2018-2019学年安徽省黄山市屯溪第一中学高一下学期期中考试数学试题（解析版）

2018-2019学年安徽省黄山市屯溪第一中学高一下学期期中考试数学试题（解析版）

‎2018-2019学年安徽省黄山市屯溪第一中学高一下学期期中考试数学试题 一、单选题 ‎1．设、、,且，则（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】对取特殊值，对选项进行排除，由此得出正确选项.‎ ‎【详解】‎ 当时，排除A，选项，当时，，排除B,D选项.故本小题选C.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查不等式的性质，考查特殊值法，属于基础题.‎ ‎2．的内角、、的对边分别为，，，根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ）‎ A．，， B．，，‎ C．，， D．，，‎ ‎【答案】D ‎【解析】利用判断出有两解的选项.‎ ‎【详解】‎ 对于选项，由于，没有两解.对于B选项，，没有两解.对于C选项，没有两解.对于D选项，，三角形有两解，故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查三角形解的个数的判断，当时三角形有两解，属于基础题.‎ ‎3．设等比数列的前项和为，若，，则=（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】利用成等比数列列方程组，由此求的的值.‎ ‎【详解】‎ 依题意成等比数列，‎ 故，解得，或.‎ 易知和同号，所以 当时，成等比数列，所以.‎ 本小题选D.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查等比数列的性质，考查运算求解能力以及方程的思想，属于基础题.‎ ‎4．在中，若 ，则是（ ）‎ A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 ‎【答案】C ‎【解析】利用降次公式、三角形内角和定理、诱导公式以及两角和与差的余弦公式对题目所给已知条件进行化简，由此判断出三角形的形状.‎ ‎【详解】‎ 依题意，，,，故三角形为等腰三角形，故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查三角恒等变换，考查诱导公式以及三角形形状的判断，属于中档题.‎ ‎5．已知，是方程的两根，且， ，则的值为（ ）‎ A． B． C．或 D．或 ‎【答案】A ‎【解析】利用韦达定理写出的值，再求得的值，并由此求得的值.‎ ‎【详解】‎ 由于，是方程的两根，所以，所以同时为负数，且，又因为， ，，所以，故，故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查根与系数关系，考查两角和的正切公式，考查特殊角的三角函数值，属于基础题.‎ ‎6．等差数列的前项和为，已知，，则（ ）‎ A．38 B．20 C．10 D．9‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为是等差数列，所以，则由可得，解得或。‎ 因为，所以，故。代入可得，，解得 ‎7．已知数列满足, ,则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】列举出数列的前项，找到数列的周期，由此求得表达式的结果.‎ ‎【详解】‎ 依题意，，，所以，所以数列是周期为的数列，且每项的积为，故 ，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查数列的周期性，考查合情推理，属于基础题.‎ ‎8．已知不等式的解集是,则不等式的解集是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据不等式的解集求得的值，再解一元二次不等式求得的解集.‎ ‎【详解】‎ 由于不等式的解集是，故，解得，所以不等式的解集是，故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查方程的思想以及运算求解能力，属于基础题.‎ ‎9．已知的三个内角依次成等差数列，边上的中线，,则的面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据三个内角，，依次成等差数列求得角的大小，利用余弦定理求得，进而求得的值，由此求得三角形的面积.‎ ‎【详解】‎ 由于的三个内角，，依次成等差数列，即,由于,故.设在三角形中，由余弦定理得，解得 故，所以三角形的面积为，故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查利用余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，考查等差中项的性质，考查三角形内角和定理，属于基础题.‎ ‎10．如果的三个内角的正弦值分别等于的三个内角的余弦值，则下列正确的是（ ）‎ A．与都是锐角三角形 B．与都是钝角三角形 C．是锐角三角形且是钝角三角形 D．是钝角三角形且是锐角三角形 ‎【答案】D ‎【解析】先根据三角形三个内角的余弦值为正数，得出三角形是锐角三角形.