【数学】2020届一轮复习人教A版不等式选讲(文)学案
专题35 不等式选讲
一.【学习目标】
1.理解绝对值的几何意义,并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式:
①|a+b|≤|a|+|b|;
②|a-b|≤|a-c|+|c-b|.
2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式:
|ax+b|≤c;|ax+b|≥c;|x-a|+|x-b|≥c.
3.会用绝对值不等式、基本不等式证明一些简单问题;能够利用基本不等式求一些特定函数的最(极)值.
4.了解证明不等式的基本方法:比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法等.
二.【知识要点】
1.绝对值的概念和几何意义
代数:|a|=
几何意义:|a|表示数轴上坐标为±a的点A到原点的距离.
2.绝对值不等式性质
|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|.
(1)|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当ab≥0时取等号;
(2)|a-b|≤|a|+|b|,当且仅当ab≤0时取等号.
3.绝对值不等式的解法
原则是转化为不含绝对值的不等式求解.
基本型:a>0,|x|<a⇔-a
a .
(1)c>0,|ax+b|≤c⇔,|ax+b|≥c⇔.
(2)c>0,|x-a|+|x-b|≥c,|x-a|+|x-b|≤c.
三种解法:图解法(数形结合)、零点分区法(定义)、绝对值的几何意义(数轴).
4.比较法证明不等式
(1)作差比较法:
知道a>b⇔a-b>0,ab,只要证明a-b>0
即可,这种方法称为作差比较法.
(2)作商比较法:
由a>b>0⇔>1且a>0,b>0,因此当a>0,b>0时要证明a>b,只要证明即可,这种方法称为作商比较法.
5.综合法证明不等式
从已知条件出发,利用定义、公理、定理、性质等,经过一系列的推理、论证而得出命题成立,即“由因导果”的方法.这种证明不等式的方法称为综合法或顺推法.
6.分析法证明不等式
证明命题时,我们还常常从要证的结论出发,逐步寻求使它 成立的充分条件
,直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理、性质、或已证明的定理
等),从而得出要证的命题成立,这种证明方法叫做分析法,这是一种执果索因的思考和证明方法.
7.反证法证明不等式
先假设要证的命题不成立
,以此为出发点,结合已知条件,应用公理、定义、定理、性质等,进行正确的推理,得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等) 矛盾的结论,以说明假设不正确
,从而证明原命题成立,我们把它称为反证法.
8.放缩法证明不等式
证明不等式时,通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小
,简化不等式,从而达到证明的目的,我们把这种方法称为放缩法.
三.方法总结
1.含绝对值不等式的求解策略
(1)解含有绝对值的不等式的指导思想是设法去掉绝对值符号.常用的方法是:①由定义分段讨论(简称零点分区间法);②利用绝对值不等式的性质(题型法);③平方法;④数形结合法等.
(2)解含参数的不等式,如果转化不等式的形式或求不等式的解集时与参数的取值范围有关,就必须分类讨论.注意:①要考虑参数的总取值范围.②用同一标准对参数进行划分,做到不重不漏.
(3)含绝对值不等式的证明,要善于应用分析转化法.
(4)灵活运用绝对值不等式的两个重要性质定理|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|,特别注意等号成立的条件.
2.作差比较法是证明不等式最基本、最重要的方法,其关键是变形,通常通过因式分解,利用各因式的符号进行判断,或进行配方,利用非负数的性质进行判断.
3.综合法证明不等式时,主要利用基本不等式、函数的单调性以及不等式的性质,在严密的推理下推导出结论,综合法往往是分析法的逆过程,所以在实际证明时,用分析法分析,用综合法表述证明推理过程.
4.某些不等式的条件与结论,或不等式的左右两边联系不明显,用作差法又难以对差进行变形,难以运用综合法直接证明,这时常用分析法,以便发现联系.分析的过程中,综合条件、定理等因素进行探索,把分析与综合结合起来,形成分析综合法.
5.有些不等式,从正面证如果不易说清楚,可以考虑反证法,凡是含有“至少”“唯一”或者含有其他否定词的命题,适宜用反证法.
6.放缩法是一种常用的证题技巧,放缩必须有目标,而目标可以从求证的结论中和中间结果中寻找.常用的放缩技巧有添舍放缩,拆项对比放缩,利用函数的单调性和重要不等式放缩等.
