件 C.命题“，使得”的否定是“，都有”‎ D.“若，则”的逆命题为真命题 ‎6.函数，的大致图象是（ ）‎ ‎ ‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎7.在我国明代数学家吴敬所著的《九章算术比类大全》中，有一道数学命题角“宝塔装灯”，内容为“远望魏巍塔七层，红红点点倍加增；共灯三百八十一，请问顶层几盏灯？”（“倍加增”指灯的数量从塔的顶层到底层按公比为2的等比数列递增），根据此诗，可以得出塔的顶层和底层共有（ ）‎ A．3盏灯 B．192盏灯 C. 195盏灯 D．200盏灯 ‎8.已知且，函数满足，，则（ ）‎ A．-3 B．-2 C. 3 D．2‎ ‎9.给出30个数：1，2，4，7，11，16，…，要计算这30个数的和，如图给出了该问题的程序框图，那么框图中判断框①处和执行框②处可分别填入（ ）‎ A. 和 B．和 C. 和 D．和 ‎10.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎11.直线与圆交于，两点，为坐标原点，若直线、的倾斜角分别为、，则（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎12.已知双曲线上的一点到双曲线的左、右焦点的距离之差为4，若抛物线上的两点关于直线对称，且，则的值为（ ）‎ A． B． C.2 D．3‎ 第Ⅱ卷：非选择题（共90分）‎ 本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须回答.第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答.‎ 二、填空题：本小题共4题，每小题5分.‎ ‎13.若抛物线的准线经过双曲线的一个焦点，则 .‎ ‎14.从某校高中男生中随机抽取100名学生，将他们的体重（单位：kg）数据绘制成频率分布直方图（如图）.若要从身高在，，三组内的男生中，用分层抽样的方法选取6人组成一个活动队，再从这6人中选2人当正副队长，则这2人的身高不在同一组内的频率为 ．‎ ‎15.已知，，满足约束条件若的最小值为1，则 ．‎ ‎16.设数列的前向和为，且，为等差数列，则的通项公式 ．‎ 三、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. ‎ ‎17. 已知的内角，，所对的边分别为，，，若，.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若，求.‎ ‎18. 如图：在四棱锥中，底面是菱形，，平面，点、为、的中点，且.‎ ‎（1）证明：面；‎ ‎（2）求三棱锥的体积；‎ ‎（3）在线段上是否存在一点，使得平面；若存在，求出的长；若不存在，说明理由.‎ ‎19. 某市积极倡导学生参与绿色环保活动，其中代号为“环保卫士—12369”的绿色环保活动小组对2016年1月—2016年12月（一年）内空气质量指数进行监测，下表是在这一年随机抽取的100天的统计结果：‎ 指数 空气质量 优 良 轻微污染 轻度污染 中度污染 中重度污染 重度污染 天数 ‎4‎ ‎13‎ ‎18‎ ‎30‎ ‎9‎ ‎11‎ ‎15‎ ‎（1）若某市某企业每天由空气污染造成的经济损失（单位：元）与空气质量指数（记为）的关系为：，在这一年内随机抽取一天，估计该天经济损失元的概率；‎ ‎（2）若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季节，其中有8天为重度污染，完成列联表，并判断是否有的把握认为某市本年度空气重度污染与供暖有关？‎ 非重度污染 重度污染 合计 供暖季 非供暖季节 合计 ‎100‎ 下面临界值表供参考 ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ 参考公式：，其中 ‎20. 已知动圆与圆相切，且与圆相内切，记圆心的轨迹为曲线.‎ ‎（1）求曲线的方程；‎ ‎（2）设为曲线上的一个不在轴上的动点，为坐标原点，过点作的平行线交曲线于、两个不同的点，求面积的最大值.‎ ‎21. 设函数.‎ ‎（1）若直线是函数图象的一条切线，求实数的值；‎ ‎（2）若函数在上的最大值为（为自然对数的底数），求实数的值；‎ ‎（3）若关于的方程有且仅有唯一的实数根，求实数的取值范围.