专题50 排列组合解答策略-备战2018高考技巧大全之高中数学黄金解题模板

专题50 排列组合解答策略-备战2018高考技巧大全之高中数学黄金解题模板

‎【高考地位】‎ 排列组合问题是高考必考题，它联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握，实践证明，备考有效方法是题型与解法归类、识别模式、熟练运用，解答排列组合问题，首先必须认真审题，明确是属于排列问题还是组合问题，或者属于排列与组合的混合问题，其次要抓住问题的本质特征，灵活运用基本原理和公式进行分析解答。同时还要注意讲究一些策略和方法技巧，使一些看似复杂的问题迎刃而解。‎ 其考试题型主要有填空题、选择题或者解答题中的应用，其难度不会太大．其试题难度属中高档题.‎ ‎【方法点评】‎ 类型一 相邻问题捆绑法 使用情景：题目中规定相邻的几个元素并为一个组(当作一个元素)参与排列．‎ 解题模板：第一步 首先将题目中规定相邻的几个元素作为一个整体；‎ 第二步 然后运用排列组合求出其不同的排列中种数；‎ 第三步 得出结论.‎ 例1. 有两排座位，前排个座位，后排个座位，现安排人就座，规定前排中间的个座位不能坐，并且这两人不左右相邻，那么不同的坐法的种数是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【变式演练1】有6个座位连成一排，现有3人入座，则恰有两个空位相邻的不同坐法的种数是（ ）‎ A．36 B．48 ‎ C．72 D．120‎ ‎【答案】C ‎ ‎【解析】‎ 试题分析：根据题意，分两种情况讨论；①两端恰有两个空座位相邻，则必须有一人坐在空座的边上，其余两人在余下的三个座位上任意就座，此时有种坐法；②两个相邻的空座位不在两端，有三种情况，此时这两个相邻的空座位两端必须有两人就座，余下一人在余下的两个座位上任意就座，此时有种坐法．故共有种坐法． ‎ 考点：排列组合.‎ 类型二 不相邻问题插空法 使用情景：题目中规定相邻的几个元素不相邻．‎ 解题模板：第一步 可先把无位置要求的几个元素全排列；‎ 第二步 再把规定相离的几个元素插入上述几个元素间的空位和两端；‎ 第三步 得出结论.‎ 例2 七个人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同排法的种数是[ ]‎ A．1440 B．‎3600 C．4820 D．4800‎ ‎【答案】B.‎ 点评：不相邻问题最有效的方法之一就是插空法.‎ ‎【变式演练2】来自中国、英国、瑞典的乒乓球裁判各两名，执行奥运会的一号、二号和三号场地的乒乓球裁判工作，每个场地由两名来自不同国家的裁判组成，则不同的安排方案总数有 A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 ‎【答案】A ‎【解析】解：每个场地由两名来自不同国家的裁判组成，只能分为：中、英；中、瑞；英、瑞．‎ 三组中，中国、英国、瑞典的乒乓球裁判各两名，本国裁判可以互换，进场地全排，‎ 不同的安排方案总数有=2×2×2×6=48种．‎ 故选A 类型三 特殊元素“优先安排法”‎ 使用情景：对于带有特殊元素的排列组合问题 解题模板：第一步 一般应先考虑特殊元素，先满足特殊元素的要求；‎ 第二步 再考虑其它元素；‎ 第三步 得出结论.‎ 例3 . 用0，2，3，4，5，五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（ ）。‎ A． ‎24个 B。30个 C。40个 D。60个 ‎【答案】B.‎ 点评：对于带有特殊元素的排列组合问题，一般采用优先安排法.‎ ‎【变式演练3】数字“”中，各位数字相加和为，称该数为“长久四位数”，则用数字组成的无重复数字且大于的“长久四位数”有（ ）个 A． B． ‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：卡片上的四位数字之和等于，四个数字为组成的无重复数字且大于的“长久四位数”共有：，组成的无重复数字且大于的“长久四位数”共有个；组成的无重复数字且大于的“长久四位数”共有个，故共（个）.‎ 考点：排列、组合与计数原理． ‎ ‎【变式演练4】7人站成两排队列，前排3人，后排4人，现将甲、乙、丙三人加入队列，前排加一人，后排加两人，其他人保持相对位置不变，则不同的加入方法种数为（ ）‎ A．120 B．‎240 C．360 D．480‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：前排人有个空,从甲乙丙人中选人插入,有种方法,对于后排,若插入的人不相邻有种,若相邻有种,故共有种,选C．‎ 考点：1．排列组合问题；2．相邻问题和不相邻问题． ‎ 类型四 总体淘汰法 使用情景：对于含有否定字眼的问题 解题模板：第一步 首先计算总体的种数；‎ 第二步 从总体中把不符合要求的除去，此时需注意不能多减，也不能少减；‎ 第三步 得出结论.‎ 例4 . 从4台甲型和5台乙型电视机中任取出3台，其中至少要甲型和乙型电视机各一台，则不同取法共有（ ）‎ A．140 B．80种 C．70种 D．35种 ‎【答案】C.‎ 点评：关于“至少”类型组合问题，用间接法较方便．