【数学】2020届一轮复习人教B版直接证明与间接证明学案

【数学】2020届一轮复习人教B版直接证明与间接证明学案

直接证明与间接证明 ‎ ‎ ‎【学习目标】‎ ‎1. 掌握用综合法证题的思路和特点。‎ ‎2. 掌握用分析法证题的思路和叙述方式．‎ ‎3．掌握间接证明中的常用方法——反证法的思维过程和特点．‎ ‎【要点梳理】‎ 要点一、综合法证题 ‎1．定义：‎ 一般地，从命题的已知条件出发，利用公理、已知的定义及定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法.‎ ‎2．综合法的的基本思路：执因索果 综合法又叫“顺推证法”或“由因导果法”.它是由已知走向求证，即从数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后导出待证结论或需求的问题．‎ 综合法这种由因导果的证明方法，其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法．‎ ‎3．综合法的思维框图：‎ 用表示已知条件，为定义、定理、公理等，表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为：‎ ‎（已知） （逐步推导结论成立的必要条件） （结论）‎ 要点诠释 ‎（1）从“已知”看“可知”，逐步推出“未知”，由因导果，其逐步推理实际上是寻找它的必要条件；‎ ‎ （2）用综合法证明不等式，证明步骤严谨，逐层递进，步步为营，条理清晰，形式简洁，宜于表达推理的思维轨迹；‎ ‎ （3）因用综合法证明命题“若A则D”的思考过程可表示为：‎ ‎ ‎ ‎ 故要从A推理到D，由A推演出的中间结论未必唯一，如B、B1、B2等，可由B、B1、B2进一步推演出的中间结论则可能更多，如C、C1、C2、C3、C4等等．‎ ‎ 所以如何找到“切入点”和有效的推理途径是有效利用综合法证明问题的“瓶颈”．‎ ‎4．综合法证明不等式时常用的不等式 ‎（1）a2+b2≥2ab（当且仅当a=b时取“=”号）；‎ ‎（2）（a，b∈R*，当且仅当a=b时取“=”号）；‎ ‎（3）a2≥0，|a|≥0，(a－b)2≥0；‎ ‎（4）（a，b同号）；（a，b异号）；‎ ‎（5）a，b∈R，，‎ ‎（6）不等式的性质 定理1 对称性：a＞bb＜a。‎ 定理2 传递性：。‎ 定理3 加法性质：。‎ 推论 。‎ 定理4 乘法性质：。‎ 推论1 。‎ 推论2 。‎ 定理5 开方性质：。‎ 要点二、分析法证题 ‎1．定义：‎ 一般地，从需要证明的命题出发，分析使这个命题成立的充分条件，逐步寻找使命题成立的充分条件，直至所寻求的充分条件显然成立（已知条件、定理、定义、公理等），或由已知证明成立，从而确定所证的命题成立的一种证明方法，叫做分析法.‎ ‎2．分析法的基本思路：执果索因 分析法又叫“逆推证法”或“执果索因法”.它是从要证明的结论出发，分析使之成立的条件，即寻求使每一步成立的充分条件，直到最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止.‎ 分析法这种执果索因的证明方法，其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法。‎ ‎3．分析法的思维框图：‎ 用表示已知条件和已有的定义、公理、公式、定理等，所要证明的结论，则用分析法证明可用框图表示为：‎ ‎（结论） （逐步寻找使结论成立的充分条件） （已知）‎ ‎4．分析法的格式：‎ 要证……，只需证……，只需证……，因为……成立，所以原不等式得证。‎ 要点诠释：‎ ‎ （1）分析法是综合法的逆过程，即从“未知”看“需知”，执果索因，逐步靠拢“已知”，其逐步推理，实际上是寻找它的充分条件．