2017-2018学年安徽省六安市第一中学高二上学期第二次阶段性考试数学（文）试题（解析版）
2017-2018学年安徽省六安市第一中学高二上学期第二次阶段性考试数学（文）试题（解析版）
一、单选题
1．若a，b，c∈R，a>b，则下列不等式成立的是( )
A. B. C. D. a|c|>b|c|
【答案】C
【解析】A．取a=1，b=﹣2，则不成立；
B．取a=1，b=﹣2，则a2＞b2不成立；
C．∵a＞b，c2+1＞0，∴，成立．
D．取c=0时，a|c|＞b|c|不成立．．
故选：C．
2．已知“， ”的否定是( )
A. ， ， B. ， ，
C. ， ， D. ， ，
【答案】C
【解析】特称命题的否定是全称命题，则“， ”的否定是， .
本题选择C选项.
3．不等式的解集为（ ）
A. [-1,+ B. [-1,0) C. ( -,-1] D. (-,-1] (0 ,+
【答案】B
【解析】利用排除法：
当时， ，不合题意，排除AD选项，
当时， ，不合题意，排除C选项，
本题选择B选项.
4．下列说法正确的是( )
A. ，yR，若x+y0，则x且y
B. aR，“”是“a>1”的必要不充分条件
C. 命题“aR，使得”的否定是“R，都有”
D. “若，则a
1则 的取值范围是（ ）
A. (-1,- ] B. (-2, -] C. (-2, -] D. (-2, -)
【答案】B
【解析】由题意结合二次方程根的分布理论，满足题意时应有：
，绘制不等式表示的平面区域如图所示，其中，
目标函数的几何意义为可行域内的点与坐标原点之间连线的斜率，
且，注意到可行域不包括边界区域，结合目标函数的几何意义可得：
的取值范围是.
本题选择B选项.
点睛：(1)本题是线性规划的综合应用，考查的是非线性目标函数的最值的求法．
(2)解决这类问题的关键是利用数形结合的思想方法，给目标函数赋于一定的几何意义．
12．若关于x的不等式至少有一个负数解，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵关于x的不等式3−|x−a|>x2至少有一个负数解，
∴关于x的不等式3−x2>|x−a|至少有一个负数解，
作函数y=3−x2与y=|x−a|的图象如下，
结合图象可知，
关于x的不等式3−x2>|x−a|至少有一个负数解可化为：
在y轴左侧,函数y=|x−a|的图象有在函数y=3−x2的图象的下方的部分，
当y=|x−a|过点(0,3)，即a=3时，是临界值，
当y=|x−a|在y轴左侧与y=3−x2的图象相切，
即y′=−2x=1,即过点,即时，是临界值，
结合图象可知，实数a的取值范围是.
本题选择D选项.
二、填空题
13．命题：“若ab=0，则a=0或b=0”的逆否命题是 ______.
【答案】若a≠0且b≠0，则ab≠0
【解析】“若ab=0，则a=0或b=0”的逆否命题是：若a≠0且b≠0，则ab≠0
14．若方程表示焦点在y轴上的椭圆，则k的取值范围是 ______.
【答案】
【解析】整理所给的方程即： ，
方程表示焦点在y轴上的椭圆，则： ，
求解关于实数的不等式可得： .
15．设命题p：“已知函数对，f(x)恒成立”，命题q：“关于x的不等式有实数解”，若-p且q为真命题，则实数m的取值范围为 ______.
【答案】(-3,-2] [2,3)
【解析】若命题真： ，解得；
若命题真： ，解得；
∵且为真，则假真，
∴，解得，或；
∴实数m的取值范围为.
16．若两个正实数x,y满足，且恒成立，则实数m的最大值是 ______.
【答案】8
【解析】由题意可得：
当且仅当时等号成立。
要使恒成立,则16⩾m2−6m，解得−2⩽m⩽8，
则实数m的最大值是8.
故答案为：8.
点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．对于公式，要弄清它们的作用、使用条件及内在联系，两个公式也体现了ab和a＋b的转化关系．
三、解答题
17．分别求适合下列条件的椭圆的标准方程.
（1）焦点在坐标轴上，且经过点A (,-2),B(-2,1)；
（2）与椭圆有相同焦点且经过点M(,1).
【答案】(1) ;(2) .
