数学理卷·2018届江西师范大学附属中学高二12月月考（2016-12）

数学理卷·2018届江西师范大学附属中学高二12月月考（2016-12）

江西师大附中高二年级数学（理）月考试卷 命题：谢辉 审题：张和良 2016.12‎ 一、选择题 ‎1.已知x为实数，则“”是“x＞1”的（　　）‎ A．充分非必要条件 B． 充要条件 C．必要非充分条件 D．既不充分也不必要条件 ‎2.极坐标系中，点A（1，），B（3，）之间的距离是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎3.把曲线：（为参数）上各点的横坐标压缩为原来的，纵坐标压缩为原来的，得到的曲线为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎4.方程（t为参数）表示的曲线是（ ）。‎ A. 两条射线 B. 一条直线 C.一条线段 D.抛物线的一部分 ‎5.设A={（x，y）|y=1+}，B={（x，y）|y=k（x﹣2）+4}，若A∩B中含有两个元素，则实数k的取值范围是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎6.在下列函数中，当x取正数时，最小值为2的是（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎7.‎ 如图所示，某公园设计节日鲜花摆放方案，其中一个花坛由一批花盆堆成六角垛．顶层一个，以下各层堆成正六边形，逐层每边增加一个花盆，若这垛花盆底层最长的一排共有 13个花盆，则底层的花盆的个数是（ ）‎ A．91 B．127 C． 169 D．255‎ ‎8.已知过双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的中心的直线交双曲线于点A，B，在双曲线C上任取与点A，B不重合的点P，记直线PA，PB，AB的斜率分别为k1，k2，k，若k1k2＞k恒成立，则离心率e的取值范围为（　　）‎ A．1＜e＜ B．1＜e≤ C．e＞ D．e≥‎ ‎9.已知f（x）是可导的函数，且（x）＜f（x）对于x∈R恒成立，则（　　）‎ A．f（1）＜ef（0），f（2 014）＞e2014f（0） ‎ B．f（1）＞ef（0），f（2 014）＞e2014f（0）‎ C．f（1）＞ef（0），f（2 014）＜e2014f（0） ‎ D．f（1）＜ef（0），f（2 014）＜e2014f（0）‎ ‎10.直线l：y=k（x﹣）与曲线x2﹣y2=1（x＞0）相交于A、B两点，则直线l倾斜角的取值范围是（　　）‎ A．（0，π） B．（，）∪（，） ‎ C．[0，）∪（，π） D．（，）‎ ‎11.若直线l1：y=x，l2：y=x+2与圆C：x2+y2﹣2mx﹣2ny=0的四个交点把圆C分成的四条弧长相等，则m=（　　）‎ A．0或1 B．0或﹣1 C．1或﹣1 D．0‎ ‎12.定义在R上的函数f（x）满足：，且f（0）=，则的最大值为（　　）‎ A．0 B． C．1 D．2‎ 二填空题 ‎13.下列有关命题的说法正确的有　　（填写序号） ‎ ‎①命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0” ‎ ‎②“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件 ‎ ‎③若p∧q为假命题，则p和q均为假命题 ‎ ‎④对于命题p：∃x∈R使得x2+x+1＜0，则￢p：∀x∈R，均有x2+x+1≥0． ‎ ‎14.已知为偶函数，当时，，则曲线在处的切线方程式为______________.‎ ‎15.已知f（x）=x3﹣6x2+9x﹣abc，a＜b＜c，且f（a）=f（b）=f（c）=0．现给出如下结论：‎ ‎①f（0）f（1）＞0； ②f（0）f（1）＜0；‎ ‎③f（0）f（3）＞0； ④f（0）f（3）＜0．‎ 其中正确结论的序号是　　．‎ ‎16.在平面直角坐标系中，当P（x，y）不是原点时，定义P的“伴随点”为P′（，）；当P是原点时，定义P的“伴随点”为它自身，平面曲线C上所有点的“伴随点”所构成的曲线C′定义为曲线C的“伴随曲线”．现有下列命题：‎ ‎①若点A的“伴随点”是点A′，则点A′的“伴随点”是点A；‎ ‎②单位圆的“伴随曲线”是它自身；‎ ‎③若曲线C关于x轴对称，则其“伴随曲线”C′关于y轴对称；‎ ‎④一条直线的“伴随曲线”是一条直线．