高考数学精讲精练精析专题10_2双曲线试题理含解析

高考数学精讲精练精析专题10_2双曲线试题理含解析

专题 10.2 双曲线 【三年高考】 1. 【2016 高考新课标 1卷】已知方程 2 2 2 2 1 3 x y m n m n     表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为 4, 则 n 的取值范围是( ) （A）  1,3 （B）  1, 3 （C）  0,3 （D）  0, 3 【答案】A 2．【2016 高考新课标 2 理数】已知 1 2,F F 是双曲线 2 2 2 2: 1x yE a b   的左，右焦点，点M 在E上， 1MF 与 x 轴垂直， 2 1 1sin 3 MF F  ,则 E的离心率为（ ） （A） 2 （B） 3 2 （C） 3 （D）2 【答案】A 【解析】因为 1MF 垂直于 x轴，所以 2 2 1 2, 2b bMF MF a a a    ，因为 2 1 1sin 3 MF F  ，即 2 1 2 2 1 32 b MF a bMF a a    ，化简得b a ，故双曲线离心率 1 2be a    .选 A. 3．【2016 高考天津理数】已知双曲线 2 2 2 4 =1x y b  （b>0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的 圆与双曲线的两条渐近线相交于 A、B、C、D 四点，四边形的 ABCD 的面积为 2b，则双曲线的方程为（ ） （A） 22 44 3 =1yx  （B） 22 34 4 =1yx  （C） 2 2 2 4 =1x y b  （D） 22 24 =1 1 x y  【答案】D 4．【2016 年高考北京理数】双曲线 2 2 2 2 1x y a b   （ 0a  ， 0b  ）的渐近线为正方形 OABC 的边 OA，OC 所 在的直线，点 B 为该双曲线的焦点，若正方形 OABC 的边长为 2，则 a  _______________. 【答案】2 【解析】∵OABC是正方形，∴ 45AOB  ，即直线OA方程为 y x ，此为双曲线的渐近线，因此 a b ， 又由题意 2 2OB  ，∴ 2 2 2(2 2)a a  ， 2a  ．故填：2． 5．【2016 高考上海理数】双曲线 2 2 2 1( 0)yx b b    的左、右焦点分别为 1 2F F、 ，直线 l过 2F 且与双曲线 交于 A B、 两点. （1）若 l的倾斜角为 2  ， 1F AB 是等边三角形，求双曲线的渐近线方程； （2）设 3b  ，若 l的斜率存在，且 1 1( ) 0F A F B AB      ，求 l的斜率. 【解析】（1）设  ,x y  ．由题意，  2F ,0c ， 21c b  ，  2 2 2 41y b c b    ，因为 1F 是等 边三角形，所以2 3c y ，即  2 44 1 3b b  ，解得 2 2b  ．故双曲线的渐近线方程为 2y x  ． （2）由已知，  1F 2,0 ，  2F 2,0 ．设  1 1,x y ，  2 2,x y ，直线 :l  2y k x  ．显然 0k  ． 由   2 2 1 3 2 yx y k x        ，得  2 2 2 23 4 4 3 0k x k x k     ．因为 l与双曲线交于两点，所以 2 3 0k   ，且  236 1 0k    ．设的中点为  ,x y  ．由  1 1F F 0       即 1F 0     ，知 1F  ， 故 1F 1k k    ．而 2 1 2 2 2 2 3 x x kx k     ，   2 62 3 ky k x k     ， 1F 2 3 2 3 kk k   ，所以 2 3 1 2 3 k k k     ，得 2 3 5 k  ，故 l的斜率为 15 5  ． 6. 【2015 高考福建，理 3】若双曲线 2 2 : 1 9 16 x yE   的左、右焦点分别为 1 2,F F ，点P在双曲线 E上，且 1 3PF  ，则 2PF 等于（ ） A．11 B．9 C．5 D．3 【答案】B 【解析】由双曲线定义得 1 2 2 6PF PF a   ，即 23 6PF  ，解得 2 9PF  ，故选 B． 7.