先假设三角形分别为锐角三角形或直角三角形，推导出矛盾，由此判断出三角形是钝角三角形.‎ ‎【详解】‎ 因为三角形的三个内角的正弦值都大于零，所以三角形的三个内角的余弦值都大于零，所以三角形是锐角三角形.若三角形是锐角三角形，不妨设,,，即,三个式子相加，得，这与三角形内角和定理矛盾，故三角形不是锐角三角形.若三角形 是直角三角形，该直角的正弦值为，对应锐角三角形内角的余弦值为，这个显然不成立，所以三角形不是直角三角形.综上所述，是钝角三角形且是锐角三角形，故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查三角形形状的判断，考查三角函数诱导公式，考查三角形的内角和定理，属于中档题.‎ ‎11．已知数列满足，若不等式恒成立，则的最大值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据已知判断出为等差数列，利用等差数列的前项和公式化简不等式，根据一元二次不等式有解，判别式大于或等于零列不等式，由此求得的最大值.‎ ‎【详解】‎ 由于，故数列是公差为的等差数列，其前项和，故 ，即，此不等式有解，其对应一元二次方程的判别式，即，，解得，故的最大值为.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查等差数列的定义，考查等差数列前项和公式，考查一元二次不等式恒成立问题，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.‎ ‎12．已知数列、的通项公式分别为 ，（），由这两个数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新的数列，求新数列的各项和（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据和的最小公倍数为，得到新的数列是首项为，公差为的等差数列，根据项数求得新数列的各项和.‎ ‎【详解】‎ 依题意，数列，公差为，数列，公差为.和的最小公倍数为，故新的数列是首项为，公差为的等差数列，由，解得.故新数列前项的和为.故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查等差数列的通项，考查等差数列前项和公式，考查分析与解决问题的能力，属于中档题.‎ 二、填空题 ‎13．已知，，则=____；‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】先求得的值，然后利用和两角差的正弦公式，求得的值.‎ ‎【详解】‎ 由于，故，故.所以 .‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查两角差的正弦公式，考查三角恒等变换，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.‎ ‎14．已知数列为等差数列，为数列的前项和，若，，则的取值范围是_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据等差数列的通项公式列不等式组，将表示为的线性和的形式，由此求得的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 依题意，设，‎ 由解得 ‎ ，两式相加得，即的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查等差数列的通项公式，考查等差数列前项和公式，考查取值范围的求法，属于中档题.‎ ‎15．已知数列满足：，，，，，是首项为，公比为的等比数列，则数列的通项公式为_____；‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：.‎ ‎【考点】等比数列的前项和.‎ ‎16．把正整数排成如图的三角形阵，然后擦去第偶数行中的所有奇数，第奇数行中的所有偶数，可得如图三角形阵，现将图中的正整数按从小到大的顺序构成一个数列，若，则 _______；‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】先求得图（b）左边第一列数的通项公式，由此求得项值接近的行数，再根据公差为求得的值.‎ ‎【详解】‎ 观察图（b），设其左边第一列数为，通过观察可知，故，.令，即，，当时上式成立此时，而，由可知，是这一行的第个数，前行的项数为项，故对应的为.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查数列通项公式的求法，考查数列项数的判断，考查分析与思考问题的能力，考查图标分析，属于中档题.‎ 三、解答题 ‎17．如图，在凸四边形中，，为定点，，，为动点，满足．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）设和的面积分别为和，求的最大值．‎ ‎【答案】(1)见证明；(2)14‎ ‎【解析】（1）在三角形和三角形中分别用余弦定理表示出，由此列方程，化简得到.（2）先求得和的表达式，进而求得的表达式，并利用配方法求得最大值.‎ ‎【详解】‎ 证明：（1）‎ 又 所以 ‎ 即 ‎（2）,‎ ‎ ‎ 当时，有最大值为14.