【数学】2020届一轮复习（文理合用）第一章 集合与常用逻辑用语单元检测
对应学生用书[考案 1 理][考案 1 文]
第一章 综合过关规范限时检测
(时间：45 分钟 满分 100 分)
一、选择题(本大题共 10 个小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中
只有一个是符合题目要求的)
1．(文)(2018·课标全国Ⅱ，2)已知集合 A＝{1,3,5,7}，B＝{2,3,4,5}，则 A∩B＝( C )
A．{3} B．{5}
C．{3,5} D．{1,2,3,4,5,7}
(理)(2018·课标全国Ⅲ，1)已知集合 A＝{x|x－1≥0}，B＝{0,1,2}，则 A∩B＝( C )
A．{0} B．{1}
C．{1,2} D．{0,1,2}
[解析] (文)本题主要考查集合的运算．由题意得 A∩B＝{3,5}，故选 C．
(理)本题考查集合的运算．∵A＝{x|x－1≥0}＝{x|x≥1}，B＝{0,1,2}，∴A∩B＝{1,2}，
故选 C．
2．(2017·北京)已知全集 U＝R，集合 A＝{x|x<－2 或 x>2}，则∁UA＝( C )
A．(－2,2) B．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
C．[－2,2] D．(－∞，－2]∪[2，＋∞)
[解析] 由已知可得，集合 A 的补集∁UA＝[－2,2]．故选 C．
3．(2017·浙江)已知集合 P＝{x|－1
0
C．∃x∈R 使得 cosx＝1 D．∀x∈R,2x>0
[解析] 由于 log21＝0，因此∃x∈R，使得 log2x＝0 为真命题；当 x＝0 时，x2＝0，因
此∀x∈R，x>0 为假命题；当 x＝2π 时，cosx＝1，因此∃x∈R，使得 cosx＝1 为真命题；
根据指数函数的性质，∀x∈R,2x>0 为真命题．故选 B．
8．(2018·广西防城港高中毕业班 1 月模拟)已知命题 p：x2－x>0 是 x>1 的充分不必要条
件；命题 q：若数列{an}的前 n 项和 Sn＝n2，那么数列{an}是等差数列．则下列命题是真命
题的是( B )
A．p∨(¬q) B．p∨q
C．p∧q D．(¬p)∧(¬q)
[解析] 由 x2－x>0 可得 x>1 或 x<0，则命题 p 是假命题；等差数列的前 n 项和是关于 n
的二次函数，且不含有常数项，命题 q 符合这一条件，所以命题 q 是真命题．所以 p∨(¬q)
是假命题，p∨q 是真命题，p∧q 是假命题，(¬p)∧(¬q)是假命题．故选 B．
9．(文)(2018·娄底模拟)“a<－1”是“直线 ax＋y－3＝0 的倾斜角大于π
4”的( A )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
(理)(2018·山东德州二模)下列说法正确的是( D )
A．命题“∃x∈R，使得 x2＋x＋1<0”的否定是：“∀x∈R，x2＋x＋1>0”
B．命题“若 x2－3x＋2＝0，则 x＝1 或 x＝2”的否命题是：“若 x2－3x＋2＝0，则 x≠1
或 x≠2”
C．直线 l1：2ax＋y＋1＝0，l2：x＋2ay＋2＝0，l1∥l2 的充要条件是 a＝1
2
D．命题“若 x＝y，则 sinx＝siny”的逆否命题是真命题
[解析] (文)设直线 ax＋y－3＝0 的倾斜角为 θ，则 tanθ＝－a.若 a<－1，则 tanθ>1，可
得倾斜角 θ 大于π
4；
若倾斜角 θ 大于π
4，则 tanθ>1 或 tanθ<0，即－a>1 或－a<0，即 a<－1 或 a>0.
