黑龙江省双鸭山市第一中学2020届高三上学期12月月考数学（文）试题

黑龙江省双鸭山市第一中学2020届高三上学期12月月考数学（文）试题

‎2019-2020年高三12月月考试题 一、选择题（每题5分，共60分）‎ ‎1.已知集合，， 则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出集合，即可得到.‎ ‎【详解】∵，故.‎ 故选C ‎【点睛】本题考查集合的基本运算.属基础题.‎ ‎2.设，是椭圆的焦点，为椭圆上一点，则的周长为（ ）‎ A. 16 B. 18 C. 10 D. 不确定 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据椭圆定义,可求得,再根据椭圆中的关系求得焦距,即可得的周长.‎ ‎【详解】,是椭圆的焦点,为椭圆上一点 由椭圆定义可知 根据椭圆中的关系可得 解得 则 所以的周长为 ‎ 故选:B ‎【点睛】本题考查了椭圆的定义,椭圆中的关系,属于基础题.‎ ‎3.设复数满足，其中为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于( )‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．‎ ‎【详解】解：由（1+i）2•z＝2+i，得2iz＝2+i，‎ ‎∴，‎ ‎∴复数z对应的点的坐标为（，﹣1），位于第四象限．‎ 故选D．‎ ‎【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．‎ ‎4.已知，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由三角函数的诱导公式可得，然后利用诱导公式和二倍角的余弦公式可得答案.‎ ‎【详解】因为，‎ 所以.故选C.‎ ‎【点睛】本题考查利用诱导公式和二倍角公式化简求值，属基础题..‎ ‎5.圆截直线所得的弦长为，则（ ）‎ A B. C. D. 2‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将圆的方程化为标准方程,结合垂径定理及圆心到直线的距离,即可求得的值.‎ ‎【详解】圆,即 则由垂径定理可得点到直线距离为 ‎ 根据点到直线距离公式可知,化简可得 ‎ 解得 故选:A ‎【点睛】本题考查了圆的普通方程与标准方程的转化,垂径定理及点到直线距离公式的应用,属于基础题.‎ ‎6.正方形中，点，分别是，的中点，那么( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意点，分别是，的中点，求出，，然后求出向量即得．‎ ‎【详解】解：因为点是的中点，所以，‎ 点得是的中点，所以，‎ 所以，‎ 故选．‎ ‎【点睛】本题考查向量加减混合运算及其几何意义，注意中点关系与向量的方向，考查基本知识的应用．属于基础题．‎ ‎7.在等差数列{an}中，若a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，则2a10－a12的值为(　　)‎ A. 20 B. 22‎ C. 24 D. 28‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 由a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝(a4＋a12)＋(a6＋a10)＋a8＝5a8＝120，‎ 解得a8＝24，且a8＋a12＝2a10，则2a10－a12＝a8＝24.故选C.‎ ‎8.在正方体中，是线段上的动点，是线段上的动点,且不重合，则直线与直线的位置关系是( )‎ A. 相交且垂直 B. 共面 C. 平行 D. 异面且垂直 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 由题意易知：直线，∴又直线与直线异面直线，‎ 故选D ‎9.一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示. 则该几何体的体积为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：由三视图可知,上面是半径为的半球,体积为,下面是底面积为1,高为1的四棱锥,体积,故选C.‎ ‎【考点】根据三视图求几何体的体积 ‎【名师点睛】本题主要考查三视图及几何体的体积计算，本题涉及正四棱锥及球的体积计算，综合性较强，较全面地考查了考生的识图用图能力、空间想象能力、运算求解能力等.‎ ‎10.若函数在区间上递减，且有最小值，则的值可以是（ ）‎ A. 2 B. C. 3 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 在上是递减的，且有最小值为，，即 ‎，当时，函数在区间上递减，且有最小值，故选B.‎ ‎11.已知椭圆的左右焦点分别为为坐标原点，A为椭圆上一点，，连接轴于M点，若，则该椭圆的离心率为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析】‎ 设AF1＝m，AF2＝n．如图所示，Rt△AF1F2∽Rt△OMF2，可得．可得m+n＝2a，m2+n2＝4c2，n＝3m．化简解出即可得出．‎ ‎【详解】设AF1＝m，AF2＝n．‎ 如图所示，由题意可得：Rt△AF1F2∽Rt△OMF2，‎ ‎∴．‎ 则m+n＝2a，m2+n2＝4c2，n＝3m．‎ 化为：m2，n2＝9m2＝6b2．‎ ‎∴6b2＝4c2．