【2015 高考新课标 1，理 5】已知 M（ 0 0,x y ）是双曲线 C： 2 2 1 2 x y  上的一点， 1 2,F F 是 C 上的两个 焦点，若 1 2 0MF MF    ，则 0y 的取值范围是( ) （A）（- 3 3 ， 3 3 ） （B）（- 3 6 ， 3 6 ） （C）（ 2 2 3  ， 2 2 3 ） （D）（ 2 3 3  ， 2 3 3 ） 【答案】A 8.【2015 高考湖北，理 8】将离心率为 1e 的双曲线 1C 的实半轴长 a和虚半轴长 ( )b a b 同时增加 ( 0)m m  个 单位长度，得到离心率为 2e 的双曲线 2C ，则（ ） A．对任意的 ,a b， 1 2e e B．当 a b 时， 1 2e e ；当 a b 时， 1 2e e C．对任意的 ,a b， 1 2e e D．当 a b 时， 1 2e e ；当 a b 时， 1 2e e 【答案】D 【解析】依题意， 2 22 1 )(1 a b a bae    ， 2 22 2 )(1 )()( ma mb ma mbma e       ， 因为 )( )( )( maa abm maa amabbmab ma mb a b          ，由于 0m ， 0a ， 0b ， 所以当 ba  时， 10  a b ， 10     ma mb ， ma mb a b    ， 22 )()( ma mb a b    ，所以 1 2e e ； 当 ba  时， 1 a b ， 1   ma mb ，而 ma mb a b    ，所以 22 )()( ma mb a b    ，所以 1 2e e . 所以当 a b 时， 1 2e e ；当 a b 时， 1 2e e . 9.【2015 高考重庆，理 10】设双曲线 2 2 2 2 1x y a b   （a>0,b>0）的右焦点为 1，过 F 作 AF 的垂线与双曲线交 于 B,C 两点，过 B,C 分别作 AC，AB 的垂线交于点 D.若 D到直线 BC 的距离小于 2 2a a b  ，则该双曲线 的渐近线斜率的取值范围是 （ ） A、 ( 1,0) (0,1)  B、 ( , 1) (1, )   C、 ( 2,0) (0, 2)  D、 ( , 2) ( 2, )   【答案】A 10.【2014 新课标 1，理 4】已知F 是双曲线C： 2 2 3 ( 0)x my m m   的一个焦点，则点 F 到C的一条 渐近线的距离为 （ ） A . 3 B .3 C . 3m D .3m 【答案】A 【解析】化为标准方程为： 2 2 1 3 3 x y m   ，则焦点 F （ 3( 1)m  ，0）到渐近线方程为 0x my  距离 为 3( 1) 1 m m   = 3，故选 A. 11. 【2014 天津，理 5】已知双曲线 2 2 2 2 1x y a b - = ( )0, 0a b> > 的一条渐近线平行于直线 l： 2 10y x= + ， 双曲线的一个焦点在直线 l上，则双曲线的方程为（ ） （A） 2 2 1 5 20 x y- = （B） 2 2 1 20 5 x y- = （C） 2 23 3 1 25 100 x y- = （D） 2 23 3 1 100 25 x y- = 【答案】A 【解析】依题意得 2 2 2 2 5 b a c c a b        ，所以 2 5a = ， 2 20b = ，双曲线的方程为 2 2 1 5 20 x y- = ，故选 A. 12.【2014 江西，理 20】如图，已知双曲线C : 2 2 2 1x y a   ( 0a  )的右焦点 F ,点 BA, 分别在C的两条渐 近线上， xAF  轴， BFOBAB , ∥OA(O为坐标原点）. （1）求双曲线C的方程； （2）过C上一点 )0)(( 00,0 yyxP 的直线 1: 02 0  yy a xxl 与直线 AF 相交于点M ，与直线 2 3 x 相交于点 N ，证明点 P在C上移动时， NF MF 恒为定值，并求此定值 . 【三年高考命题回顾】 纵观前三年各地高考试题, 对双曲线的考查以选择、填空为主，主要侧重以下几点：(1)双曲线定义的应用； （2）求双曲线的标准方程．(3)以双曲线的方程为载体，研究与参数 , , ,a b c e及渐近线有关的问题，其中离 心率和渐近线是考查的重点和热点，高考题中以选择、填空题为主，分值为 5 分，难度为容易题和中档题. 