‎ ‎ （2）由于分析法是逆推证明，故在利用分析法证明时应注意逻辑性与规范性，即分析法有独特的表述．‎ ‎5．综合法与分析法的横向联系 ‎（1） 综合法是把整个不等式看做一个整体，通过对欲证不等式的分析、观察，选择恰当不等式作为证题的出发点，其难点在于到底从哪个不等式出发合适，这就要求我们不仅要熟悉、正确运用作为定理性质的不等式，还要注意这些不等式进行恰当变形后的利用．‎ 分析法的优点是利于思考，因为它方向明确，思路自然，易于掌握，而综合法的优点是宜于表述，条理清晰，形式简洁．‎ 我们在证明不等式时，常用分析法寻找解题思路，即从结论出发，逐步缩小范围，进而确定我们所需要的“因”，再用综合法有条理地表述证题过程．分析法一般用于综合法难以实施的时候．‎ ‎（2） 有些不等式的证明，需要把综合法和分析法联合起来使用：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P．若由P可以推出Q成立，就可以证明结论成立，这种边分析边综合的证明方法，称之为分析综合法，或称“两头挤法”．‎ 分析综合法充分表明分析与综合之间互为前提、互相渗透、互相转化的辩证统一关系，分析的终点是综合的起点，综合的终点又成为进一步分析的起点．‎ ‎ 命题“若P则Q”的推演过程可表示为：‎ ‎ ‎ 要点三、反证法证题 间接证明不是从正面确定命题的真实性，而是证明它的反面为假，或改证它的等价命题为真，间接地达到目的，反证法是间接证明的一种基本方法．‎ ‎　1．反证法定义：‎ 一般地，首先假设要证明的命题结论不正确，即结论的反面成立，然后利用公理，已知的定义、定理，命题的条件逐步分析，得到和命题的条件或公理、定理、定义及明显成立的事实等矛盾的结论，以此说明假设的结论不成立，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法.　‎ ‎2．反证法的基本思路：假设——矛盾——肯定”‎ ‎ ①分清命题的条件和结论．‎ ‎ ②做出与命题结论相矛盾的假设．‎ ‎ ③由假设出发，结合已知条件，应用演绎推理方法，推出矛盾的结果．‎ ‎ ④断定产生矛盾结果的原因，在于开始所做的假定不真，于是原结论成立，从而间接地证明原命题为真．‎ ‎3．反证法的格式：‎ 用反证法证明命题“若p则q”时，它的全部过程和逻辑根据可以表示如下：‎ ‎ ‎ 要点诠释：‎ ‎（1）反证法是间接证明的一种基本方法.‎ 它是先假设要证的命题不成立，即结论的反面成立，在已知条件和“假设”这个新条件下，通过逻辑推理，得出与定义、公理、定理、已知条件、临时假设等相矛盾的结论，从而判定结论的反面不能成立，即证明了命题的结论一定是正确的.‎ ‎(2) 反证法的优点：对原结论否定的假定的提出，相当于增加了一个已知条件.‎ ‎4．反证法的一般步骤：‎ ‎ （1）反设：假设所要证明的结论不成立，假设结论的反面成立；‎ ‎ （2）归谬：由“反设”出发，通过正确的推理，导出矛盾——与已知条件、已知的公理、定义、定理、反设及明显的事实矛盾或自相矛盾；‎ ‎（3）结论：因为推理正确，产生矛盾的原因在于“反设”的谬误，既然结论的反面不成立，从而肯定了结论成立．‎ ‎ 要点诠释：‎ ‎（1）结论的反面即结论的否定，要特别注意：‎ ‎“都是”的反面为“不都是”，即“至少有一个不是”，不是“都不是”；‎ ‎“都有”的反面为“不都有”，即“至少有一个没有”，不是“都没有”；‎ ‎“都不是”的反面是“部分是或全部是”，即“至少有一个是”，不是“都是”；‎ ‎“都没有”的反面为“部分有或全部有”，即“至少有一个有”，不是“都有”‎ ‎（2）归谬的主要类型： ‎ ‎ ①与已知条件矛盾；‎ ‎ ②与假设矛盾（自相矛盾）；‎ ‎③与定义、定理、公理、事实矛盾．‎ ‎ 5．