‎ ‎∴c2，‎ 化为：．‎ 故选D．‎ ‎【点睛】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：‎ ‎①求出a，c，代入公式；‎ ‎②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝a2－c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．‎ ‎12.已如函数，若，且，则的取值范围是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题可根据题意及画出的分段函数的图象确定出，然后可将和代入到确定的表达式，得到和的关系式，再用表示，则可只用表达，再构造函数与的表达式一致，通过求导方法判断出的值域即可得到的取值范围．‎ ‎【详解】解：根据题意，画出分段函数图象如下：‎ ‎ 由两个函数图象及题意，可知：不可能同时大于1，也不可能同时小于1．‎ 否则不满足 ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎，．‎ 构造函数，．‎ 则．‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ ‎∴．‎ ‎∴在上是单调递增函数．‎ ‎∴．‎ ‎∴．‎ ‎∴．‎ 故选C．‎ ‎【点睛】本题主要考查函数与导数的相关知识，以及通过构造函数并求导确定该函数的单调性求二元函数的函数取值问题．本题属中档题．‎ 二、填空题（每题5分，共20分）‎ ‎13.不等式的解集为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分类讨论,即可解绝对值不等式.‎ ‎【详解】不等式 当,即时,不等式可化为,解得,所以不等式解集为 当,即时,不等式可化为,解得,所以不等式解集为 综上可知,不等式解集为,即 故答案为: ‎ ‎【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法,分类讨论解不等式的应用,属于基础题.‎ ‎14.曲线在处的切线的斜率为_________.‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据导数的几何意义求出函数在处的导数，即是该点处切线的斜率．‎ ‎【详解】‎ 故曲线在处的切线的斜率为：‎ 故答案为 ‎【点睛】本题考查了利用导数求曲线上某点的切线的斜率问题，属于基础题．‎ ‎15.正项等比数列中，，，则______.‎ ‎【答案】254‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知数据可得首项和公比的方程组，解方程组代入求和公式可得．‎ ‎【详解】因为，，所以，解得，所以，‎ ‎.故填254.‎ ‎【点睛】本题考查等比数列的求和公式，求出数列的首项和公比是解决问题的关键，属基础题．‎ ‎16.已知函数，若，则实数的取值范围是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数的奇偶性和单调性，并且结合不等式f（t-2）+f（4-t2）＜0建立不等式进而求得t的范围．‎ ‎【详解】由已知得为奇函数，‎ 又，所以在上单调递增； ‎ 由得，∴；‎ 解得，故实数的取值范围为.‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数奇偶性的应用，不等式的解法，注意函数的定义域．‎ 三、解答题（共70分）‎ ‎17.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足(2b﹣c)cosA＝acosC．‎ ‎（1）求角A；‎ ‎（2）若，b+c＝5，求△ABC的面积．‎ ‎【答案】(1) A．(2)．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用正弦定理完成边化角，再根据在三角形中有，完成化简并计算出的值；‎ ‎（2）利用的值以及余弦定理求解出的值，再由面积公式即可求解出△ABC的面积.‎ ‎【详解】（1）在三角形ABC中，∵(2b﹣c)cosA＝acosC，‎ 由正弦定理得：(2sinB﹣sinC)cosA＝sinAcosC，‎ 化为：2sinBcosA＝sinCcosA+sinAcosC＝sin(A+C)＝sinB，‎ sinB≠0，解得cosA，，‎ ‎∴A．‎ ‎（2）由余弦定理得a2＝b2+c2﹣2bccosA，‎ ‎∵a，b+c＝5，‎ ‎∴13＝(b+c)2﹣3cb＝52﹣3bc，化为bc＝4，‎ 所以三角形ABC的面积SbcsinA4．‎ ‎【点睛】本题考查解三角形的综合运用，难度一般.（1）解三角形的问题中，求解角的大小时，要注意正、余弦定理的选择，同时注意使用正弦定理时要注意是否满足齐次的情况；（2）注意解三角形时的隐含条件的使用.‎ ‎18.已知圆，直线．‎ ‎（1）判断直线与圆C的位置关系；‎ ‎（2）设直线与圆C交于A，B两点，若直线的倾斜角为120°，求弦AB的长．‎ ‎【答案】(1)直线l与圆C必相交 (2)．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）判断直线过定点，利用点与圆的位置关系即可判断直线与圆的位置关系；（2）根据直线的倾斜角为，求出直线斜率以及直线的方程，利用弦长公式即可求弦的长.‎ ‎【详解】(1)直线l可变形为y－1＝m(x－1)，因此直线l过定点D(1，1)，‎ 又＝1<，所以点D在圆C内，则直线l与圆C必相交．