【2017 年高考复习建议与高考命题预测】 由前三年的高考命题形式可以看出 , 双曲线的定义、标准方程、几何性质性质问题是高考考试的重点，每 年必考，一般是小题形式出现,解答题很少考查,主要以利用性质求双曲线方程，求焦点三角形的周长与面 积，求弦长，求双曲线的离心率,最值或范围问题，过定点问题，定值问题等, 直线与双曲线的位置关系， 难度一般不是太大, 故预测 2016 年高考仍会延续这种情形，以双曲线的方程与性质为主．备考时应熟练掌 握双曲线的定义、求双曲线标准方程的方法，能灵活运用双曲线定义及几何性质确定基本元素 , ,a b c .另外， 要深入理解参数 , ,a b c的关系、渐近线及其几何意义，应注意与向量、直线、圆等知识的综合. 【2017 年高考考点定位】 高考对双曲线的考查有两种主要形式：一是考双曲线的定义与标准方程；二是考查双曲线的几何性质；三 是考查直线与双曲线的简单位置关系，从涉及的知识上讲，常平面几何、平面向量、方程数学、不等式等 知识相联系，字母运算能力和逻辑推理能力是考查是的重点. 【考点 1】双曲线的定义与标准方程 【备考知识梳理】 1.双曲线的定义：把平面内与两定点 1 2,F F 的距离之差的绝对值等于常数（小于 1 2| |F F ）的点的轨迹叫做双 曲线，这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点之间的距离叫焦距，符号表述为： 1 2| | | | 2PF PF a   ( 1 22 | |a F F ). 注意：（1）当 1 22 | |a F F 时，轨迹是直线 1 2F F 去掉线段 1 2F F .(2)当 1 22 | |a F F 时，轨迹不存在. 2.双曲线的标准方程：（1） 焦点在 x轴上的双曲线的标准方程为 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a b a b     ；焦点在 y 轴上 的双曲线的标准方程为 2 2 2 2 1( 0, 0)y x a b a b     .给定椭圆 2 2 1( )x y m n m n   与 异号 ，要根据 ,m n的正负判 定焦点在哪个坐标轴上，焦点在分母为正的那个坐标轴上. (2)双曲线中 , ,a b c关系为： 2 2 2-a c b . 【规律方法技巧】 1.利用双曲线的定义可以将双曲线上一点到两焦点的距离进行转化，对双曲线上一点与其两焦点构成的三 角形问题，常用双曲线的定义与正余弦定理去处理. 2.求双曲线的标准方程方法 (1)定义法：若某曲线（或轨迹）上任意一点到两定点的距离之差（或距离之差的绝对值）为常数（常数小 于两点之间的距离），符合双曲线的定义，该曲线是以这两定点为焦点，定值为实轴长的双曲线，从而求出 双曲线方程中的参数，写出双曲线的标准方程，注意是距离之差的绝对值是双曲线的两只，是距离之差是 双曲线的一只，要注意是哪一只. (2)待定系数法，用待定系数法求双曲线标准方程，一般分三步完成，①定性-确定它是双曲线；②定位-判 定中心在原点，焦点在哪条坐标轴上；③定量-建立关于基本量 , , ,a b c e的关系式，解出参数即可求出双曲 线的标准方程. 3.若双曲线的焦点位置不定，应分焦点在 x 轴上和焦点在 y 轴上，也可设双曲线的方程为 2 2 1Ax By  ， 其中 ,A B异号且都不为 0，可避免分类讨论和繁琐的计算. 4.若已知双曲线的渐近线方程为 0ax bx  ，则可设双曲线的标准方程为 ax bx   （ 0  ）可避免分 类讨论. 【考点针对训练】 1. 【2016 年江西师大附中模考】已知中心在原点的双曲线C的离心率等于 3 2 ,其中一条准线方程 4 3 x   ， 则双曲线C 的方程是（ ） A . 2 2 1 4 5 x y   B． 2 2 1 4 5 x y   C． 2 2 1 2 5 x y    D． 2 2 1 2 5 x y    【答案】B 2. 【2016 届宁夏石嘴山三中高三下三模】过双曲线 2 2 1 4 5 x y   的左焦点 1F ，作圆 2 2 4x y  的切线交双 曲线右支于点 P，切点为 T， 1PF 的中点为 M，则 | | | |MO MT  _____________． 【答案】 25  【考点 2】双曲线的几何性质 【备考知识梳理】 1.