【数学】2018届一轮复习人教A版 数列的概念与简单表示法 教案
第五章 数列
1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)．
2．了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数．
知识点一 数列的定义、分类与通项公式
1．数列的定义
(1)数列：按照________排列的一列数．
(2)数列的项：数列中的________．
2．数列的分类
3.数列的通项公式
如果数列{an}的第n项与______之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．
答案
1．(1)一定顺序 (2)每一个数
2．有限 无限 > < 3.序号n
1．给出下列有关数列的说法：
(1)数列1,3,5,7可表示为{1,3,5,7}；
(2)数列1,3,5,7与数列7,5,3,1是同一数列；
(3)数列1,3,5,7与数列1,3,5,7，…是同一数列；
(4)数列an＝n－2的图象是一群孤立的点．
其中说法正确的序号是________．
解析：(1)错误，构成数列的数是有顺序的，而集合中的元素是无序的，这是数列与数集的差别．
(2)错误，两数列的数相同但排列次序不相同，不是相同的数列．
(3)错误，数列1,3,5,7是有限数列，而数列1,3,5,7，…是无穷数列．
(4)正确．
答案：(4)
2．(必修⑤P31练习第4(1)题改编)数列1，，，，，…的一个通项公式an是________．
解析：由已知得，数列可写成，，，…，故通项为.
答案：
知识点二 数列的递推公式
如果已知数列{an}的________(或________)，且任何一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示，即an＝f(an－1)或an＝f(an－1，an－2)，那么这个式子叫做数列{an}的递推公式．
答案
第一项 前几项
3．(必修⑤P31例3改编)在数列{an}中，a1＝1，an＝1＋(n≥2)，则a4＝( )
A. B.
C. D.
解析：由题意知，a1＝1，a2＝2，a3＝，a4＝.
答案：B
4．已知数列{an}中，an∈，an＋1＝＋a，则数列{an}是________数列(填“递增”或“递减”)．
解析：∵an＋1－an＝a－an＋＝(an－1)2－，又0
，即(an－1)2－>0，∴an＋1－an>0，即an＋1>an对一切正整数n都成立，故数列{an}是递增数列．
答案：递增
知识点三 数列的前n项和与通项的关系
数列的前n项和通常用Sn表示，记作__________________，则通项__________________．
若当n≥2时求出的an也适合n＝1时的情形，则用一个式子表示an，否则分段表示．
答案
Sn＝a1＋a2＋…＋an an＝
5．数列{an}的前n项和Sn＝n2＋1，则an＝________.
解析：当n＝1时，a1＝S1＝2；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(n2＋1)－[(n－1)2＋1]＝n2－(n－1)2＝2n－1，∴an＝
答案：
6．若数列{an}的前n项和Sn＝an＋，则{an}的通项公式是an＝________.
解析：当n＝1时，a1＝1；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝an－an－1，故＝－2，故an＝(－2)n－1.
当n＝1时，也符合an＝(－2)n－1.综上，an＝(－2)n－1.
答案：(－2)n－1
热点一 由数列的前n项求数列的通项公式
【例1】 (1)已知数列{an}的前4项为2,5,8,11，则数列{an}的一个通项公式是________．
(2)已知数列{an}的前4项为－，，－，，则数列{an}的一个通项公式是________．
(3)如图所示，这是一个正六边形的序列，则第n个图形的边数为( )
A．5n－1 B．6n
C．5n＋1 D．4n＋2
【解析】 (1)从第二项起，每一项都比前一项大3，且每一项都比项数的3倍少1，故其通项公式可以为an＝3n－1.
(2)原数列为－，，－，，对于分子1,3,6,10，其通项公式为bn＝，对于分母2,5,10,17，其通项公式为cn＝n2＋1，故可得数列{an}的一个通项公式为an＝
(－1)n.