‎ ‎【变式演练5】春天来了，某学校组织学生外出踏青，4位男生和3为女生站成一排合影留念，男生甲和乙要求站在一起，3位女生不全站在一起，则不同的战法种数是（ ）‎ A. 964 B. ‎1080 C. 1152 D. 1296‎ ‎【答案】C ‎【解析】男生甲和乙要求站在一起共有种，其中男生甲和乙要求站在一起且女生全站在一起有种，∴符合题意的站法共有种.‎ ‎【变式演练6】某学校需从3名男生和2名女生中选出4人，分派到甲、乙、丙三地 参加义工活动，其中甲地需要选派2人且至少有1名女生，乙地和丙地各需要选派1人，则不同的选派方法的种数是 （ ）‎ A. 18 B. ‎24 C. 36 D. 42‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题设可分两类：一是甲地只含有一名女生，先考虑甲地有种情形，后考虑乙、丙两地，有种情形，共有种情形；二是甲地只含有两名女生，则甲地有种情形，乙、丙两地，有种情形，共有种情形；由分类计数原理可得种情形，应选答案D。‎ ‎【高考再现】‎ ‎1. 【2017课标II，理6】安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（ ）‎ A．12种 B．18种 C．24种 D．36种 ‎【答案】D ‎ 2.【2017浙江，16】从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有______中不同的选法．（用数字作答）‎ ‎【答案】660‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由题意可得：总的选择方法为种方法，其中不满足题意的选法有种方法，则满足题意的选法有：种．‎ ‎【考点】排列组合的应用 ‎【名师点睛】本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用，有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件．解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率．在某些特定问题上，也可充分考虑“正难则反”的思维方式．‎ ‎3.【2017天津，理14】用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有___________个.（用数字作答）‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】 ‎ ‎【考点】计数原理、排列、组合 ‎【名师点睛】计数原理包含分类计数原理（加法）和分步计数原理（乘法），组成四位数至多有一个数字是偶数，包括四位数字有一个是偶数和四位数字全部是奇数两类，利用加法原理计数.‎ ‎4.【2016年高考四川理数】用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为 ‎（A）24 （B）48 （C）60 （D）72‎ ‎【答案】D 考点：排列、组合 ‎【名师点睛】利用排列组合计数时，关键是正确进行分类和分步，分类时要注意不重不漏，分步时要注意整个事件的完成步骤．在本题中，个位是特殊位置，第一步应先安排这个位置，第二步再安排其他四个位置．.‎ ‎5.【2016高考新课标3理数】定义“规范01数列”如下：共有项，其中项为0，项为 ‎1，且对任意，中0的个数不少于1的个数.若 ‎，则不同的“规范01数列”共有 ‎（ ）‎ ‎（A）18个 （B）16个 （C）14个 （D）12个 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：由题意，得必有，，则具体的排法列表如下：‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎1【来.源：全,品…中&高*考*网】‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎0‎ 考点：计数原理的应用．‎ ‎【方法点拨】求解计数问题时，如果遇到情况较为复杂，即分类较多，标准也较多，同时所求计数的结果不太大时，往往利用表格法、树枝法将其所有可能一一列举出来，常常会达到岀奇制胜的效果．‎ ‎6.【2015高考四川，理6】用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有（ ）‎ ‎（A）144个 （B）120个 （C）96个 （D）72个 ‎【答案】B ‎【考点定位】排列组合.‎ ‎【名师点睛】利用排列组合计数时，关键是正确进行分类和分步，分类时要注意不重不漏.在本题中，万位与个位是两个特殊位置，应根据这两个位置的限制条件来进行分类.‎ ‎7、【2015高考广东，理12】某高三毕业班有人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了 条毕业留言．（用数字作答）‎ ‎【答案】．‎ ‎【解析】依题两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从人中任选两人的排列数，所以全班共写了条毕业留言，故应填入．‎ ‎【考点定位】排列问题．‎ ‎【名师点睛】本题主要考查排列问题，属于中档题，解答此题关键在于认清人两两彼此给对方仅写一条毕业留言是个排列问题．‎ ‎8.