双曲线的几何性质 焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上 图形 标准方程 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a b a b     2 2 2 2 1( 0, 0)y x a b a b     焦点 (±c,0) (0，±c) 焦距 |F1F2|＝2c(c2 ＝a2 +b2 ) 范围 |x|≥a；y∈R x∈R；|y|≥a 顶点 实轴顶点(±a,0)，虚轴顶点(0， ±b) 实轴顶点(0，±a)，虚轴顶点(±b,0) 对称性 曲线关于 x 轴、y 轴、原点对称 曲线关于 x 轴、y 轴、原点对称 离心率 e＝ c a ∈(1，+ )，其中 c＝ 2 2a b 渐近线 by x a   ay x b   2.等轴双曲线： 实轴与虚轴相等的双曲线叫等轴双曲线，，其标准方程为 2 2 ( 0)x y     ，离心率为 2 ，渐近线为 y x  . 【规律方法技巧】 1.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图像进行分析，围绕双曲线中的“六点”（两个顶点、两个焦点、 虚轴的两个端点），“四线”（两条对称轴，两条渐近线），“两形”（中心、焦点、虚轴端点构成的特征 三角形，双曲线上一点与两个交点构成的三角形），研究它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系. 2.双曲线取值范围实质实质是双曲线上点的横坐标、纵坐标的取值范围，在求解一些最值、取值范围以及 存在性、判断性问题中有着重要的应用. 3.求离心率问题，关键是先根据题中的已知条件构造出 , ,a b c的等式或不等式，结合 2 2 2c b a  化出关于 ,a c的式子，再利用 ce a  ，化成关于 e的等式或不等式，从而解出 e的值或范围.离心率 e与 ,a b的关系为： 2 2 2 2 2 2 c a be a a    = 2 21 b a   2 1b e a   . 4.双曲线 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a b a b     的渐近线方程为 by x a   ，可变形为 x y a b   ，即 2 2 2 2 0x y a b   ，所以 双曲线的渐近线方程可以看作把其标准方程中的 1 换为 0 得来的. 4.椭圆的通径（过焦点垂直于焦点所在对称轴的直线被椭圆截得的弦叫通径）长度为 22b a ，是过椭圆焦点 的直线被椭圆所截得弦长的最小值. 5. 双曲线上一点到双曲线一个焦点的距离的取值范围为[ ,c a  ). 【考点针对训练】 1. 【2016 年湖北安庆一中高三一模测试】设点 A、  ,0F c 分别是双曲线 2 2 2 2 1x y a b   （ 0a  , 0b  ）的 右顶点和右焦点,直线 2ax c  交双曲线的一条渐近线于点 P．若 PAF 是等腰三角形,则此双曲线的离心率 为（ ） A． 3 B．3 C． 2 D． 2 【答案】D 2 2 2 2 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( )a aa c c a c a c c       2 2( ) ( ) 1a a c a c c c a      2 2 1 1 1 1 1 e e e e      . 解得 2e  .故选 D. 2. 【2016 年河北石家庄高三二模】已知双曲线 1 42 22    m y m x 的一条渐近线方程为 xy 3 ，则实数m 的值为______. 【答案】 5 4 【考点 3】直线与双曲线的位置关系 【备考知识梳理】 设双曲线的方程为 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a b a b     ，直线 0Ax By C   ，将直线方程与双曲线方程联立，消去 y得到关于 x 的方程 2 0mx nx p   . (1)若m≠0，当△＞0时，直线与双曲线有两个交点.当△=0 时，直线与双曲线有且只有一个公共点，此 时直线与双曲线相切. 当△＜0 时，直线与双曲线无公共点. （2）当m =0 时，直线与双曲线只有一个交点，此时直线与双曲线的渐近线平行. 【规律方法技巧】 1. 直线方程与椭圆方程联立，消元后得到一元二次方程，则一元二次方程的根是直线和椭圆交点的横坐标 或纵坐标，常设出交点坐标，用根与系数关系将横坐标之和与之积表示出来，这是进一步解题的基础． 2．