数学文卷·2018届山东省济南一中高三1月月考(2018

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数学文卷·2018届山东省济南一中高三1月月考(2018

济南一中高三年级2018新年学业检测 数学试题(文科)‎ 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分150分.考试时间为120分钟,‎ 注意事项:‎ 1. 选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚.‎ 2. 请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效.‎ 第I卷(选择题 共60分)‎ 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎(1) 已知集合,,则=(  )‎ A. B. C. D. ‎ ‎(2) 在复平面内,复数 对应的点位于(  )‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎(3) 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,初行健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还.”其大意为:“有一个人走了378里路,第一天健步行走,从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地.”问此人第4天和第5天共走了(  )‎ A.60里 B.48里 C.36里 D.24里 ‎(4) 从数字,,,,中任取个,组成一个没有重复数字的两位数,则这个两位数大于的概率是(  )‎ A B C D ‎ ‎(5) 执行如图所示的程序框图,如果输入,则输出的值为 开始 结束 输入x 是 否 输出 A 6 B 8 C 10 D 12‎ ‎ (6) 若变量x,y满足则x2+y2的最大值是(  )‎ A 4 B 9 C 10 D 12‎ ‎ (7) 直线与圆相切,则( )‎ A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 ‎(8) 已知函数,则下列结论中正确的是 A. 函数的最小正周期为 ‎ B.函数的图象关于点对称 C.由函数的图象向右平移个单位长度可以得到函数的图象 ‎ D. 函数在区间上单调递增 ‎(9) 函数,则函数的导数的图象是(  )‎ A B. ‎ C . D.‎ ‎(10) 如图, 网格纸上的小正方形的边长为, 粗实线画出的是某几何体的三视图, 则该几何体的体积是 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎(11) 已知球的半径为,三点在球的球面上,球心到平面的距离为 ‎,,, 则球的表面积为 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎(12) 设函数的定义域为R , , 当时,, 则函数在区间上的所有零点的和为 A. B. C. D . ‎ 第Ⅱ卷(非选择题 共90分)‎ 二、填空题:本大题共5个小题,每小题5分,共20分.‎ ‎(13) 函数的极小值为 .‎ ‎(14) 设是公差为正数的等差数列,若,,____.‎ ‎(15) 已知平面向量与的夹角为,,,则 .‎ ‎(16) 如果,,…,是抛物线:上的点,它们的横坐标依次为,,…,,是抛物线的焦点,若,则_________. ‎ 三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.‎ ‎ (17)(本小题满分分)‎ ‎ 在△中,分别为内角的对边,‎ ‎.‎ ‎ (Ⅰ) 求的大小;‎ ‎ (Ⅱ) 若, , 求△的面积.‎ ‎(18)(本小题满分分)‎ 韩国民意调查机构“盖洛普韩国”2016年11月公布的民调结果显示,受“闺蜜门”时间影响,韩国总统朴槿惠的民意支持率持续下跌,在所调查的1000个对象中,年龄在[20,30)的群体有200人,支持率为0%,年龄在[30,40)和[40,50)的群体中,支持率均为3%;年龄在[50,60)和[60,70)的群体中,支持率分别为6%和13%,若在调查的对象中,除[20,30)的群体外,其余各年龄层的人数分布情况如频率分布直方图所示,其中最后三组的频数构成公差为100的等差数列.