宜用反证法证明的题型：‎ ‎① 要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰；比如“存在性问题、唯一性问题”等；‎ ‎② 如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而从反面进行证明，只要研究一种或很少的几种情形.比如带有“至少有一个”或“至多有一个”等字样的数学问题.‎ ‎ 要点诠释：‎ ‎ 反证法体现出正难则反的思维策略（补集的思想）和以退为进的思维策略，故在解决某些正面思考难度较大和探索型命题时，有独特的效果．‎ ‎【典型例题】‎ 类型一、利用综合法证明有关命题 例1．已知，，试用综合法证明： .‎ ‎【解析】 因为，， ‎ ‎ 所以；‎ 又因为，；‎ 所以.‎ ‎ ‎ 因此.‎ ‎【总结升华】 利用综合法时，从已知出发，进行运算和推理得到要证明的结论，并且在用均值定理证明不等式时，一要注意均值定理运用的条件，二要运用定理对式子作适当的变形，把式分成若干部分，对每部分运用均值定理后，再把它们相加或相减。‎ 举一反三：‎ ‎【变式1】求证：‎ ‎【答案】待证不等式的左端是3个数和的形式，右端是一常数的形式，而左端3个分母的真数相同，由此可联想到公式，转化成能直接利用对数的运算性质进行化简的形式.‎ ‎∵ ，∴左边∵，　‎ ‎∴.‎ ‎【变式2】设、是互不相等的正数，且，试用综合法证明：．‎ ‎【答案】因为，‎ 所以.‎ 例2. 已知数列满足, ，．‎ 求证：是等比数列； ‎ ‎【思路点拨】根据等比数列的定义变形。‎ ‎【解析】由an＋1＝an＋6an－1，an＋1＋2an＝3(an＋2an－1) (n≥2)‎ ‎　　　　　　∵a1＝5，a2＝5　　∴a2＋2a1＝15‎ 故数列{an＋1＋2an}是以15为首项，3为公比的等比数列 ‎ ‎【总结升华】 ‎ ‎ 本题从已知条件入手，分析数列间的相互关系，合理实现了数列间的转化，从而使问题获解，综合法是直接证明中最常用的证明方法。‎ 举一反三：‎ ‎【变式】已知数列{an}中，Sn是它的前n项和，并且Sn+1=4an+2（n=1，2，…），a1=1。‎ ‎（1）设bn=an+1－2an（n=1，2，…），求证：数列{bn}是等比数列。‎ ‎（2）设（n=1，2，…），求证：数列{cn}是等差数列。‎ ‎【答案】（1）∵Sn+1=4an+2，∴Sn+2=4an+1+2，‎ 两式相减，得Sn+2―Sn+1=4an+1―4an（n=1，2，3，…）,‎ 即an+2=4an+1―4an，变形得an+2―2an+1=2(an+1―2an)。‎ ‎∵bn=an+1－2an（n=1，2，…），‎ ‎∴bn+1=2bn（n=1，2，…）。‎ 由此可知，数列{bn}是公比为2的等比数列。‎ 由S2=a1+a2=4a1+2，a1=1，‎ 得a2=5，b1=a2―2a1=3。故bn=3·2n―1。‎ ‎（2）∵（n=1，2，…）‎ ‎∴‎ 将bn=3·2n－1代入，得（n=1，2，…）。‎ 由此可知，数列{cn}是公差的等差数列，它的首项，故。‎ 例3．如图，设在四面体中，，，是的中点.‎ 求证：垂直于所在的平面.‎ ‎ ‎ ‎【思路点拨】要证垂直于所在的平面，只需在所在的平面内找到两条相交直线与垂直.‎ ‎【解析】‎ 连、‎ 因为是斜边上的中线，‎ 所以 又因为,而是、、的公共边，‎ 所以 于是,‎ 而，因此 ‎∴，‎ 由此可知垂直于所在的平面.‎ ‎【总结升华】 利用综合法证明立体几何中线线、线面和面面关系的关键在于熟练地运用判定定理和性质定理。这是一例典型的综合法证明.现将用综合法证题的过程展现给大家，供参考：‎ ‎（1）由已知是斜边上的中线，推出，记为（已知）；‎ ‎（2）由和已知条件，推出三个三角形全等，记为；‎ ‎（3）由三个三角形全等，推出，记为；‎ ‎（4）由推出，记为（结论）.‎ 这个证明步骤用符号表示就是（已知）（结论）.