‎ 其中的真命题是　　（写出所有真命题的序列）．‎ 三、解答题 ‎17.设命题p：“对任意的x∈R，x2﹣2x＞a”，命题q：“存在x∈R，使x2+2ax+2﹣a=0”．如果命题p∨q为真，命题p∧q为假，求实数a的取值范围．‎ ‎18.以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位．已知直线l的参数方程为为参数，0＜α＜π），曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ．‎ ‎（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）设点P的直角坐标为P（2，1），直线l与曲线C相交于A、B两点，并且，求tanα的值．‎ ‎19.数列{an}的前n项和记为Sn，已知an=‎ ‎（Ⅰ）求S1，S2，S3的值，猜想Sn的表达式；‎ ‎（Ⅱ）请用数学归纳法证明你的猜想．‎ ‎20.已知圆O：x2+y2=4，点F（，0），以线段MF为直径的圆内切于圆O，记点M的轨迹为C ‎（1）求曲线C的方程；‎ ‎（2）若过F的直线l与曲线C交于A，B两点，问：在x轴上是否存在点N，使得•为定值？若存在，求出点N坐标；若不存在，说明理由．‎ ‎21.如图，P是抛物线C：上横坐标大于零的一点，直线l过点P并与抛物线C在点P处的切线垂直，直线l与抛物线C相交于另一点Q．‎ ‎（1）当点P的横坐标为2时，求直线l的方程；‎ ‎（2）若，求过点P，Q，O的圆的方程．‎ ‎22.已知直线经过椭圆S：的一个焦点和一个顶点． （1）求椭圆S的方程； （2）如图，M，N分别是椭圆S的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点，其中P在第一象限，过P作轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为．‎ ‎①若直线PA平分线段MN，求的值； ②对任意，求证：．‎ ‎12月考理科数学答案 ‎1.C 2.C 3.B 4.A 5.A 6.B 7.B 8.D 9.D 10.B 11.B 12.D ‎13.①②④ 14. 15.②③ 16. ②③‎ ‎17.‎ ‎18.解：（I）∵ρsin2θ=4cosθ，∴ρ2sin2θ=4ρcosθ，‎ ‎∴曲线C的直角坐标方程为y2=4x．‎ ‎（II）将代入y2=4x，得sin2α•t2+（2sinα﹣4cosα）t﹣7=0，‎ 所以，所以，或，即或 ‎19.‎ ‎20. 解：（1）设FM的中点为Q，切点为G，连OQ，QG，‎ 则|OQ|+|QG|=|OG|=2，取F关于y轴的对称点F′，连F′M，‎ 故|F′M|+|MF|=2（|OQ|+|QG|）=4．‎ 点M的轨迹是以F′，F为焦点，长轴长为4的椭圆．‎ 其中，a=2，c=，b=1，则曲线C的方程为+y2=1；‎ ‎（2）当直线l的斜率存在时，设其方程为y=k（x﹣），‎ A（x1，y1），B（x2，y2），联立，得．‎ 则△＞0，，‎ 若存在定点N（m，0）满足条件，则有=（x1﹣m）（x2﹣m）+y1y2‎ ‎=x1x2+‎ ‎=‎ ‎==．‎ 如果要上式为定值，则必须有，解得m=，‎ 此时=．‎ 验证当直线l斜率不存在时，也符合．‎ 故存在点N（，0）满足•为定值．‎ ‎21.‎ 解：（Ⅰ）把x=2代入，得y=2，∴点P的坐标为（2，2）．…‎ 由，①得y'=x，‎ ‎∴过点P的切线的斜率k切=2，…‎ 直线l的斜率k1==，…‎ ‎∴直线l的方程为y﹣2=，即x+2y﹣6=0…‎ ‎（Ⅱ）设P（x0，y0），则．‎ ‎∵过点P的切线斜率k切=x0，因为x0≠0．‎ ‎∴直线l的斜率k1==，‎ 直线l的方程为．②…‎ 设Q（x1，y1），且M（x，y）为PQ的中点，‎ 因为，所以过点P，Q，O的圆的圆心为M（x，y），半径为r=|PM|，…‎ 且，…‎ 所以x0x1=0（舍去）或x0x1=﹣4…‎ 联立①②消去y，得 由题意知x0，x1为方程的两根，‎ 所以，又因为x0＞0，所以，y0=1；‎ 所以，y1=4…‎ ‎∵M是PQ的中点，∴…‎ ‎∴…‎ 所以过点P，Q，O的圆的方程为…‎ ‎22.‎ 解析：（1）在直线中令得； 令得 ‎ ‎， 则椭圆方程为 （2） ①，，M、N的中点坐标为(，)，所以 ②法一：将直线PA方程代入，解得 记，则，，于是，故直线AB方程为 代入椭圆方程得， 由，因此 ， 法二：由题意设， ∵ A、C、B三点共线， 又因为点P、B在椭圆上，， ‎ 两式相减得：   ‎