【解析】试题分析：
(1)由题意利用待定系数法设所求椭圆的方程为mx2+ny2=1，结合题意列出方程组可得椭圆方程为： ；
(2)由题意可得：椭圆的焦点为，设椭圆C的方程为: ，利用待定系数法可得椭圆的标准方程为.
试题解析：
（1）设所求椭圆的方程为mx2+ny2=1（m＞0，n＞0，且m≠n
），根据题意可得：
，
解得，
∴所求椭圆的标准方程为+=1.
（2）由椭圆,可以知道焦点在x轴上,
,,,则
椭圆C的两焦点分别为:和,
设椭圆C的方程为:,
把代入方程,得,
即,
或(舍),
椭圆C的方程为:.
点睛：求椭圆的标准方程有两种方法
①定义法：根据椭圆的定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程．
②待定系数法：若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合已知条件求出a，b；若焦点位置不明确，则需要分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)．
18．已知命题p：实数x满足，其中；和命题q：实数x满足.
(1)若a=1且p∧q为真，求实数x的取值范围；
(2)若-p是-q的充分不必要条件，求实数a的取值范围.
【答案】（1）2；（2）.
【解析】试题分析：
(1)由题意求解对数不等式和二次不等式可得： ,
；结合题意可得2
(2)由题意可得, ，且q是p的充分不必要条件，利用子集关系得到关于实数a的不等式组，解不等式组可得实数a的取值范围是 .
试题解析：
（1）当时，命题即： ，求解一元二次不等式可得： ,
命题即： ，求对数不等式可得；
∵p∧q为真.∴2
（2）,
∵-p是-q的充分不必要条件，
∴q是p的充分不必要条件，
∴（2,3]⊊ (a,3a)
∴ 即 .
19．在△ABC中，内角A,B,C所对应的边分别为a,b,c，且.
(1)求角B的大小；
(2)若b=，求△ABC的面积的最大值.
【答案】(1) ;（2）
【解析】试题分析：
(1)利用正弦定理边化角结合三角函数的性质可得，则 .
(2)利用(1)的结论和余弦定理、均值不等式可得 ，结合面积公式可知的最大值为.
试题解析：
(1)∵,
由正弦定理得：
∵,
∴,
∴
∴ .
（2）由余弦定理得：
∵,
∴ 即 (当且仅当时取等号)
∴
的最大值为.
20．已知函数f(x)= .
(1)当a>0时，解关于x的不等式f(x)<0；
(2)若当a>0时，f(x)<0在x [1,2]上恒成立，求实数a的取值范围.
【答案】（1）见解析；（2）或.
【解析】试题分析：
(1)分解因式，原不等式即，分类讨论可得：
①当时，解集为{x| }；
②当时，解集为；
③当时，解集为{ x| }.
(2)结合题意分类讨论， ， 三种情况可得实数a的取值范围是或
试题解析：
（1）f(x)<0即即
①当时， ，不等式的解集为{x| }；
②当时， ，不等式的解集为；
③当时， ，不等式的解集为{ x| }.
（2）①当时，[1,2]⊆ 即；
②当时，f(x) 在[1,2]上恒成立，舍去；
③当时，[1,2]⊆ 即，
综上： 或
21．设公差大于0的等差数列{}的前n项和为.已知，且， ，
成等比数列.记数列的前n项和为.
(1)求；
(2)若对于任意的n，k恒成立，求实数k的取值范围.
【答案】（1）；(2) .
【解析】试题分析：
(1)由题意可得数列的通项公式为，裂项求和可得
(2)结合(1)的结论有，利用均值不等式的结论可得，则实数k的取值范围是.
试题解析：
(1)设公差为d，即即①
∵,,成等比数列， ∴即即3d=2②
由①②得,d=2
∴，n
∴
∴
(2)k即
∵，当且仅当n=3时取等号
∴，当且仅当n=3时取等号
∴.
点睛：
使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．
22．某厂家举行大型的促销活动，经测算某产品当促销费用为x万元时，销售量t万件满足t=5-（其中0xa，a为正常数），现假定生产量与销售量相等，已知生产该产品t万件还需投入成本(10+2t)万元（不含促销费用），产品的销售价格定为5+万元/万件.
(1)将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；
(2)促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大．
【答案】（1）y=25-(+x)，（ ， a为正常数）;（2）当a≥3时，促销费用投入3万元时，厂家的利润最大；当O
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