‎ 举一反三：‎ ‎【变式】如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F。‎ 求证：（1）PA∥平面EDB；‎ ‎（2）PB⊥平面EFD。‎ ‎【答案】‎ ‎（1）连结AC交BD于O，连结EO。‎ ‎∵底面ABCD是正方形，∴点O是AC的中点，‎ 在△PAC中，EO是中位线，∴PA∥EO。‎ 而EO平面EDB且PA平面EDB，∴PA∥平面EDB。‎ ‎（2）PD⊥底面ABCD且DC底面ABCD，∴PD⊥DC。‎ 由PD=DC，可知△PDC是等腰直角三角形，‎ 而DE是斜边PC上的中线，∴DE⊥PC。①‎ 同样由PD⊥底面ABCD，得PD⊥BC。‎ ‎∵底面ABCD是正方形，∴DC⊥BC，∴BC⊥平面PDC。‎ 而DE平面PDC，∴BC⊥DE。②‎ 由①和②推得DE⊥平面PBC。而PB平面PBC，∴DE⊥PB。‎ 又EF⊥PB且DE∩EF=E，∴PB⊥平面EFD。‎ 类型二、 利用分析法证明有关命题 ‎ 例4．求证：．‎ ‎ 【解析】‎ ‎ 错证： 由不等式 ， ①‎ ‎ 平方得 ， ②‎ ‎ 即 ， ③‎ ‎ 则18＜20， ④‎ ‎ 因为18＜20，所以． ‎ ‎ 错因： 由于上述分析法的流程结构是 ①②③④，‎ 因而上述书写格式导致了逻辑错误．‎ 正确的证法如下：‎ ‎ 证明： 欲证不等式，‎ ‎ 只需证成立，‎ ‎ 即证 ，‎ ‎ 即证18＜20成立．‎ ‎ 由于18＜20是成立的，‎ ‎ 因此． 证毕．‎ ‎【总结升华】‎ ‎1.在证明过程中，若使用综合法出现困难时，应及时调整思路，分析一下要证明结论成立需要怎样的充分条件是明智之举.从结论出发，结合已知条件，逐步反推，寻找使当前命题成立的充分条件的方法.‎ ‎2. 用分析法证明问题时，一定要恰当地用好“要证”“只需证”“即证”“也即证”等词语．‎ ‎ 举一反三：‎ ‎【变式1】 已知、是正数，用分析法证明: .‎ ‎【答案】‎ 要证 成立，‎ 只需证成立，‎ 即证.‎ 即证，‎ 也就是要证,即.‎ 该式显然成立，所以.‎ ‎【变式2】‎ 用分析法证明：若a>0，则。‎ ‎【答案】‎ 要证，‎ 只需证。‎ ‎∵a>0，∴两边均大于零，因此只需证 只需证，‎ 只需证，只需证，‎ 即证，它显然成立。∴原不等式成立。‎ ‎【高清课堂：直接证明与间接证明401471 例题2】‎ ‎【变式3】已知，求证：‎ ‎【答案】要证 只需证，‎ ‎，只需证，即 欲证，只需证，即显然成立。‎ 欲证，只需证，即显然成立。‎ 成立，且以上各步都可逆，故原不等式成立。‎ 例5.求证：‎ ‎【思路点拨】由于本题所给的条件较少，且不等式中项都是根式的形式，因而用综合法证明比较困难.‎ 这时，可从结论出发，逐步反推，寻找使命题成立的充分条件；此外，若注意到，，也可用综合法证明.‎ ‎ 【解析】‎ 法一：分析法 要证成立，‎ 只需证明，‎ 两边平方得，‎ 所以只需证明，‎ 两边平方得，‎ 即，‎ ‎∵恒成立，‎ ‎∴原不等式得证.‎ 法二：综合法 ‎∵，，‎ ‎，‎ ‎∴.‎ ‎∴.‎ ‎∴. 即原不等式成立.‎ ‎【总结升华】‎ ‎1.在证明过程中，若使用综合法出现困难时，应及时调整思路，分析一下要证明结论成立需要怎样的充分条件是明智之举.从结论出发，结合已知条件，逐步反推，寻找使当前命题成立的充分条件的方法.‎ ‎2．综合法写出的证明过程条理清晰，易于理解；但综合法的证题思路并不容易想到，因此，在一般的证题过程中，往往是先用分析法寻找解题思路，再用综合法书写证明过程.‎ ‎ 举一反三：‎ ‎【变式】设a、b是两个正实数，且a≠b，求证：＋＞‎ 证明一：(分析法)‎ 要证+＞成立，‎ 只需证(a+b)( -ab+)＞ab(a+b)成立，‎ 即需证-ab+＞ab成立。(∵a+b＞0)‎ 只需证-2ab+＞0成立，‎ 即需证＞0成立。‎ 而由已知条件可知，a≠b，有a-b≠0，所以＞0显然成立，由此命题得证。