【2015高考上海，理8】在报名的名男教师和名女教师中，选取人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为 （结果用数值表示）．‎ ‎【答案】‎ ‎【反馈练习】‎ ‎1. 【2018四川德阳三校联考】从5名学生中选出4名分别参加数学，物理，化学，生物四科竞赛，其中甲不能参加生物竞赛，则不同的参赛方案种数为 A. 48 B. ‎72 C. 90 D. 96‎ ‎【答案】D ‎【解析】因甲不参加生物竞赛，则安排甲参加另外3场比赛或甲学生不参加任何比赛 ‎①当甲参加另外3场比赛时，共有•=72种选择方案；②当甲学生不参加任何比赛时，共有=24种选择方案．综上所述，所有参赛方案有72+24=96种 故答案为：96‎ ‎2. 【2018黑龙江齐齐哈尔一模】由1、2、3、4、5、6、7七个数字组成七位数，要求没有重复数字且6、7均不得排在首位与个位，1与6必须相邻，则这样的七位数的个数是（ ）‎ A. 300 B. ‎338 C. 600 D. 768‎ ‎【答案】D ‎【解析】当1在首位时，6只有一种排法，7有四种排法，余下四数共有中排法，共有种；‎ 当1在个位时，同样共有96种；‎ 当1即不再首位也不在个位时，先把1和6排好，有种排法，再排7有3种排法，余下四数共有中排法，共有种 综上：共有=768‎ 故选：D ‎3. 【2018江西南昌摸底】某校毕业典礼由6个节目组成，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前三位，且节目丙、丁必须排在一起，则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有 A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 ‎【答案】A ‎ 4. 【2018广东德庆香山一模】从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有( )种.‎ A. 36 B. ‎30 C. 12 D. 6‎ ‎【答案】A ‎【解析】从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，‎ 其中甲、乙二人不能担任文娱委员，因为先从其余3人中选出1人担任文艺委员，‎ 再从4人中选2人担任学习委员和体育委员，所以不同的选法共有种.‎ 本题选择A选项.‎ ‎5. 【2018广东德庆香山一模】在高校自主招生中，某学校获得5个推荐名额，其中中山大学2名，暨南大学2名，华南师范大学1名，并且暨南大学和中山大学都要求必须有男生参加，学校通过选拔定下3男2女共5个推荐对象，则不同的推荐方法共有（ ）‎ A. 36 B. ‎24 C. 22 D. 20‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意可分成两类:‎ 第一类是将3个男生每个大学各推荐1人,共有种推荐方法;‎ 第二类是将3个男生分成两组分别推荐给暨南大学和中山大学,其余2个女生从剩下的大学中选,共有种推荐方法,‎ 故共有12+12=24种推荐方法.‎ 本题选择B选项.‎ ‎6. 【2018浙江嘉兴第一中学模拟】某校的A、B、C、D四位同学准备从三门选修课中各选一门，若要求每门选修课至少有一人选修，且A,B不选修同一门课，则不同的选法有（ ）‎ A. 36种 B. 72种 C. 30种 D. 66种 ‎【答案】C ‎【解析】先从4人中选出2人作为1个整体有种选法，减去在同一组还有5种选法，再选3门课程有种选法，利用分步计数原理有种不同选法.选C.‎ ‎7.把3盆不同的兰花和4盆不同的玫瑰花摆放在下图图案中的1，2，3，4，5，6，7所示的位置上，其中三盆兰花不能放在一条直线上，则不同的摆放方法为（ ）‎ ‎ ‎ A．2680种 B．4320种 ‎ C．4920种 D．5140种 ‎【答案】B 考点：排列、组合及简单计数原理.‎ ‎8. 生产过程中有4道工序，每道工序需要安排一人照看.现从甲、乙、丙等6名工人中安排4人分别照看一道工序，第一道工序只能从甲、乙两名工人中安排一人，第四道工序只能从甲、丙两名工人中安排一人，则不同的安排方案共有 （ ）‎ A. 24种 B. 36种 C. 48种 D. 72种 ‎【答案】B ‎【解析】第一道工序安排甲则第四道工序安排丙，从剩下4选两人照看剩下两道工序有 方案 第一道工序安排乙则第四道工序有两种方案，再从剩下4选两人照看剩下两道工序有 方案，因此共有，选B.‎ ‎9.意大利米兰世愽会期间，某国准备展出件艺术作品，其中不同书法作品件、不同绘画作品件、标志性建筑设计件，在展台上将这件作品排成一排，要求件书法作品必须相邻，件绘画作品不能相邻，则该国展出这件作品的不同方案有（ ）‎ A.种 B.种 ‎ C.种 D.种 ‎【答案】D 考点：排列与组合．‎ ‎10．在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A只能出现在第一或最后一步，程序B和C在实施时必须相邻，问实验顺序的编排方法共有 （ ）‎ A. 34种 B. 48种 C. 96种 D. 144种 ‎【答案】C ‎【解析】先安排A两种方法，再安排BC，有种方法，剩下全排列，所以共有 ，选C.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