‎ ‎(1)依频率分布直方图求出图中各年龄层的人数 ‎(2)请依上述支持率完成下表:‎ ‎ 年龄分布 是否支持 ‎[30,40)和[40,50)‎ ‎[50,60)和[60,70)‎ ‎ 合计 ‎ 支持 ‎ 不支持 ‎ 合计 根据表中的数据,能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为年龄与支持率有关?‎ 附表:‎ ‎ P(K2≥k)‎ ‎ 0.15‎ ‎0.10 ‎ ‎ 0.05‎ ‎ 0.025‎ ‎0.010 ‎ ‎0.005 ‎ ‎0.001 ‎ ‎ k ‎ 2.072‎ ‎2.076 ‎ ‎3.841 ‎ ‎5.024 ‎ ‎6.635 ‎ ‎7.879 ‎ ‎10.828 ‎ ‎(参考公式:,其中 参考数据:125×33=15×275,125×97=25×485)‎ ‎ ‎ ‎(19)(本小题满分分)‎ ‎ 如图,三棱锥P-ABC中,平面PAC平面ABC,ABC=,点D、E在线段AC上,且AD=DE=EC=2,PD=PC=4,点F在线段AB上,且EF//BC.‎ ‎(Ⅰ)证明:AB平面PFE. ‎ ‎(Ⅱ)若四棱锥P-DFBC的体积为7,求线段BC的长.‎ ‎(20)(本小题满分分)‎ 已知椭圆经过点M(﹣2,﹣1),离心率为.过点M作倾斜角互补的两条直线分别与椭圆C交于异于M的另外两点P、Q.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆C的方程;‎ ‎(Ⅱ)试判断直线PQ的斜率是否为定值,证明你的结论.‎ ‎(21) (本小题满分12分)‎ 已知函数.‎ ‎(Ⅰ)当时,求曲线在点处的切线方程;‎ ‎(Ⅱ)当时,证明:.‎ ‎ ‎ ‎(22)(本小题满分10分)选修4-5: 不等式选讲 已知函数.‎ ‎(Ⅰ)当时,求函数的定义域;‎ ‎(Ⅱ)若关于的不等式≥的解集是R,求实数的最大值.‎ 月考答案 ‎1.A 2.B 3.C 4.C 5.C 6.C 7.D 8.C 9.A 10.A 11.D 12.B ‎13. -2 14. 105 15. 2 16. 20‎ ‎17. (Ⅰ)解: ∵,‎ 由正弦定理得,, ……………………………………1分 化简得,. ……………………………………………………2分 ‎∴. …………………………………………………4分 ‎∵,‎ ‎∴. ……………………………………………………5分 ‎(Ⅱ)解:∵, ∴. …………………………………6分 ‎ ∴. …………8分 ‎ 由正弦定理得,, ……………………………………………………9分 ‎ ∵,, ‎ ‎ ∴. ………………………………………………………10分 ‎ ∴△的面积. ………12分 ‎18. 解:(1)设年龄在[50,60)的人数为x,则最后三组人数之和为3x,‎ 所以四组总人数为4x=800,得x=200,‎ 则频率分布直方图中,年龄在[30,40)的群体有200人,‎ ‎[40,50)的群体有300人,[50,60)的群体有200人,[60,70)的群体有100人;‎ ‎(2)由题意年龄在[30,40)和[40,50)的支持人数为6+9=15,[50,60)和[60,70)的人数为12+13=25.‎ 填表如下 ‎ 年龄分布 是否支持 ‎[30,40)和[40,50)‎ ‎[50,60)和[60,70)‎ ‎ 合计 ‎ 支持 ‎15‎ ‎25‎ ‎40‎ ‎ 不支持 ‎485‎ ‎275‎ ‎760‎ ‎ 合计 ‎500‎ ‎300‎ ‎800‎ 所以K2=≈11.228>10.828,‎ ‎∴在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为年龄与支持率有关.‎ ‎ ‎ ‎19. (Ⅰ)如图,由DE=EC,PD=PC知,E为等腰△PDC中DC边的中点,故PE⊥AC,‎ 又平面PAC⊥平面ABC,平面PAC∩平面ABC=AC,PE⊂平面PAC,PE⊥AC,‎ 所以PE⊥平面ABC,从而PE⊥AB.‎ 因为∠ABC=,EF∥BC,‎ 故AB⊥EF,‎ 从而AB与平面PEF内两条相交直线PE,EF都垂直,‎ 所以AB⊥平面PEF.‎ ‎(Ⅱ)设BC=x,则在直角△ABC中,AB==,‎ 从而S△ABC=AB•BC=x,‎ 由EF∥BC知,得△AFE∽△ABC,‎ 故=()2=,即S△AFE=S△ABC,‎ 由AD=AE,S△AFD==S△ABC=S△ABC=x,‎ 从而四边形DFBC的面积为:SDFBC=S△ABC-SAFD=x-x=x.‎ 由(Ⅰ)知,PE⊥平面ABC,所以PE为四棱锥P-DFBC的高.