‎ 证明二：(综合法)‎ ‎∵a≠b，∴a-b≠0，∴＞0，即-2ab+＞0‎ 亦即-ab+＞ab 由题设条件知，a+b＞0，∴(a+b)( -ab+)＞(a+b)ab 即+＞，由此命题得证。‎ 类型三、反证法证明相关问题 例6. 已知、、是整数，且求证：、、不可能都是奇数.‎ ‎【思路点拨】证明含有“不”“没有”“无”等否定性词语的命题，应考虑反证法。‎ ‎【‎ 解析】 设、、都是奇数，则、、都是奇数，‎ 所以为偶数， 所以 ， 这与已知矛盾， ‎ 所以、、不可能都是奇数.‎ ‎【总结升华】‎ ‎ 结论中含有“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题，此类问题的反面比较具体，适宜应用反证法． ‎ ‎ 举一反三：‎ ‎【变式1】设{an}是公比为q的等比数列，Sn为它的前n项和．‎ ‎（1）求证：数列{Sn}不是等比数列．‎ ‎（2）数列{Sn}是等差数列吗？为什么？‎ ‎【答案】‎ 假设{Sn}是等比数列，则，‎ 即．‎ ‎∵a1≠0，∴(1+q)2=1+q+q2．‎ 即q=0，与等比数列中公比q≠0矛盾．‎ 故{Sn}不是等比数列．‎ ‎【高清课堂：直接证明与间接证明401471 例题5】‎ ‎【变式2】证明：是无理数.‎ ‎【答案】假设不是无理数.即是有理数，那么必存在整数，‎ 使得，其中为既约分数，则，所以，于是 能整除，从而为偶数，设，所以，‎ 即，所以2能整除，于是m,n均为偶数，这与为既约分数 矛盾，所以假设不成立。从而原命题成立，即是无理数.‎ 例7. 如图所示，已知a，b，c是同一平面内的三条直线，a⊥c，b与c不垂直，‎ 求证：a与b必相交．‎ ‎【解析】‎ 证法一：‎ 假设a与b不相交，则a∥b，所以∠1=∠2．‎ 由于b与c不垂直，则∠2≠90°，即∠1≠90°，‎ 所以a与c不垂直，这与已知条件矛盾，所以a与b必相交．‎ 证法二：‎ 假设a与b不相交，则a∥6，所以∠1=∠2．‎ 因为a⊥c，所以∠1=90°，即∠2=90°，‎ 所以b⊥c，这与已知b与c不垂直矛盾，所以a与b必相交．‎ 证法三：‎ 假设a与b不相交，则a∥b，所以∠1=∠2．‎ 又b与c不垂直，则∠2≠90°，即∠1≠90°．‎ 又因为a⊥c，所以∠1=90°，得出∠1≠90°与∠1=90°自相矛盾，所以a与b必相交．‎ ‎【总结升华】题设简单明了，从正面入手较难，而反面易于导出矛盾的命题，常用反证法．‎ 用直接法难以下手，但其结论的反面非常明显，因此用反证法证明比较方便． ‎ 举一反三：‎ ‎【变式】求证：两条相交直线有且只有一个交点．‎ ‎【答案】证明：假设结论不成立，即有两种可能：‎ ‎（1）若直线a、b无交点，那么a∥b，与已知矛盾；‎ ‎（2）若直线a、b不止有一个交点，则至少有两个交点A和B，这样同时经过点A、B就有两条直线，这与“经过两点有且只有一条直线”相矛盾．‎ 综上所述，两条相交直线有且只有一个交点．‎ 例8.若都是正实数，，求证: 、中至少有一个成立.‎ ‎【思路点拨】“至多”或“至少”语句的证明宜用反证法。‎ ‎【‎ 解析】‎ 假设和都不成立，则有和同时成立.‎ 因为且，所以且.‎ 两式相加得 ，‎ 所以， 这与已知条件矛盾，‎ 所以、中至少有一个成立.‎ ‎【总结升华】从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而从反面进行证明，只要研究一种或很少的几种情形的问题多用反证法.比如带有“至少有一个”等字样的数学问题.‎ 举一反三：‎ ‎【变式】已知，求证：中至少有一个大于.‎ ‎【答案】假设都小于或等于，‎ ‎ 因为 ，所以三者同为正或一正两负，‎ ‎ 又因为，所以三者中有两负一正，‎ ‎ 不妨设，则 ‎ 由均值不等式得，即， ‎ ‎ 解得，与假设矛盾，所以 中至少有一个大于.‎