‎ ‎(2)由题意知m≠0，所以直线l的斜率k＝m，又k＝tan 120°＝－，即m＝－．‎ 此时，圆心C(0，1)到直线l： x＋y－－1＝0的距离d＝＝，‎ 又圆C的半径r＝，所以|AB|＝2＝2＝．‎ ‎【点睛】本题主要考查点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式以及直线过定点问题，属于中档题. 已知直线方程，判断直线过定点主要形式有：（1）斜截式，，直线过定点；（2）点斜式直线过定点.‎ ‎19.已知数列的前项和为，，.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）； （2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用当时，可得，进而求出数列的通项公式；‎ ‎（2）利用错位相减法求和即可.‎ ‎【详解】（1）∵，，①‎ ‎.∴当时， ，即；‎ 当时，，②‎ 由①—②可得，‎ 即，又，‎ ‎∴数列是以3为首项和3为公比的等比数列，‎ 故.‎ ‎（2）由（1）知.‎ 则，③‎ 则，④，‎ 由③—④得 ‎ ，‎ 故.‎ ‎【点睛】本题考查等比数列通项公式的求法，利用错位相减法求和，属中档题.‎ ‎20.将正方形沿对角线折叠，使平面平面.若直线平面，.‎ ‎（1）求证：直线平面；‎ ‎（2）求三棱锥的体积.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎（1）取中点为，连结，，则，从而平面，进而直线直线，由此能证明直线平面．‎ ‎（2）推导出，平面，点到平面的距离等于点到平面的距离，从而．由此能求出三棱锥的体积．‎ ‎【详解】（1）证明：取中点，连结，，‎ ‎，，‎ 又平面平面，平面平面，平面，‎ 平面，‎ 直线平面，直线直线，‎ 又平面，平面，‎ 直线平面．‎ ‎（2）解：原四边形为正方形，为中点，，‎ 又平面平面，平面平面，平面，‎ 平面．‎ 由于为等腰直角三角形，所以，‎ 又，，‎ 由（1）可知，点到平面的距离等于点到平面的距离，‎ ‎．‎ ‎【点睛】本题考查线面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．‎ ‎21.已知椭圆C：的左、右顶点分别为A，B，离心率为，点P（1，）为椭圆上一点．‎ ‎（1）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（2）如图，过点C（0，1）且斜率大于1的直线l与椭圆交于M，N两点，记直线AM的斜率为k1，直线BN的斜率为k2，若k1=2k2，求直线l斜率的值．‎ ‎【答案】(1);(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意，由椭圆离心率可得a=2c，进而可得，则椭圆的标准方程为，将P的坐标代入计算可得c的值，即可得答案；‎ ‎（2）根据题意，设直线l的方程为y=kx+1，设M（x1，y1），N（x2，y2），将直线的方程与椭圆联立，可得（3+4k2）x2+8kx-8=0，由根与系数的关系分析，：，，结合椭圆的方程与直线的斜率公式可得，即12k2-20k+3=0，解可得k的值，即可得答案．‎ ‎【详解】解：（1）根据题意，椭圆的离心率为，即e==2，则a=2c．‎ 又∵a2=b2+c2，∴．‎ ‎∴椭圆的标准方程为：．‎ 又∵点P（1，）为椭圆上一点，∴，解得：c=1．‎ ‎∴椭圆的标准方程为：．‎ ‎（2）由椭圆的对称性可知直线l的斜率一定存在，设其方程为y=kx+1．‎ 设M（x1，y1），N（x2，y2）．‎ 联列方程组：，消去y可得：（3+4k2）x2+8kx-8=0．‎ ‎∴由韦达定理可知：，．‎ ‎∵，，且k1=2k2，∴，即．①‎ 又∵M（x1，y1），N（x2，y2）椭圆上，‎ ‎∴，．②‎ 将②代入①可得：，即3x1x2+10（x1+x2）+12=0．‎ ‎∴，即12k2-20k+3=0．‎ 解得：或．‎ 又由k＞1，则．‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的几何性质，涉及直线与椭圆的位置关系，关键是求出椭圆的标准方程，属于综合题．‎ ‎22.已知函数，其中为常数．‎ ‎（1）若直线是曲线的一条切线，求实数的值；‎ ‎（2）当时，若函数在上有两个零点．求实数的取值范围．‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设切点， 由题意得，解方程组即可得结果；（2）函数在上有两个零点等价于，函数 ‎ 的图象与直线有两个交点，设，利用导数可得函数在处取得极大值，结合，，从而可得结果.‎ ‎【详解】（1）函数的定义域为，，‎ 曲线在点处的切线方程为. ‎ 由题意得 ‎ 解得，.所以的值为1.‎ ‎（2）当时，，则，‎ 由，得，由，得，则有最小值为，即，‎ 所以，，‎ 由已知可得函数 的图象与直线有两个交点，‎ 设，‎ 则，‎ 令，，‎ 由，可知，所以在上为减函数，‎ 由，得时，，当时，，‎ 即当时，，当时，，‎ 则函数在上为增函数，在上为减函数，‎ 所以，函数在处取得极大值，‎ 又，，‎ 所以，当函数在上有两个零点时，的取值范围是，‎ 即.‎ ‎【点睛】本题主要考查利用导数求切线斜率及利用导数研究函数的零点，属于难题. 应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1) 已知切点求斜率,即求该点处的导数；(2) 己知斜率求切点即解方程；(3) 巳知切线过某点(不是切点) 求切点, 设出切点利用求解.‎ ‎ ‎