(3)第一个图形是六边形，即a1＝6，以后每个图形是在前一个图形的基础上增加5条边，所以a2＝6＋5＝11 ，a3
＝11＋5＝16，观察可得选项C满足此条件．
【答案】 (1)an＝3n－1
(2)an＝(－1)n (3)C
【总结反思】
根据所给数列的前几项求其通项时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征：分式中分子、分母的各自特征；相邻项的联系特征；拆项后的各部分特征；符号特征．应多进行对比、分析，从整体到局部多角度观察、归纳、联想.
(1)(2017·湖南长沙一模)已知数列的前4项为2,0,2,0，则依此归纳该数列的通项不可能是( )
A．an＝(－1)n－1＋1
B．an＝
C．an＝2sin
D．an＝cos(n－1)π＋1
(2)(2017·石家庄模拟)把1,3,6,10,15,21，…这些数叫做三角形数，这是因为以这些数目的点可以排成一个正三角形(如图)．
则第7个三角形数是( )
A．27 B．28
C．29 D．30
解析：(1)对n＝1,2,3,4进行验证，an＝2sin不合题意，故选C.
(2)由图可知，第7个三角形数是1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28.
答案：(1)C (2)B
热点二 an与Sn关系的应用
考向1 已知Sn求an
【例2】 已知数列{an}的前n项和Sn＝3n2－2n＋1，则其通项公式为________．
【解析】 当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2×1＋1＝2，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n2－2n＋1－[3(n－1)2－2(n－1)＋1]＝6n－5，显然当n＝1时，不满足上式．故数列的通项公式为an＝
【答案】 an＝
若本例中条件“前n项和Sn＝3n2－2n＋1”改为“前n项积为Tn＝3n2－2n＋1”，求an.
解：当n＝1时，a1＝T1＝3×12－2×1＋1＝2，当n≥2时，an＝＝＝.
显然当n＝1时，满足上式．
故数列的通项公式为an＝.
考向2 利用an与Sn的关系求Sn
【例3】 (2016·新课标全国卷Ⅱ)设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则Sn＝________.
【解析】 将an＋1转化为Sn与Sn＋1，再求解．
由已知得an＋1＝Sn＋1－Sn＝Sn＋1·Sn，两边同时除以－Sn＋1·Sn，得－＝－1，故数列是以－1为首项，－1为公差的等差数列，则＝－1－(n－1)＝－n，所以Sn＝－.
【答案】 －
【总结反思】
数列的通项an与前n项和Sn的关系是an＝
当n＝1时，a1若适合Sn－Sn－1，则n＝1的情况可并入n≥2时的通项an；当n＝1时，a1若不适合Sn－Sn－1，则用分段函数的形式表示.
(2016·浙江卷)设数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*，则a1＝________，S5＝________.
解析：由于解得a1＝1，由an＋1＝Sn＋1－Sn＝2Sn＋1得Sn＋1＝3Sn＋1，所以Sn＋1＋＝3(Sn＋)，所以{Sn＋}是以为首项，3为公比的等比数列，所以Sn＋＝×3n－1，即Sn＝，所以S5＝121.
答案：1 121
热点三 由递推公式求通项公式
【例4】 设数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋n＋1，则an＝________.
【解析】 由条件知an＋1－an＝n＋1，
则an＝(a2－a1)＋(a3－a2)＋(a4－a3)＋…＋(an－an－1)＋a1＝(2＋3＋4＋…＋n)＋2＝.
【答案】
1．若将“an＋1＝an＋n＋1”改为“an＋1＝an”，如何求解？
解：∵an＋1＝an，∴＝.
∴an＝···…···a1，
＝···…··2＝.
2．若将“an＋1＝an＋n＋1”改为“an＋1＝2an＋3”，如何求解？
解：设递推公式an＋1＝2an＋3可以转化为an＋1－t＝2(an－t)，即an＋1＝2an－t，解得t＝－3.故an＋1＋3＝2(an＋3)．令bn＝an＋3，则b1＝a1＋3＝5，且＝＝2.所以{bn}是以5为首项，2为公比的等比数列．
所以bn＝5×2n－1，故an＝5×2n－1－3.