‎ 在直角△PEC中,PE===2,‎ 故体积VP-DFBC=SDFBC•PE=x=7,‎ 故得x4-36x2+243=0,解得x2=9或x2=27,由于x>0,可得x=3或x=3.‎ 所以:BC=3或BC=3.‎ ‎20. (Ⅰ)解:由题设,∵椭圆经过点M(﹣2,﹣1),离心率为.‎ ‎∴,①且=,②‎ 由①、②解得a2=6,b2=3,‎ ‎∴椭圆C的方程为.…‎ ‎(Ⅱ)证明:记P(x1,y1)、Q(x2,y2).‎ 设直线MP的方程为y+1=k(x+2),与椭圆C的方程联立,得(1+2k2)x2+(8k2﹣4k)x+8k2﹣8k﹣4=0,‎ ‎∵﹣2,x1是该方程的两根,∴﹣2x1=,即x1=.‎ 设直线MQ的方程为y+1=﹣k(x+2),同理得x2=.…‎ 因y1+1=k(x1+2),y2+1=﹣k(x2+2),‎ 故kPQ====1,‎ 因此直线PQ的斜率为定值.…‎ ‎21. (21)(Ⅰ)解:当时,,‎ 所以.………………………………………………………………1分 所以,. …………………………………………………2分 所以曲线在点处的切线方程为.‎ 即.………………………………………………………………………3分 ‎(Ⅱ)证法一:当时,.‎ 要证明,只需证明.……………………………………4分 以下给出三种思路证明.‎ 思路1:设,则.‎ 设,则,‎ 所以函数在上单调递增.…………………………6分 因为,,‎ 所以函数在上有唯一零点,且.…………8分 因为时,所以,即.………………………………9分 当时,;当时,.‎ 所以当时,取得最小值.……………………………………10分 故.‎ 综上可知,当时,.………………………………………………12分 思路2:先证明.………………………………………………5分 设,则.‎ 因为当时,,当时,,‎ 所以当时,函数单调递减,当时,函数单调递增.‎ 所以.‎ 所以(当且仅当时取等号).………………………………………7分 所以要证明, ‎ 只需证明.……………………………………………………8分 下面证明.‎ 设,则.‎ 当时,,当时,,‎ 所以当时,函数单调递减,当时,函数单调递增.‎ 所以.‎ 所以(当且仅当时取等号).………………………………10分 由于取等号的条件不同,‎ 所以.‎ 综上可知,当时,.………………………………………………12分 ‎(若考生先放缩,或、同时放缩,请参考此思路给分!)‎ 思路3:先证明.‎ 因为曲线与曲线的图像关于直线对称,‎ 设直线与曲线,分别交于点,,点,到直线 的距离分别为,,‎ 则.‎ 其中,.‎ ‎①设,则.‎ 因为,所以.‎ 所以在上单调递增,则.‎ 所以.‎ ‎②设,则.‎ 因为当时,;当时,,‎ 所以当时,单调递减;当时,单调递增.‎ 所以.‎ 所以.‎ 所以.‎ 综上可知,当时,.………………………………………………12分 证法二:因为,‎ 要证明,只需证明.…………………………………4分 以下给出两种思路证明.‎ 思路1:设,则.‎ 设,则.‎ 所以函数在上单调递增.……………………6分 因为,,‎ 所以函数在上有唯一零点,且.……8分 因为,所以,即.……………………9分 当时,;当时,.‎ 所以当时,取得最小值.……………………………………10分 故.‎ 综上可知,当时,.………………………………………………12分 思路2:先证明,且.……………………5分 设,则.‎ 因为当时,;当时,,‎ 所以在上单调递减,在上单调递增.‎ 所以当时,取得最小值.‎ 所以,即(当且仅当时取等号).……………7分 由,得(当且仅当时取等号).………………8分 所以(当且仅当时取等号).……………………………9分 再证明.‎ 因为,,且与不同时取等号,‎ 所以 ‎.‎ 综上可知,当时,.………………………………………………12分 ‎24. (Ⅰ)解:由题设知:, …………………………………1分 ‎ ① 当时,得,解得. ………………………………2分 ‎ ② 当时,得,无解. …………………………………3分 ‎③ 当时,得, 解得. ……………………………4分 ‎∴函数的定义域为. …………………………………5分 ‎(Ⅱ)解:不等式,即, …………………………………6分 ‎∵R时,恒有,…………………………8分 又不等式的解集是R, ‎ ‎∴,即. ……………………………………………………………9分 ‎∴的最大值为. …………………………………………………………10分
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