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查利用余弦定理解三角形，考查二次型函数求最值的方法，考查化归与转化的数学思想方法，所以中档题.‎ ‎18．函数 ‎（1）当时恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎（2）当时恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】（1）根据函数的对称性与区间的位置关系对函数 的最小值进行分类讨论，由此解不等式，求得的取值范围.（2）构造一次函数，由不等式组，求解出的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）①当，即时 ‎，所以,此时不存在；‎ ‎②当，即时 ‎，所以，解得 此时 ‎③当，即时 ‎，所以。‎ 此时 综上所述：实数的取值范围是 ‎（2）令 所以 ‎ 解得 所以 ‎【点睛】‎ 本小题主要考查二次函数的最值问题，考查一元二次不等式恒成立问题，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.‎ ‎19．在中，角、、的对边分别为，，，,‎ ‎（1）若，求的值；‎ ‎（2）求的取值范围.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】（1）利用正弦定理化简，求得的值，进而求得的大小.利用余弦定理和，解得和的值.（2）利用正弦定理，求得，,由此求得的表达式并利用辅助角公式合二为一，求得的取值范围.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由 则 ‎，,所以，则 由 且 ‎ 所以，‎ 则 ‎（2）由 所以，‎ 故 令，则 ，所以 故而,,‎ 当时， 有最大值 且 所以的取值范围是 ‎【点睛】‎ 本小题主要考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，考查辅助角公式，考查三角函数的值域的求法，属于中档题.‎ ‎20．我国某沙漠，曾被称为“死亡之海”，截止2018年年底该地区的绿化率只有，计划从2019年开始使用无人机飞播造林，弹射的种子可以直接打入沙面里头，实现快速播种，每年原来沙漠面积的将被改为绿洲，但同时原有绿洲面积的还会被沙漠化。设该地区的面积为，2018年年底绿洲面积为，经过一年绿洲面积为……经过年绿洲面积为，‎ ‎（1）求经过年绿洲面积；‎ ‎（2）截止到哪一年年底，才能使该地区绿洲面积超过？（取）‎ ‎【答案】(1) (2) 2022年年底 ‎【解析】（1）根据“每年原来沙漠面积的将被改为绿洲，但同时原有绿洲面积的还会被沙漠化”写出数。列 的递推关系式，然后利用配凑法配成等比数列，并由此求得数列的通项公式.（2）令，解指数不等式求得的取值范围，并根据的最小值求得截止的年份.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）由题：，所以 ‎ ，而，故.‎ ‎（2） ，得，所以 所以，即截止到2022年年底.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查数列在实际生活中的应用，考查递推数列求通项公式，考查指数不等式的解法，属于中档题.‎ ‎21．已知数列为等差数列，且，的部分项组成等比数列，其中，若，，，‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若，求数列的前项和。‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】（1）根据成等比数列，列方程，解方程求得，求得的通项公式，进而求得的公比，利用和的通项公式，求得的表达式.（2）当时，由（1）求得数列的通项公式，利用分组求和法以及错位相减法，求得的值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由，，，知得 从而，所以，,则等比数列的公比为3.‎ 所以 ‎（2），则，‎ 令 ，①‎ ‎ ②‎ 由①-②‎ ‎ ‎ 所以 ‎【点睛】‎ 本小题主要考查数列通项公式的求法，考查分组求和法，考查错位相减求和法，属于中档题.‎ ‎22．已知数列中，，，其前项和为，且当时，‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（3）设，记数列的前项和为，求.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】（1）将代入已知等式，证得是等比数列，由此求得的表达式，利用，求得数列的通项公式.（2）利用裂项求和法求得数列的前项和.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由 故又且 所以数列是一个以1为首项，4为公比的等比数列 所以……①,……②‎ 由①-② 且不满足上式 所以 ‎（2），，时 而也满足上式，所以 ‎【点睛】‎ 本小题主要考查数列通项公式的求法，考查裂项求和法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.‎