直线 y＝kx＋b(k≠0)与椭圆相交于 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则弦长|AB|＝ 1＋k2 |x1－x2|＝ 1＋k2 · x1＋x2 2 －4x1x2＝ 1＋ 1 k2 ·|y1－y2|＝ 1＋ 1 k2 · y1＋y2 2 －4y1y2. 3．对中点弦问题常用点差法和参数法. 【考点针对训练】 1. 【2016 年江西师大附中鹰潭一中联考】过双曲线 )0,0(12 2 2 2  ba b y a x 的右焦点 F 作一条直线，当 直线斜率为 1 时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线斜率为 3 时，直线与双曲线右支有两个 不同的交点，则双曲线离心 率的取值范围为（ ） A． (1, 2) B． (1, 10) C． ( 2, 10) D． ( 5, 10) 【答案】C 2.【2016 届黑龙江大庆实验中学高三考前训练一】双曲线 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a b a b     的左、右焦点分别为 1F 、 2F ，过 1F 的直线 l与双曲线的左、右两支分别交于 A、 B两点.若 2ABF 为等边三角形，则该双曲线的离 心率为________． 【答案】 7 【解析】根据双曲线的定义，可得 aBFBF 221  ，∵ 2ABF 是等边三角形，即 ABBF 2 ，∴ aBFBF 221  ，即 aAFABBF 211  ，又∵ aAFAF 212  ，∴ aaAFAF 4212  ，∵ 21FAF 中， aAF 21  ， aAF 42  ， 12021  AFF ，∴ 120cos2 21 2 2 2 1 2 21 AFAFAFAFFF  ， 即 2222 28 2 14221644 aaaaac       ，解之得 ac 7 ，由此可得双曲线C的离心率 7 a ce ，故答案为： 7 . 【应试技巧点拨】 １．焦点三角形问题的求解技巧 (1)所谓焦点三角形，就是以双曲线的焦点为顶点，另一个顶点在双曲线上的三角形． (2)解决此类问题要注意应用三个方面的知识：①双曲线的定义；②勾股定理或余弦定理；③基本不等式与 三角形的面积公式． ２．离心率的求法 双曲线的离心率就是 c a 的值，有些试题中可以直接求出 ,a c的值再求离心率，在有些试题中不能直接求出 ,a c的值，由于离心率是个比值，因此只要能够找到一个关于 ,a c或 ,a b的方程，通过这个方程解出 c a 或 b a ， 利用公式 ce a  求出，对双曲线来说， 2 21 be a   ，对椭圆来说， 2 21 be a   . 3． 有关弦的问题 (1)有关弦长问题，应注意运用弦长公式及根与系数的关系，“设而不求”；有关焦点弦长问题，要重视双 曲线的定义的运用，以简化运算． ①斜率为 k的直线与双曲线的交于两点 1 1 1( , )P x y    ， 2 2 2( , )P x y    ，则所得弦长 2 1 2 1 2| | 1 | |PP k x x   或 1 2 2 12 1| | 1 | |PP y y k    ，其中求 1 2| |x x 与 2 1| |y y 时通常使用根与系数的关系，即作如下变形：  21 2 1 2 1 2| | 4x x x x x x    ，  22 1 1 2 1 2| | 4y y y y y y    . ②当斜率 k不存在时，可求出交点坐标，直接运算(利用两点间距离公式)． (2)弦的中点问题 有关弦的中点问题，应灵活运用“点差法”，“设而不求法”来简化运算． 4.求解双曲线的的离心率，基本思路有两种：一是根据圆锥曲线的定义、方程、性质等分别求出 ,a c，然 后根据离心率的定义式求解；二是根据已知条件构造关于 ,a c的方程，多为二次齐次式，然后通过方程的变 形转化为离心率 e 的方程求解，要灵活利用椭圆、双曲线的定义求解相关参数． 二年模拟 1. 【2016 届邯郸市一中高三十研】中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线C的两条渐近线与圆： 2 2( 2) 1x y   都相切，则双曲线C的离心率是（ ） A． 63 2 或 B． 2 3或 C． 2 3 2 3 或 D． 2 3 6 3 2 或 【答案】C 2. 