2017-2018学年青海省西宁市第四高级中学高二上学期第一次月考数学试题

2017-2018学年青海省西宁市第四高级中学高二上学期第一次月考数学试题

西宁市第四高级中学2017—18学年第一学期第一次月考试卷 高 二 数 学（文理合卷）‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的）‎ ‎1. 一个直角三角形绕斜边旋转360°形成的空间几何体为（ ）‎ A．一个圆锥 B．一个圆锥和一个圆柱 C．两个圆锥 D．一个圆锥和一个圆台 ‎ 2. 一个几何体的三视图如图1所示，则该几何体可以是（　　）‎ 图 1‎ ‎ A．棱柱 B．棱台 C．圆柱 D．圆台 ‎ 3. 已知平面α内有无数条直线都与平面β平行，那么（　　）‎ ‎ A．α∥β B．α与β相交 C．α与β重 D．α∥β或α与β相交 ‎ 4. 如图2所示的几何体，关于其结构特征，下列说法不正确的是（ ）‎ ‎ A．该几何体是由两个同底的四棱锥组成的几何体 ‎ B．该几何体有12条棱、6个顶点 ‎ 图 2‎ ‎ C．该几何体有8个面，并且各面均为三角形 D．该几何体有9个面，其中一个面是四边形，其余均为三角形 ‎ ‎5. 如图3所示，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等 的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的体积为（　　）‎ ‎ A． B． C． D．1‎ ‎6. 已知一个铜质的五棱柱的底面积为‎16cm2，高为‎4cm，现将它熔化后铸成 一个正方体的铜块（不计损耗），那么铸成的铜块的棱长是（　　）‎ 图 3‎ ‎ A．‎2cm B．cm C．‎4cm D．‎8cm ‎ ‎ 7. 空间中四点可确定的平面有（　　）‎ A．1个 B．3个 C．4个 D．1个或4个或无数个 ‎ 8. 下列命题错误的是（ ）.‎ ‎ A.如果平面平面，那么平面内所有直线都垂直于平面 图 4‎ ‎ B.如果平面平面，那么平面内一定存在直线平行于平面 ‎ C.如果平面平面，平面平面，那么平面 ‎ D.如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面 ‎ 9. 如图4，一个水平放置的平面图的直观图（斜二测画法）是一个底角为45°、腰和上底长均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是（　　 ）[]‎ ‎ A．2+ B．1+ C．1+ D．‎ ‎ 10.球的表面积与它的内接正方体的表面积之比是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 图5 5‎ ‎ 11. 如图5，在长方体中，，，，由在表面到达 的最短行程为（ ）‎ ‎ A．12 B． A B C D 图 6‎ C． D．‎ ‎ 12.如图6，四面体A-BCD中，AB=AD=CD=1，BD=，BD⊥CD，平面ABD⊥平面BCD，若四面体A-BCD的四个顶点在同一个球面上，则该球的体积为（ ）‎ ‎ A． B． C． D． ‎ ‎ ‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）‎ ‎ 13.一棱柱有10个顶点，且所有侧棱长之和为100，则其侧棱长为　　　　　　　． ‎ ‎ 14.利用斜二测画法得到的 ‎ ①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形；‎ ‎③正方形的直观图是正方形；④菱形的直观图是菱形；‎ 以上结论,正确的是 .‎ ‎ 15. 四面体S-ABC中,各个侧面都是边长为的正三角形,E,F分别是SC和AB的中点,则异面直线EF与SA所成的角等于 . ‎ ‎ 16. 设m，n是不同的直线，α，β，γ是不同的平面，有以下四个命题：‎ ‎ （1）； （2）‎ ‎ （3）； （4），‎ ‎ 其中假命题有 　 　．‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎ 17．（本小题满分10分）如图7所示，设计一个四棱锥形冷水塔塔顶，四棱锥的底面是正方形，侧面是全等的等腰三角形，已知底面边长为‎2m，棱锥高为图 7‎ m，制造这个塔顶需要多少铁板？‎ ‎ ‎ ‎ 18.（本小题满分12分）如图8，是一个几何体的三视图，正视图和侧视图都是由一个边长为2的等边三角形和一个长为2宽为1的矩形组成．‎ ‎ （1）说明该几何体是由哪些简单的几何体组成；‎ ‎ （2）求该几何体的表面积与体积．‎ ‎ ‎ 图 8‎ ‎ 19.（本小题满分12分）如图9，等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝，DA⊥AC，DA⊥AB，若DA＝1，且E为DA的中点．