高中数学必修2同步练习：平面与平面平行的性质

高中数学必修2同步练习：平面与平面平行的性质

必修二 2.2.4平面与平面平行的性质 一、选择题 ‎1、已知平面α∥平面β，P是α，β外一点，过点P的直线M与α，β分别交于点A，C，过点P的直线n与α，β分别交于点B，D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，则BD的长为(　　)‎ A．16 B．24或 C．14 D．20‎ ‎2、设α∥β，A∈α，B∈β，C是AB的中点，当A、B分别在平面α、β内运动时，那么所有的动点C(　　)‎ A．不共面 B．当且仅当A、B分别在两条直线上移动时才共面 C．当且仅当A、B分别在两条给定的异面直线上移动时才共面 D．不论A、B如何移动，都共面 ‎3、α，β，γ为三个不重合的平面，a，b，c为三条不同的直线，则有下列命题，不正确的是(　　)‎ ‎①⇒a∥b; ②⇒a∥b；‎ ‎③⇒α∥β； ④⇒α∥β；‎ ‎⑤⇒α∥a; ⑥⇒a∥α．‎ A．④⑥ B．②③⑥‎ C．②③⑤⑥ D．②③‎ ‎4、如图所示，P是三角形ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段PA、PB、PC于A′、B′、C′，若PA′∶AA′＝2∶3，则S△A′B′C′∶S△ABC等于(　　)‎ A．2∶25 B．4∶25‎ C．2∶5 D．4∶5‎ ‎5、设平面α∥平面β，直线a⊂α，点B∈β，则在β内过点B的所有直线中(　　)‎ A．不一定存在与a平行的直线 B．只有两条与a平行的直线 C．存在无数条与a平行的直线 D．存在惟一一条与a平行的直线 ‎6、下列说法正确的是(　　)‎ A．如果两个平面有三个公共点，那么它们重合 B．过两条异面直线中的一条可以作无数个平面与另一条直线平行 C．在两个平行平面中，一个平面内的任何直线都与另一个平面平行 D．如果两个平面平行，那么分别在两个平面中的两条直线平行 二、填空题 ‎7、已知平面α∥β∥γ，两条直线l、M分别与平面α、β、γ相交于点A、B、C与D、E、F．已知AB＝6，＝，则AC＝________．‎ ‎8、过正方体ABCD－A1B‎1C1D1的三个顶点A1、C1、B的平面与底面ABCD所在平面的交线为l，则l与A‎1C1的位置关系是________．‎ ‎9、分别在两个平行平面的两个三角形，‎ ‎(1)若对应顶点的连线共点，那么这两个三角形具有______关系；‎ ‎(2)若对应顶点的连线互相平行，那么这两个三角形具有________关系．‎ 三、解答题 ‎10、如图所示，在棱长为2的正方体ABCD－A1B‎1C1D1中，A1B1的中点是P，过点A1作与截面PBC1平行的截面，能否确定截面的形状？如果能，求出截面的面积．‎ ‎11、如图所示，在底面是平行四边形的四棱锥P－ABCD中，点E在PD上，且PE∶ED＝2∶1，在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？并证明你的结论．‎ ‎12、如图，在三棱柱ABC－A1B‎1C1中，M是A‎1C1的中点，平面AB1M∥平面BC1N，AC∩平面BC1N＝N．‎ 求证：N为AC的中点．‎ ‎13、如图所示，已知正方体ABCD－A1B‎1C1D1中，面对角线AB1、BC1上分别有两点E、F，且B1E＝C‎1F．求证：EF∥平面ABCD．‎ 以下是答案 一、选择题 ‎1、B　[当P点在平面α和平面β之间时，由三角形相似可求得BD＝24，当平面α和平面β在点P同侧时可求得BD＝．]