【2016 年江西省九江市三模】过双曲线 ),0,0(1: 22 2 2 2 2 bacba b y a xC  的左焦点 F 作圆⊙ 4 2 22 cyx  的切线，且点为 E，延长 PE交双曲线C右支于点 P，若 E为 PF 的中点，，则双曲线C的离 心率为（ ) A． 12  B． 2 12  C． 13  D． 2 13  【答案】C 【解析】如图所示，设双曲线C的右焦点为 F ，依题意可得 FPEO ∥ ， PFEO  ，则 ,3, cPFcFP  ∴ cca  32 ，即 13 13 2   e . 3. 【2016 届云南省玉溪一中高三下第八次月考】已知双曲线 2 2 2 2 1 ( 0, 0)x y a b a b     的左顶点与抛物线 2 2 ( 0)y px p  的焦点的距离为 4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为 ( 2, 1)  ，则双 曲线的焦距为（ ） A． 2 5 B． 2 3 C． 4 3 D． 4 5 【答案】A 4. 【2016 年河南省商丘市高三三模】 已知抛物线 xy 82  与双曲线 12 2 2  y a x 的一个交点为M ，F 为 抛物线的焦点，若 5MF ，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A． 035  yx B． 053  yx C． 054  yx D． 045  yx 【答案】A 【解析】依题意,抛物线焦点  2,0F ,设  0 0,M x y ,因为 5MF  ,所以 0 02 5, 3x x   ,所以  3, 2 6M  ,代入 2 2 2 1x y a   得 2 2 9 924 1, 25 a a    ,所以令 2 2 2 0x y a   ,得双曲线的渐近线为 xy a   , 即 035  yx . 5..【2016 年湖南师大附中高三三模】已知点 P为双曲线 x2 a2 － y2 b2 ＝1(a>0，b>0)右支上一点，F1，F2分别为双 曲线的左右焦点，且|F1F2|＝ b2 a ，G 为三角形 PF1F2的内心，若 S△GPF1＝S△GPF2＋λS△GF1F2成立， 则λ的值为（ ） A. 1＋2 2 2 B．2 3－1 C. 2＋1 D. 2－1 【答案】D 6. 【2016 届陕西省安康市高三第三次联考】设双曲线   2 2 2 2: 1 0, 0x yC a b a b     的一条渐近线与直线 1x   的一个交点的纵坐标为 0y ,若 0 2y  ,则双曲线C的离心率的取值范围是（ ） A．  1, 3 B．  1, 5 C．  3, D．  5, 【答案】B 【解析】由题意得 0 by a  ，所以 2 2 2 22 4 5 1 5b c a a e e a          ，选 B. 7. 【2017 届广州省惠州市高三第一次调研】双曲线M ： 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a b a b     的实轴的两个端点为 A、 B，点 P为双曲线M 上除 A、 B外的一个动点，若动点Q满足 ,QA PA QB PB  ,则动点Q的轨迹为 （ ） （A）圆 （B）椭圆 （C）双曲线 （D）抛物线 【答案】C 【解析】设 2 2 2 2( , ), ( , ), 1x yP m n Q x y M a b  双曲线 : ,实轴的两个顶点 ( ,0), ( ,0)A a B a , ( , ), ( , )QA x a y PA m a n        ∵QA⊥PA，∴     0x a m a ny      ，可得 ,nym a x a     同 理根据 QB⊥PB，可得 nym a x a     两式相乘可得 2 2 2 2 2 2 n ym a x a    ,∵点 ( , )P m n 为双曲线 M上除 A、B 外的一个动点， 2 2 2 2 1m n a b    ，整理得 2 2 2 2 2 ( )bn m a a   2 2 2 2 2 1x b y a a   故选 C． 8. 【2016 届河南省禹州市名校高三三模】已知点 P为双曲线   2 2 2 2 1 0, 0x y a b a b     右支上的一点，点 1 2,F F 分别为双曲线的左、右焦点，双曲线的一条渐近线的斜率为 7 ，若M 为 1 2PF F 的内心，且 1 2 1 2PMF PMF MF FS S S    ，则的值为 ． 【答案】 2 4 9．