求异面直线BE与CD所成角的余弦值．‎ ‎ ‎ 图 9‎ ‎20. （本小题满分12分）已知点S是△ABC所在平面外的一点，G是AB上任一点，D、E、F分别是AC、BC、SC的中点，如图，试判断SG与平面DEF的位置关系，并给予证明 ‎21. （本小题满分12分）如图10，在三棱锥A﹣BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M为AB中点，D为PB中点，且△PMB为正三角形，‎ ‎ ⑴求证：MD∥平面APC；‎ ‎ ⑵求证：平面ABC⊥平面APC．‎ ‎ ‎ 图10 10‎ ‎22. （本小题满分12分）如图11，四边形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，AD=6，BC=4，AB=2，E，F分别在BC，AD上，EF∥AB．现将四边形ABEF沿EF折起，使得平面ABEF⊥平面EFDC．‎ ‎ ⑴当BE=1，是否在折叠后的AD上存在一点P，使得CP∥平面ABEF？若存在，求出P点位置，若不存在，说明理由；‎ ‎ ⑵设BE=x，问当x为何值时，三棱锥A﹣CDF的体积有最大值？并求出这个最大值．‎ ‎[]‎ 图11 11‎ 高二数学答案 ‎1-6 CDDDAC 7-12 DAACBC ‎13.20 14. ①② 15. 45° 16. （2）（4）‎ 提示：‎ ‎ 13. 由于一共有10个顶点，所以共有5条侧棱，故其侧棱长为100÷5=20.‎ S C B A E F G 图 17‎ ‎ 15. 取AC中点G，连接EG，GF，FC，设棱长为2，则CF=，而CE=1,E为等腰△SFC的中点，所以EF=，GE=1，GF=1，而GE∥SA，所以∠GEF为异面直线EF与SA所成的角，因为EF=，GE=1，GF=1，所以△GEF为等腰直角三角形，故∠GEF=45°.‎ ‎ 16. （1）若α∥β，α∥γ，则β∥γ，根据面面平行的性质定理和判定定理可证得，故正确 ‎ （2）若m∥α，α⊥β则m∥β或m与β相交，故不正确 ‎ （3）因为m∥β，所以β内有一直线l与m平行，而m⊥α，则l⊥α，l⊂β，根据面面垂直的判定定理可知α⊥β，故正确 ‎ （4）m∥n，n⊂α则m⊂α或m∥α，故不正确 ‎ 故答案为（2）（4）.‎ 三、解答题 ‎ 17. 解:如图18所示，连接AC和BD交于O，连接SO.作SP⊥AB，连接OP.‎ 图 18‎ ‎ 在Rt△SOP中，SO＝m，OP＝BC＝‎1m，‎ ‎ 所以SP＝2m，‎ ‎ 则△SAB的面积是×2×2＝‎2m2．‎ ‎ 所以四棱锥的侧面积是4×2＝‎8m2，‎ ‎ 即制造这个塔顶需要‎8m2铁板． ‎ ‎18.解：（1）由三视图知，该三视图对应的几何体为一个底面直径为2,母线长为2的圆锥与一个长宽都为2高为1的长方体组成的组合体. ‎ ‎ （2）此几何体的表面积， ‎ ‎ 此几何体的体积. ‎ ‎ 19.解：取AC的中点F，连接BF、EF，在△ACD中，E、F分别是AD，AC的中点，‎ EF∥CD，所以∠BEF即为所求的异面直线BE与CD所成的角（或其补角）．‎ 在Rt△EAB中，AB＝1，AE＝AD＝，所以BE＝.‎ 图 19‎ 在Rt△AEF中，AF＝AC＝，AE＝，所以EF＝.‎ 在Rt△ABF中，AB＝1，AF＝，所以BF＝.‎ 在等腰△EBF中，cos∠FEB＝＝＝，‎ 所以异面直线BE与CD所成角的余弦值为.‎ ‎20．略 ‎21. 证明：⑴因为M为AB中点，D为PB中点，‎ ‎ 所以MD∥AP， 又MD平面APC，所以MD∥平面APC．‎ ‎⑵因为△PMB为正三角形，且D为PB中点，‎ 所以MD⊥PB．‎ ‎ 又由⑴知MD∥AP，所以AP⊥PB．‎ 已知AP⊥PC，PB∩PC=P， 所以AP⊥平面PBC，‎ 而BCPBC， 所以AP⊥BC，‎ ‎ 又AC⊥BC，而AP∩AC=A，‎ ‎ 所以BC⊥平面APC，]‎ ‎ 又BC平面ABC图 21‎ ，所以平面ABC⊥平面PAC．‎ ‎ 22. 解：⑴若存在P，使得CP∥平面ABEF，此时λ=：‎ ‎ 证明：当λ=，此时=，‎ ‎ 过P作MP∥FD，与AF交M，则=，‎ ‎ 又FD=5，故MP=3，‎ ‎ 因为EC=3，MP∥FD∥EC，‎ ‎ 所以MP∥EC，且MP=EC，故四边形MPCE为平行四边形，‎ ‎ 所以PC∥ME，‎ ‎ 因为CP平面ABEF，ME⊂平面ABEF，‎ ‎ 故答案为：CP∥平面ABEF成立．‎ ‎ ⑵因为平面ABEF⊥平面EFDC，ABEF∩平面EFDC=EF，AF⊥EF，‎ ‎ 所以AF⊥平面EFDC，‎ ‎ 因为BE=x，所以AF=x，（0＜x＜4），FD=6﹣x，[]‎ ‎ 故三棱锥A﹣CDF的体积V=××2×（6-x）x=﹣（x-3）2+3，‎ ‎ 所以x=3时，三棱锥A﹣CDF的体积V有最大值，最大值为3．‎