2020届全国名师联盟高三上学期入学测试考试卷（一）数学理科试题

2020届全国名师联盟高三上学期入学测试考试卷（一）数学理科试题

此卷只装订不密封 班级 姓名 准考证号 考场号 座位号 ‎ ‎2020届全国名师联盟高三上学期入学测试考试卷（一）‎ 理 科 数 学（一）‎ 注意事项：‎ ‎1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。‎ ‎2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知集合，，则的子集个数为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．已知复数，则在复平面上对应的点所在象限是（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎3．在等差数列中，若，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．下列函数中，既是奇函数又在定义域内递增的是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎5．中国古代“五行”学说认为：物质分“金、木、水、火、土”五种属性，并认为：“金生水、水生木、木生火、火生土、土生金”．从五种不同属性的物质中随机抽取种，则抽到的两种物质不相生的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．设是两平面，是两直线．下列说法正确的是（ ）‎ ‎①若，则②若，则 ‎③若，则④若，，，，则 A．①③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④‎ ‎7．下图是一程序框图，若输入的，则输出的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．函数（其中，）的图象如图所示，为了得到的图象，只需把的图象上所有点（ ）‎ A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 ‎9．的展开式中项的系数是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．太极图被称为“中华第一图”．从孔庙大成殿粱柱，到楼观台、三茅宫标记物；从道袍、卦摊、中医、气功、武术到南韩国旗……，太极图无不跃居其上．这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极图”．在如图所示的阴阳鱼图案中，阴影部分可表示为，设点，则的取值范围是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎11．已知双曲线的右焦点为，是双曲线的一条渐近线上关于原点对称的两点，且线段的中点落在另一条渐近线上，则双曲线的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．已知函数，（为实数），若存在实数，使得对任意恒成立，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．‎ ‎13．平面内不共线的三点，，，满足，，点为线段的中点，若，则 ．‎ ‎14．已知数列中，，且，，数列的前项和为，则 ．‎ ‎15．已知直线经过抛物线的焦点，与抛物线交于，且，点是弧（‎ 为原点）上一动点，以为圆心的圆与直线相切，当圆的面积最大时，圆的标准方程为 ．‎ ‎16．已知正三棱柱的侧面积为，当其外接球的表面积取最小值时，异面直线与所成角的余弦值等于 ．‎ 三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（12分）在中，角，，所对的边分别为，，，若，．‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）当时，求的面积．‎ ‎18．（12分）如图，正三棱柱的所有棱长都是，分别是的中点．‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）求二面角的余弦值．‎ ‎19．（12分）已知是椭圆的左、右焦点，圆（）与椭圆有且仅有两个交点，点在椭圆上．‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）过正半轴上一点的直线与圆相切，与椭圆交于点，，‎ 若，求直线的方程．‎ ‎20．（12分）随着经济的发展，个人收入的提高，自2019年1月1日起，个人所得税起征点和税率的调整，调整如下：纳税人的工资、薪金所得，以每月全部收入额减除5000元后的余额为应纳税所得额，依照个人所得税税率表，调整前后的计算方法如下表：‎ 某税务部门在某公司利用分层抽样方法抽取某月个不同层次员工的税前收入，并制成下面的频数分布表：‎ ‎（1）若某员工月的工资、薪金等税前收入为元时，请计算一下调整后该员工的实际收入比调整前增加了多少?