‎ 请考生在22、23二题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一题计分.‎ ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程 已知曲线（参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴.建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，点的极坐标为.‎ ‎（1）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，并求出点的直角坐标；‎ ‎（2）设为曲线上的点，求中点到曲线上的点的距离的最小值.‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 已知，若实数，不等式的解集是.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若存在实数解，求实数的取值范围.‎ 数学（文科）参考答案、提示及评分细则 一、选择题 ‎1-5:ACDAB 6-10:CCBDA 11、12：DA 二、填空题 ‎13. 14. 15. 16.‎ 三、解答题 ‎17.解：（1）因为，，‎ 由余弦定理得，即.‎ 所以.‎ 由于，所以.‎ ‎（2）由及，得，‎ 即，‎ 解得或（舍去）.‎ 由正弦定理得，‎ 得.‎ ‎18.解：（1）因为为菱形，所以，‎ 又为的中点，所以，‎ 而平面，平面，所以,‎ 又，所以面.‎ ‎（2）因为，又平面，，所以，‎ 所以，三棱锥的体积，‎ ‎.‎ ‎（3）存在，取中点，连结、、，因为、分别为、中点，所以且，‎ 又在菱形中，，，‎ 所以，，即是平行四边形，‎ 所以，又平面，平面，‎ 所以平面，即在上存在一点，‎ 使得平面，此时.‎ ‎19.解：（1）设在这一年内随机抽取一天，‎ 该天经济损失元为事件，‎ 由得，‎ 频数为39，‎ ‎.‎ ‎（2）根据以上数据得到 非重度污染 重度污染 合计 供暖季 ‎22‎ ‎8‎ ‎30‎ 非供暖季节 ‎63‎ ‎7‎ ‎70‎ 合计 ‎85‎ ‎15‎ ‎100‎ 的观测值，‎ 所以有的把握认为某市本年度空气重度污染与供暖有关.‎ ‎20.解：（1）设圆的半径为，圆心的坐标为，‎ 由于动圆与圆只能内切，‎ 所以 则，‎ 所以圆心的轨迹是以点，为焦点的椭圆.‎ 且，则.‎ 所以曲线的方程为.‎ ‎（2）设，，，直线的方程为，‎ 由可得，‎ 则，.‎ 所以 ‎ ‎ ‎ .‎ 因为，所以的面积等于的面积.‎ 点到直线的距离.‎ 所以的面积 ‎.‎ 令，则，.‎ 设，则，‎ 因为，所以.‎ 所以在上单调递增.‎ 所以当时，取得最小值，其值为9.‎ 所以的面积的最大值为.‎ 说明：的面积.‎ ‎21.解：（1），，‎ 设切点横坐标为，则 消去，得，故，得.‎ ‎（2），，，‎ ‎①当时，在上恒成立，在上单调递增，‎ 则，得，舍去；‎ ‎②当时，在上恒成立，在上单调递减，‎ 则，得，舍去；‎ ‎③当时，由，得；由，得.‎ 故在上单调递增，在上单调递减，‎ 则，得，‎ 设，，则，，‎ 当时，，单调递减，‎ 当时，，单调递增，‎ 故，的解为.‎ 综上①②③，.‎ ‎（3）方程可化为：‎ ‎，‎ 令，故原方程可化为，‎ 由（2）可知在上单调递增，故有且仅有唯一实数根，即方程（ж）在上有且仅有唯一实数根，‎ ‎①当，即时，方程（※）的实数根为，满足题意；‎ ‎②当，即时，方程（※）有两个不等实数根，‎ 记为，，不妨设，，‎ Ⅰ）若，，代入方程（※）得，得或，‎ 当时方程（※）的两根为0，1，符合题意；‎ 当时方程（※）的两根为2，-1，不合题意，舍去；‎ Ⅱ）若，，设，则，得；‎ 综合①②，实数的取值范围为或.‎ ‎22.解：（1），得.‎ 故曲线的直角坐标方程为，‎ 点的直角坐标为.‎ ‎（2）设，故中点，‎ 的直线方程为，‎ 点到的距离，‎ 中点到曲线上的点的距离的最小值是.‎ ‎23.（1）解：由，得，即.‎ 因时，，‎ 因为不等式的解集是 所以解得.‎ ‎（2）因为，‎ 所以要使存在实数解，只需.‎ 解得或.‎ 所以实数的取值范围是.‎