2019高三数学（人教A版 文）一轮课时分层训练25 平面向量的数量积与平面向量应用举例

2019高三数学（人教A版 文）一轮课时分层训练25 平面向量的数量积与平面向量应用举例

课时分层训练(二十五)　‎ 平面向量的数量积与平面向量应用举例 ‎ (对应学生用书第194页)‎ A组　基础达标 ‎(建议用时：30分钟)‎ 一、选择题 ‎1．在边长为1的等边△ABC中，设＝a，＝b，＝c，则a·b＋b·c＋c·a＝‎ ‎(　　)‎ A．－　　　　 B．0　　　　‎ C．　　　　 D．3‎ A　[依题意有a·b＋b·c＋c·a＝＋＋＝－.]‎ ‎2．(2016·全国卷Ⅱ)已知向量a＝(1，m)，b＝(3，－2)，且(a＋b)⊥b，则m＝(　　)‎ A．－8 B．－6 ‎ C．6 D．8‎ D　[法一：因为a＝(1，m)，b＝(3，－2)，所以a＋b＝(4，m－2)．‎ 因为(a＋b)⊥b，所以(a＋b)·b＝0，所以12－2(m－2)＝0，解得m＝8.‎ 法二：因为(a＋b)⊥b，所以(a＋b)·b＝0，即a·b＋b2＝3－2m＋32＋(－2)2＝16－2m＝0，解得m＝8.]‎ ‎3．(2018·湛江模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，＝(1，－2)，＝(2,1)，则·等于(　　) 【导学号：79170138】‎ A．5 B．4‎ C．3 D．2‎ A　[∵四边形ABCD为平行四边形，∴＝＋＝(1，－2)＋(2,1)＝(3，－1)．∴·＝2×3＋(－1)×1＝5，选A．]‎ ‎4．(2016·安徽黄山二模)已知点A(0,1)，B(－2,3)，C(－1,2)，D(1,5)，则向量在方向上的投影为(　　)‎ A． B．－ C． D．－ D　[∵＝(－1,1)，＝(3,2)，‎ ‎∴在方向上的投影为||cos〈，〉＝＝＝＝－.故选D．]‎ ‎5．已知非零向量a，b满足|b|＝4|a|，且a⊥(2a＋b)，则a与b的夹角为(　　)‎ A． B． ‎ C． D． C　[∵a⊥(2a＋b)，∴a·(2a＋b)＝0，‎ ‎∴2|a|2＋a·b＝0，‎ 即2|a|2＋|a||b|cos〈a，b〉＝0.‎ ‎∵|b|＝4|a|，∴2|a|2＋4|a|2cos〈a，b〉＝0，‎ ‎∴cos〈a，b〉＝－，∴〈a，b〉＝.]‎ 二、填空题 ‎6．(2018·黄冈模拟)已知向量a＝(1，)，b＝(3，m)，且b在a上的投影为－3，则向量a与b的夹角为________．‎ π　[∵b在a上的投影为－3，‎ ‎∴|b|cos〈a，b〉＝－3，又|a|＝＝2，∴a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝－6，又a·b＝1×3＋m，∴3＋m＝－6，解得m＝－3，则b＝(3，－3)，∴|b|＝＝6，∴cos〈a，b〉＝＝＝－，∵0≤〈a，b〉≤π，∴a与b的夹角为π.]‎ ‎7．在△ABC中，若·＝·＝·，则点O是△ABC的________(填“重心”“垂心”“内心”或“外心”). 【导学号：79170139】‎ 垂心　[∵·＝·，‎ ‎∴·(－)＝0，‎ ‎∴·＝0，‎ ‎∴OB⊥CA，即OB为△ABC底边CA上的高所在直线．‎ 同理·＝0，·＝0，故O是△ABC的垂心．]‎ ‎8．如图431，在平行四边形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，＝3，·＝2，则·的值是________．‎ 图431‎ ‎22　[由题意知：＝＋＝＋，‎ ＝＋＝＋＝－，‎ 所以·＝·＝2－·－2，即2＝25－·AB－×64，解得·＝22.]‎ 三、解答题 ‎9．已知|a|＝4，|b|＝8，a与b的夹角是120°.‎ ‎(1)计算：①|a＋b|，②|4a－2b|；‎ ‎(2)当k为何值时，(a＋2b)⊥(ka－b)．‎ ‎[解]　由已知得，a·b＝4×8×＝－16. 2分 ‎(1)①∵|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝16＋2×(－16)＋64＝48，‎ ‎∴|a＋b|＝4. 4分 ‎②∵|4a－2b|2＝16a2－16a·b＋4b2＝16×16－16×(－16)＋4×64＝768，‎ ‎∴|4a－2b|＝16. 6分 ‎(2)∵(a＋2b)⊥(ka－b)，∴(a＋2b)·(ka－b)＝0， 8分 ‎∴ka2＋(2k－1)a·b－2b2＝0，‎ 即16k－16(2k－1)－2×64＝0，∴k＝－7.‎ 即k＝－7时，a＋2b与ka－b垂直. 12分 ‎10．(2018·德州模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(cos(A－B)，sin(A－B))，n＝(cos B，－sin B)，且m·n＝－.‎ ‎(1)求sin A的值；‎ ‎(2)若a＝4，b＝5，求角B的大小及向量在方向上的投影. ‎ ‎【导学号：79170140】‎ ‎[解]　(1)由m·n＝－，‎ 得cos(A－B)cos B－sin(A－B)sin B＝－， 2分 化简得cos A＝－.因为0＜A＜π，‎ 所以sin A＝＝＝. 4分 ‎(2)由正弦定理，得＝，‎ 则sin B＝＝＝， 6分 因为a＞b，所以A＞B，且B是△ABC一内角，则B＝. 8分 由余弦定理得(4)2＝52＋c2－2×5c×，‎ 解得c＝1，c＝－7(舍去)， 10分 故向量在方向上的投影为||cos B＝ccos B＝1×＝. 12分 B组　能力提升 ‎(建议用时：15分钟)‎ ‎1．(2018·山西四校联考)向量a，b满足|a＋b|＝2|a|，且(a－b)·a＝0，则a，b的夹角的余弦值为(　　)‎ A．0 B． C． D． B　[(a－b)·a＝0⇒a2＝b·a，|a＋b|＝2|a|⇒a2＋b2＋2a·b＝12a2⇒b2＝9a2，所以cos〈a，b〉＝＝＝.]‎ ‎2．(2018·武汉模拟)已知向量⊥，||＝3，则·＝________.‎ ‎9　[因为⊥，所以·＝0，所以·＝·(＋)＝2＋·＝||2＋0＝32＝9.]‎ ‎3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(a－c)·＝c·.‎ ‎(1)求角B的大小；‎ ‎(2)若|－|＝，求△ABC面积的最大值．‎ ‎ 【导学号：7917041】‎ ‎[解]　(1)由题意得(a－c)cos B＝bcos C．‎ 根据正弦定理得(sin A－sin C)cos B＝sin Bcos C，‎ 所以sin Acos B＝sin(C＋B)， 2分 即sin Acos B＝sin A，因为A∈(0，π)，所以sin A>0，‎ 所以cos B＝，又B∈(0，π)，所以B＝. 5分 ‎(2)因为|－|＝，所以||＝， 7分 即b＝，根据余弦定理及基本不等式得6＝a2＋c2－ac≥2ac－ac＝(2－)ac(当且仅当a＝c时取等号)，‎ 即ac≤3(2＋)， 9分 故△ABC的面积S＝acsin B≤，‎ 即△ABC的面积的最大值为. 12分