‎ ‎2、D　[‎ 如图所示，A′、B′分别是A、B两点在α、β上运动后的两点，此时AB中点变成A′B′中点C′，连接A′B，取A′B中点E．连接CE、C′E、AA′、BB′、CC′．‎ 则CE∥AA′，∴CE∥α．‎ C′E∥BB′，∴C′E∥β．‎ 又∵α∥β，∴C′E∥α．‎ ‎∵C′E∩CE＝E．‎ ‎∴平面CC′E∥平面α．‎ ‎∴CC′∥α．所以不论A、B如何移动，所有的动点C都在过C点且与α、β平行的平面上．]‎ ‎3、C　[由公理4及平行平面的传递性知①④正确．举反例知②③⑤⑥不正确．②中a，b可以相交，还可以异面；③中α，β可以相交；⑤中a可以在α内；⑥中a可以在α内．]‎ ‎4、B　[面α∥面ABC，面PAB与它们的交线分别为A′B′，AB，∴AB∥A′B′，‎ 同理B′C′∥BC，‎ 易得△ABC∽△A′B′C′，‎ S△A′B′C′∶S△ABC＝()2＝()2＝．]‎ ‎5、D　[直线a与B可确定一个平面γ，‎ ‎∵B∈β∩γ，∴β与γ有一条公共直线b．‎ 由线面平行的性质定理知b∥a，所以存在性成立．‎ 因为过点B有且只有一条直线与已知直线a平行，‎ 所以b惟一．]‎ ‎6、C　[由两平面平行的定义知：一平面内的任何直线与另一平面均无交点，所以选C．]‎ 二、填空题 ‎7、15　[由题可知＝⇒AC＝·AB＝×6＝15．]‎ ‎8、平行　[由面面平行的性质可知第三平面与两平行平面的交线是平行的．]‎ ‎9、(1)相似　(2)全等 三、解答题 ‎10、解　能．取AB，C1D1的中点M，N，连接A1M，MC，CN，NA1，‎ ‎∵A1N∥PC1且A1N＝PC1，‎ PC1∥MC，PC1＝MC，‎ ‎∴四边形A1MCN是平行四边形，‎ 又∵A1N∥PC1，A1M∥BP，‎ A1N∩A1M＝A1，C1P∩PB＝P，‎ ‎∴平面A1MCN∥平面PBC1，‎ 因此，过点A1与截面PBC1平行的截面是平行四边形．‎ 连接MN，作A1H⊥MN于点H，‎ ‎∵A1M＝A1N＝，MN＝2，‎ ‎∴A1H＝．‎ ‎∴S△A1MN＝×2×＝．‎ 故S▱A1MCN＝2S△A1MN＝2．‎ ‎11、解　‎ 当F是棱PC的中点时，BF∥平面AEC，证明如下：‎ 取PE的中点M，连接FM，则FM∥CE， ①‎ 由EM＝PE＝ED，知E是MD的中点，设BD∩AC＝O，则O为BD的中点，连接OE，则BM∥OE， ②‎ 由①②可知，平面BFM∥平面AEC，又BF⊂平面BFM，‎ ‎∴BF∥平面AEC．‎ ‎12、证明　∵平面AB1M∥平面BC1N，‎ 平面ACC1A1∩平面AB1M＝AM，‎ 平面BC1N∩平面ACC1A1＝C1N，‎ ‎∴C1N∥AM，又AC∥A1C1，‎ ‎∴四边形ANC1M为平行四边形，‎ ‎∴AN綊C1M＝A1C1＝AC，‎ ‎∴N为AC的中点．‎ ‎13、证明　方法一　过E、F分别作AB、BC的垂线，EM、FN分别交AB、BC于M、N，连接MN．‎ ‎∵BB1⊥平面ABCD，‎ ‎∴BB1⊥AB，BB1⊥BC，‎ ‎∴EM∥BB1，FN∥BB1，‎ ‎∴EM∥FN，‎ ‎∵AB1＝BC1，B1E＝C1F，‎ ‎∴AE＝BF，又∠B1AB＝∠C1BC＝45°，‎ ‎∴Rt△AME≌Rt△BNF，‎ ‎∴EM＝FN．‎ ‎∴四边形MNFE是平行四边形，‎ ‎∴EF∥MN．‎ 又MN⊂平面ABCD，EF⊄平面ABCD，‎ ‎∴EF∥平面ABCD．‎ 方法二　‎ 过E作EG∥AB交BB1于G，连接GF，‎ ‎∴＝，B1E＝C1F，B1A＝C1B，∴＝，‎ ‎∴FG∥B1C1∥BC．‎ 又∵EG∩FG＝G，AB∩BC＝B，‎ ‎∴平面EFG∥平面ABCD．‎ 又EF⊂平面EFG，‎ ‎∴EF∥平面ABCD．‎