3．若将“an＋1＝an＋n＋1”改为“an＋1＝”，如何求解？
解：∵an＋1＝，a1＝2，∴an≠0，
∴＝＋，即－＝，
又a1＝2，则＝，
∴是以为首项，为公差的等差数列．
∴＝＋(n－1)×＝.∴an＝.
4．若将本例条件换为“a1＝1，an＋1＋an＝2n”，如何求解？
解：∵an＋1＋an＝2n，∴an＋2＋an＋1＝2n＋2，故an＋2－an＝2.
即数列{an}是奇数项与偶数项都是公差为2的等差数列．
当n为偶数时，a2＝1，故an＝a2＋2＝n－1.
当n为奇数时，∵an＋1＋an＝2n，an＋1＝n(n＋1为偶数)，故an＝n.
综上所述，an＝n≥1，n∈N*.
【总结反思】
由递推关系式求通项公式的常用方法
(1)已知a1且an－an－1＝f(n)，可用“累加法”求an.
(2)已知a1且＝f(n)，可用“累乘法”求an.
(3)已知a1且an＋1＝qan＋b，则an＋1＋k＝q(an＋k)(其中k可由待定系数法确定)，可转化为等比数列{an＋k}．
(4)形如an＋1＝(A，B，C为常数)的数列，可通过两边同时取倒数的方法构造新数列求解．
(5)形如an＋1＋an＝f(n)的数列，可将原递推关系改写成an＋2＋an＋1＝f(n＋1)，两式相减即得an＋2－an＝f(n＋1)－f(n)，然后按奇偶分类讨论即可.
热点四 数列性质的应用
【例5】 (1)(2017·云南一模)在数列{an}中，a1＝，a2＝，anan＋2＝1，则a2 016＋a2 017＝( )
A. B.
C. D．5
(2)已知数列{an}的通项公式是an＝n2＋kn＋4.
①若k＝－5，则数列中有多少项是负数？n为何值时，an有最小值？并求出最小值；
②对于n∈N*，都有an＋1>an，求实数k的取值范围．
【解析】 (1)因为a1＝，a2＝，anan＋2＝1，所以a3＝2，a4＝3，a5＝，a6＝，即数列{an}是周期数列，周期为4，则a2 016＋a2 017＝a4＋a1＝3＋＝，故选C.
(2)解：①由n2－5n＋4<0，
解得1an知该数列是一个递增数列，又因为通项公式an＝n2＋kn＋4，可以看作是关于n的二次函数，考虑到n∈N*，所以－<
，即得k>－3.
所以实数k的取值范围为(－3，＋∞)．
【答案】 (1)C
【总结反思】
(1)解决数列周期性问题的方法
先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值．
(2)解决数列的单调性问题可用以下三种方法
①用作差比较法，根据an＋1－an的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列或是常数列．
②用作商比较法，根据(an>0或an<0)与1的大小关系进行判断．
③结合相应函数的图象直观判断．
(3)数列的最值可以利用数列的单调性或求函数最值的思想求解.
(1)(2017·安徽皖江名校联考)已知数列{an}的首项为2，且数列{an}满足an＋1＝，数列{an}的前n项的和为Sn，则S2 016为( )
A．504 B．588
C．－588 D．－504
(2)已知数列{an}满足a1＝33，an＋1－an＝2n，则的最小值为________．
解析：(1)∵a1＝2，an＋1＝，∴a2＝，a3＝－，a4＝－3，a5＝2，
……，∴数列{an}的周期为4，且a1＋a2＋a3＋a4＝－，∵2 016÷4＝504，∴S2 016＝504×＝－588，故选C.
(2)an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝2[1＋2＋…＋(n－1)]＋33＝33＋n2－n，所以＝＋n－1.
构造函数f(x)＝＋x－1(x>0)，求导得到f′(x)＝－＋1.令f′(x)>0，解得x>；令f′(x)<0，解得0
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