四.典例分析
(一)解绝对值不等式
例1.设函数.
(1)若,解不等式;
(2)求证:.
【答案】(1);(2)详见解析.
【解析】(1)因为,所以,
即或
故不等式的解集为
(2)由已知得:
所以在上递减,在递增
即
所以
练习1已知函数,.
(Ⅰ)若恒成立,求的最小值;
(Ⅱ)若,求不等式的解集.
【答案】(1)2(2)
【解析】(1)
,的最小值为
(2)①当时,,得,
②当时,,得,
③当时,,得,
综上,不等式解集为
练习2.已知函数.
(I)当时,求不等式的解集;
(II)求证:.
【答案】(I);(II)详见解析.
练习3.已知,其中。
(1)当=1时,求不等式的解集;
(2)若不等式的解集为{x|x≤-1},求的值。
【答案】(1);(2) 或.
【解析】当时,
由..
.
所以不等式的解集为
由或
当时,不等式的解集为,由
当时,解集为,不符合题意
当时,不等式的解集为,由
综上所述,或.
(二)不等式恒成立求范围
例2.已知函数.
(1)当时,求不等式的解集;
(2)若关于的不等式在时恒成立,求实数的取值范围.
【答案】(1);(2)
【解析】(1)当时,由,得,,
,解得或,所以的解集为
(2)对恒成立,即,
即,对恒成立,
显然,
令,则,在单调递增,,
.
【点睛】绝对值不等式的常见解法:
①利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结合的思想;
②利用“零点分段法”求解,体现了分类讨论的思想;
③通过构造函数,利用函数的图象求解,体现了函数与方程的思想.
④转化为一元二次不等式求解,体现了转化思想.
练习1.已知函数,
(1)当时,解不等式;
(2)若不等式对任意恒成立,求实数的取值范围.
【答案】(1);(2)
【解析】(1)当时,,所以,即求不同区间对应解集,所以的解集为.
(2)由题意,对任意的恒成立,即对任意的恒成立,令,
所以函数的图象应该恒在的下方,数形结合可得.
【点睛】本题主要考查了绝对值不等式问题,对于含绝对值不等式的解法有两个基本方法,一是运用零点分区间讨论,二是利用绝对值的几何意义求解.法一是运用分类讨论思想,法二是运用数形结合思想,将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透,解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用,这是命题的新动向.
法一:利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结合的思想;
法二:利用“零点分段法”求解,体现了分类讨论的思想;
法三:通过构造函数,利用函数的图象求解,体现了函数与方程的思想.
练习2.已知均为正实数.
(I)求证:;
(II)求证:.
【答案】(I)见解析;(II)见解析.
【解析】(I),
∴.
同理②
③
由①+②+③得:,
当且仅当时各个等号同时成立.
∴.
(II)∵
,
当且仅当时各个等号同时成立.
∴.
(八)不等式的应用
例8. 设,若的解集为.
(1)求实数的值;
(2)若,求的最小值.
【答案】(1)1(2)3
【解析】(1),
当时,,
当时,,此时无解,
当时,也无解.
(2)由,
则,
所以,此时.
练习1..已知函数.
(1)求不等式的解集;
(2)若对任意恒成立,求的最小值.
【答案】(1)(2)
练习2.如图,某生态园将一块三角形地的一角开辟为水果园,已知角为, 的长度均大于200米,现在边界处建围墙,在处围竹篱笆.
(1)若围墙、总长度为200米,如何可使得三角形地块面积最大?
(2)已知竹篱笆长为米, 段围墙高1米, 段围墙高2米,造价均为每平方米100元,若,求围墙总造价的取值范围.
【答案】(1)(米), (米2);(2).
【解析】(1)设 ,利用题意列出面积的表达式,最后利用均值不等式求解最值即可,注意讨论等号成立的条件和实际问题的定义域;
(2)利用题意结合正弦定理求得围墙造价的函数解析式,利用三角形的性质求得 的范围即可求得造价的取值范围.
试题解析:
设 (米),则,所以(米2)
当且仅当时,取等号。即(米), (米2)
(2)由正弦定理, 得
故围墙总造价
因为, 所以,
所以围墙总造价的取值范围为(元)