所以“a<－1”是“直线 ax＋y－3＝0 的倾斜角大于π
4”的充分不必要条件．
(理)命题“∃x∈R 使得 x2＋x＋1<0”的否定是“∀x∈R，x2＋x＋1≥0”．A 错；命题“若
x2－3x＋2＝0，则 x＝1 或 x＝2”的否命题是“若 x2－3x＋2≠0，则 x≠1 且 x≠2”，B 错；l1
∥l2 的充要条件是 a＝±1
2，C 错，故选 D．事实上，显然“若 x＝y，则 sinx＝siny”是真命
题，故其逆否命题是真命题．
[误区警示] (文)解答本题易出现以下两种错误：一是没有想到倾斜角与斜率间的关系，
造成思路受阻，无从入手；二是对正切函数的单调性把握不准，得出错误结论．
10．(文)(2017·山东德州二模)下列说法正确的是( D )
A．命题“∃x∈R，使得 x2＋x＋1<0”的否定是：“∀x∈R，x2＋x＋1>0”
B．命题“若 x2－3x＋2＝0，则 x＝1 或 x＝2”的否命题是：“若 x2－3x＋2＝0，则 x≠1
或 x≠2”
C．直线 l1：2ax＋y＋1＝0，l2：x＋2ay＋2＝0，l1∥l2 的充要条件是 a＝1
2
D．命题“若 x＝y，则 sinx＝siny”的逆否命题是真命题
(理)(2018·广东汕头模拟)已知命题 p：关于 x 的方程 x2＋ax＋1＝0 没有实根；命题 q：∀
x>0，均有 2x－a>0.若“¬p”和“p∧q”都是假命题，则实数 a 的取值范围是( C )
A．(－∞，－2) B．(－2,1]
C．(1,2) D．(1，＋∞)
[解析] (文)命题“∃x∈R 使得 x2＋x＋1<0”的否定是“∀x∈R，x2＋x＋1≥0”．A 错；
命题“若 x 2－3x＋2＝0，则 x＝1 或 x＝2”的否命题是“若 x 2－3x＋2≠0，则 x≠1 且
x≠2”，B 错；l1∥l2 的充要条件是 a＝±1
2，C 错，故选 D．事实上，显然“若 x＝y，则 sinx＝
siny”是真命题，故其逆否命题是真命题．
(理)若方程 x 2＋ax＋1＝0 没有实根，则判别式 Δ＝a 2－4<0，即－20,2x－a>0 则 a<2x，
当 x>0 时，2x>1，则 a≤1，即 q：a≤1.
∵¬p 是假命题，∴p 是真命题．
∵p∧q 是假命题，
∴q 是假命题，即Error!得 10，得 x<－1 或 x>0，∴B＝(－∞，－1)∪(0，＋∞)，∴A－B＝[－
1,0)．
14．(2018·衡水金卷 A 信息卷(五)，14)命题 p：若 x>0，则 x>a；命题 q：若 m≤a－2，
则 ma，则 x>0，故 a≥0.因为命题 q 的逆否命题为真命题，
所以命题 q 为真命题，则 a－2<－1，解得 a<1.则实数 a 的取值范围是[0,1)．
三、解答题(本大题共 2 个小题，共 30 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分 15 分)已知集合 A＝{x|x2－6x＋8<0}，B＝{x|(x－a)(x－3a)<0}，a∈R.
(1)若 x∈A 是 x∈B 的充分条件，求实数 a 的取值范围．
(2)若 A∩B＝∅，求实数 a 的取值范围．
[解析] A＝{x|x2－6x＋8<0}＝{x|20 时，B＝{x|a0 时，B＝{x|a1(a>0，且 a≠1)的解集为{x|x<0}，命题 q：函数 f(x)＝lg(ax2－x＋a)的定义域为 R.若“p∧
q”为假命题，“p∨q”为真命题，求实数 a 的取值范围．
(理)已知命题 p：关于 x 的方程 x2－mx－2＝0 在[0,1]上有解；命题 q：f(x)＝log 2(x2－
2mx＋1
2)在[1，＋∞)上单调递增．若“¬p”为真命题，“p∨q”为真命题，求实数 m 的取值
范围．
[解析] (文)若 p 为真命题，则 01
2；
若 q 为假命题，则 a≤1
2.
又 p∧q 为假命题，p∨q 为真命题，
即 p 和 q 有且仅有一个为真命题，
当 p 真 q 假时，01.
故实数 a 的取值范围为(0，1
2]∪(1，＋∞)．
(理)对于命题 p：令 g(x)＝x2－mx－2，则 g(0)＝－2，
所以 g(1)＝－m－1≥0，解得 m≤－1，故命题 p：m≤－1.
所以¬p：m>－1.
对于命题 q：Error!解得 m<3
4.
又由题意可得 p 假 q 真，所以－1
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