【2016 届天津市和平区高三三模】设双曲线   2 2 2 2 1 0, 0x y a b a b     的半焦距为 c，原点到直线 :l ax by ab  的距离等于 1 1 3 c  ，则 c的最小值为 ． 【答案】6 【解析】由题设原点O到直线 :l ax by ab  的距离为 c c ab ba abd 3 11 22    ,即 abcc 332  . 而 2 22 baab   （当且仅当 ba  取等号）,所以 )( 2 333 222 baabcc  ,即 22 2 33 ccc  ,解之得 6c ,即的最小值为6 . 10. 【2016 届广东省华南师大附中高三 5 月测试】已知 C 的边在直角坐标平面的 x轴上，的 中点为坐标原点，若 C 1 2       ， C 3 2       ，又点在 C 边上，且满足3 2 C     ，以、为 焦点的双曲线经过C、两点． （Ⅰ）求   及此双曲线的方程； （Ⅱ）若圆心为  0 ,0x 的圆与双曲线右支在第一象限交于不同两点，，求点横坐标 0x 取值范围． 11.【2015 届黑龙江省哈尔滨市三中高三第四次模拟】双曲线 )0,0(1: 2 2 2 2  ba b y a xC 的离心率为 2，焦 点到渐近线的距离为 3 ，则C的焦距等于（ ） A．2 B． 22 C． 32 D．4 【答案】D 【解析】∵双曲线 )0,0(1: 2 2 2 2  ba b y a xC 的离心率为 2，∴ 2ce a   ，∵双曲线的渐近线方程为 by x a   ，不妨设 by x a  ，即 0bx ay  ，则 2c a ， 2 2 3b c a a   ，∵焦点到渐近线的距离为 3 ，∴ 2 2 3bcd a b    ，即 2 2 3 3 3 3 2 23 ac ac c aa a     ，解得 2c  ，则焦距为2 4c  ． 12.【2015 届吉林省实验中学高三上学期第五次模拟】已知双曲线 2 2 2 2: 1x yC a b   的左、右焦点分别是 1 2,F F ， 正三角形 1 2AF F 的一边 1AF 与双曲线左支交于点 B，且 1 14AF BF   ，则双曲线C的离心率的值是（ ） A． 1 2 3  B． 3 1 2  C． 1 3 13  D． 13 1 3  【答案】D 【解析】设 1 4AF m ，则 1BF m ,所以 2 2 2 0 2 2 216 2 4 cos60 13 , 13BF m m m m m BF m        ， 因此离心率等于 4 13 1 313 m m m    ，选 D． 13.【2015 届浙江省余姚市高三第三次模拟考试】设 1 2,F F 分别是双曲线 2 2 2 2: 1( 0, 0)x yC a b a b     的左、 右焦点， P是C的右支上的点，射线 PT 平分 1 2F PF ,过原点O作 PT 的平行线交 1PF 于点M ,若 1 2 1| | | | 3 MP FF ,则C的离心率为（ ） A. 3 2 B.3 C. 2 D. 3 【答案】A 14. 【山东省济南市 2015 届高三上学期期末考试】已知 1 2,F F 是双曲线   2 2 2 2 1 0, 0x y a b a b     的左右两 个焦点，过点 2F 与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点 M，若点 M 在以线段 1 2F F 为 直径的圆外，则该双曲线离心率的取值范围是 A.  1, 2 B.  2 3， C.  3 2， D.  2 ， 【答案】D 15.【2015 届甘肃省天水市一中高三高考信息卷一】我们把离心率 2 15  e 的双曲线  0,012 2 2 2  ba b y a x 称为黄金双曲线．如图是双曲线  22 2 2 2 2 ,0,01 bacba b y a x  的图象， 给出以下几个说法：①双曲线 1 15 2 2 2    yx 是黄金双曲线；②若 acb 2 ，则该双曲线是黄金双曲线；③ 若 21,FF 为左右焦点， 21, AA 为左右顶点， 1B （0，b）， 2B （0，﹣b）且 0 211 90 ABF ，则该双曲线是 黄金双曲线；④若MN经过右焦点 2F 且 21FFMN  ， 090MON ，则该双曲线是黄金双曲线．其中正 确命题的序号为 ． 