‎ ‎（2）现从收入在及的人群中按分层抽样抽取人，‎ 再从中选人作为新纳税法知识宣讲员，用表示抽到作为宣讲员的收入在元的人数，表示抽到作为宣讲员的收入在元的人数，设随机变量，求的分布列与数学期望．‎ ‎21．（12分）已知函数，．‎ ‎（1）若函数有且只有一个零点，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若函数对恒成立，求实数的取值范围．（是自然对数的底数，）‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．‎ ‎22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】‎ 在直角坐标系中，曲线的参数方程是（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．‎ ‎（1）曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；‎ ‎（2）求曲线上的点到直线的距离的取值范围．‎ ‎23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】‎ 设函数，．‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）对任意，恒有，求实数的取值范围．‎ ‎2020届高三入学调研考试卷 理 科 数 学（一）答 案 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．【答案】C ‎2．【答案】D ‎3．【答案】B ‎4．【答案】A ‎5．【答案】D ‎6．【答案】D ‎7．【答案】C ‎8．【答案】B ‎9．【答案】A ‎10．【答案】C ‎11．【答案】C ‎12．【答案】A 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．‎ ‎13．【答案】或 ‎14．【答案】‎ ‎15．【答案】‎ ‎16．【答案】‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17．【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】∵，‎ ‎∴‎ ‎，‎ 即．‎ ‎∴，，，则．‎ ‎（2）∵，∴，，‎ ‎∵，∴，‎ 由正弦定理，可得，，‎ 所以．‎ ‎18．【答案】（1）证明见解析；（2）．‎ ‎【解析】（1）∵，是的中点，∴，‎ ‎∵平面，∴平面平面，‎ ‎∴平面，∴．‎ 又∵在正方形中，，分别是，的中点，‎ 易证得：，∴，‎ ‎∵，∴，即．‎ 又，∴平面，平面，‎ 所以平面平面．‎ ‎（2）取中点，以，，为，，轴建立空间直角坐标系，‎ ‎，，，，‎ ‎，，‎ ‎，，‎ 设平面的一个法向量为，则，‎ 令，则，‎ 设平面的一个法向量为，‎ 则，‎ 令，则，‎ 设二面角的平面角为，观察可知为锐角，‎ ‎，‎ 故二面角的余弦值为．‎ ‎19．【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】（1）依题意，得，所以，‎ 所以椭圆为，将点代入，解得，则，‎ 所以椭圆的标准方程为．‎ ‎（2）由题意知直线的斜率存在，设斜率为，（），‎ 则直线方程为，‎ 设，，直线与圆相切，则，即，‎ 联立直线与椭圆方程，消元得，‎ ‎，，，‎ 因为，所以，即，，‎ 所以，解得，即，‎ 所求直线方程为．‎ ‎20．【答案】（1）；（2）见解析．‎ ‎【解析】（1）按调整前起征点应缴纳个税为：元，‎ 调整后应纳税：元，‎ 比较两纳税情况，可知调整后少交个税元，‎ 即个人的实际收入增加了元．‎ ‎（2）由题意，知组抽取3人，组抽取4人，‎ 当时，，当或时，，‎ 当时，，所以的所有取值为：，‎ ‎，，‎ ‎，‎ 所求分布列为 ‎．‎ ‎21．【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】（1），．‎ ‎①当时，恒成立，所以单调递增，‎ 因为，所以有唯一零点，即符合题意；‎ ‎②当时，令，解得，列表如下：‎ 由表可知，，函数在上递减，在上递增．‎ ‎（i）当，即时，，所以符合题意；‎ ‎（ii）当，即时，，‎ 因为，，‎ 故存在，使得，所以不符题意；‎ ‎（iii）当，即时，，‎ 因为，‎ 设，，则，‎ 所以单调递增，即，所以，所以，‎ 故存在，使得，所以不符题意；‎ 综上，的取值范围为．‎ ‎（2），则，，．‎ ‎①当时，恒成立，所以单调递增，所以，‎ 即符合题意；‎ ‎②当时，恒成立，所以单调递增，‎ 又因为，，‎ 所以存在，使得，且当时，，‎ 即在上单调递减，所以，即不符题意．‎ 综上，的取值范围为．‎ ‎22．【答案】（1），；（2）．‎ ‎【解析】（1），平方后得，‎ 又，的普通方程为．‎ ‎，即，‎ 将代入即可得到．‎ ‎（2）将曲线化成参数方程形式为（为参数），‎ 则，其中，‎ 所以．‎ ‎23．【答案】（1）；（2）．‎ ‎【答案】（1）当时，，‎ 所以的解集为．‎ ‎（2），由恒成立，‎ 有，当时不等式恒成立，‎ 当时，由得，‎ 综上，的取值范围是．‎