【答案】①②③④ 【解析】对于①， 2 15,1 22   ba ，则 2 35222   bac ， 2 2 2 2 2 15 2 35           a ce ， 2 15  e ，所以双曲线是黄金双曲线；对于②， acacb  222 ，整理得 012  ee ，解得 2 51 e ，所以双曲线是黄金双曲线；对于③  22 21 222 21 22 11 ,, 2 caAFabABbcBF  ，由勾股 定理得  22222 caabbc  ，整理得 acb 2 由②可知 2 51 e 所以双曲线是黄金双曲线；对于④ 由于  0,2 cF ，把 cx  代入双曲线方程得 12 2 2 2  b y a c ，解得 a by 2  ， a bNF 2 2  ，由对称关系知 2ONF 为等腰直角三角形， a bc 2  ，即 acb 2 ，由①可知 2 51 e 所以双曲线是黄金双曲线． 拓展试题以及解析 1.已知 1 2,F F 是双曲线 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a b a b     的左、右焦点，直线 y a 与双曲线两条渐近线的左、右交 点分别为 ,A B，若四边形 2 1ABF F 的面积为5ab，则双曲线的离心率为（ ） A． 2 3 3 B． 2 C． 3 D． 5 【答案】A 【入选理由】本题考查双曲线的方程及其几何性质,直线与双曲线的位置关系,面积公式等基础知识，意在 考查分析问题、解决问题的能力、基本运算能力及推理能力，本题是一个常规题，是高考常考题型,故选此 题. 2.已知抛物线 2 ( 0)x ay a  的焦点与双曲线 2 2 1 2 2 x y   的右焦点重合，则 a （ ） A.4 B.8 C. 4 1 D. 1 8 【答案】D 【解析】抛物线方程化为 2 1y x a  ，∴抛物线的焦点为 1( ,0) 4 F a ，双曲线 2 2 1 2 2 x y   的右焦点为  2 0， ， ∴ 1 2 4a  ，∴ 1 8 a  ，故选 D. 【入选理由】本题考查抛物线的方程及简单的几何性质，双曲线的性质等基础知识，意在考查分析问题、 解决问题的能力、基本运算能力及推理能力，本题是一个常规题，是高考常考题型,故选此题. 3.在双曲线 ),0,0(1 22 2 2 2 2 bacba b y a x  中，已知 bac ,, 成等差数列，则该双曲线的渐近线的斜 率等于（ ） A. 4 3  B. 3 5  C. 3 4  D. 5 3  【答案】C 【入选理由】本题考查双曲线的方程，双曲线的性质,等差数列等基础知识，意在考查分析问题、解决问题 的能力、基本运算能力及推理能力，本题是一个常规题，是高考常考题型,故选此题. 4.设双曲线 2 2 2 1( 0) 2 x y b b    与抛物线 2 8y x 交于两点 A B、 ，且 =8AB ，则该双曲线的焦点到其渐近 线的距离为（ ） A． 1 3 B． 2 3 C． 4 D． 6 3 【答案】C 【解析】由已知得 (2, 4)A ，带入双曲线方程得 2 162 1 b   ，则 2 16, 4b b  ，所以双曲线的渐近线方程为 2 2y x  ，故该双曲线的焦点 (3 2,0)到其渐近线的距离为 2 2 3 2 4 3 d    ，故选 C． 【入选理由】本题考查抛物线的方程及简单的几何性质，双曲线的方程与简单性质等基础知识，意在考查 分析问题、解决问题的能力、基本运算能力及推理能力，本题是一个常规题，是高考常考题型,故选此题. 5.已知双曲线 2 2 2 2 1( 0)x y a b a b   － 与两条平行直线 1l ： y x a  与 2l ： y x a  相交所得的平行四边 形的面积为 26b ，则双曲线的离心率为（ ） A． 2 B． 2 3 3 C． 3 D．2 【答案】B 【入选理由】本题考查双曲线方程,双曲线的简单几何性质直线与双曲线的位置关系等基础知识，意在考查 数形结合思想和综合分析问题解决问题的能力，试题形式新颖，故选此题. 6.已知双曲线 )0,0(12 2 2 2  ba b y a x 的一条渐近线与抛物线 )0(22  ppxy 的准线的交点坐标为 4 8( , ) 3 3  ，且双曲线与抛物线的一个公共点 M的坐标 0( , 4)x ，则双曲线的方程为—————. 【答案】 2 2 1 5 20 x y   . 【入选理由】本题考查抛物线的方程及简单的几何性质，双曲线的方程与简单性质等基础知识，意在考查 分析问题、解决问题的能力、基本运算能力及推理能力，本题是一个常规题，是高考常考题型,故选此题.