【数学】2019届文科一轮复习人教A版4-3平面向量的数量积与平面向量应用举例教案

【数学】2019届文科一轮复习人教A版4-3平面向量的数量积与平面向量应用举例教案

第三节　平面向量的数量积与平面向量应用举例 ‎ [考纲传真]　(教师用书独具)1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．‎ ‎ (对应学生用书第61页)‎ ‎ [基础知识填充]‎ ‎1．平面向量的数量积 ‎ (1)定义：已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|·cos θ叫做a与b的数量积(或内积)．规定：零向量与任一向量的数量积为0.‎ ‎ (2)几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积．‎ ‎2．平面向量数量积的运算律 ‎ (1)交换律：a·b＝b·a；‎ ‎ (2)数乘结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；‎ ‎ (3)分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·C．‎ ‎3．平面向量数量积的性质及其坐标表示 ‎ 设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ＝〈a，b〉．‎ 结论 几何表示 坐标表示 模 ‎|a|＝ ‎|a|＝ 数量积 a·b＝|a||b|cos θ a·b＝x1x2＋y1y2‎ 夹角 cos θ＝ cos θ＝ a⊥b a·b＝0‎ x1x2＋y1y2＝0‎ ‎|a·b|与|a||b|的关系 ‎|a·b|≤|a||b|‎ ‎|x1x2＋y1y2|≤· ‎[知识拓展]‎ ‎1．两个向量a，b的夹角为锐角⇔a·b＞0且a，b不共线；‎ ‎ 两个向量a，b的夹角为钝角⇔a·b＜0且a，b不共线．‎ ‎2．平面向量数量积运算的常用公式 ‎ (1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.‎ ‎ (2)(a＋b)2＝a2＋‎2a·b＋b2.‎ ‎ (3)(a－b)2＝a2－‎2a·b＋b2.‎ ‎3．当a与b同向时，a·b＝|a||b|；‎ ‎ 当a与b反向时，a·b＝－|a||b|.‎ ‎[基本能力自测]‎ ‎1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎ (1)两个向量的数量积是一个实数，向量的数乘运算的运算结果是向量．(　　)‎ ‎ (2)由a·b＝0，可得a＝0或b＝0.(　　)‎ ‎ (3)由a·b＝a·c及a≠0不能推出b＝C．(　　)‎ ‎ (4)在四边形ABCD中，＝且·＝0，则四边形ABCD为矩形. (　　)‎ ‎ [答案]　(1)√　(2)×　(3)√　(4)×‎ ‎2．(2016·全国卷Ⅲ)已知向量＝，＝，则∠ABC＝(　　)‎ ‎ A．30°　　　 B．45°　　　‎ ‎ C．60°　　　 D．120°‎ ‎ A　[因为＝，＝，所以·＝＋＝.又因为·＝||||cos∠ABC＝1×1×cos∠ABC，所以cos∠ABC＝.又0°≤∠ABC≤180°，所以∠ABC＝30°.故选A．]‎ ‎3．(2015·全国卷Ⅱ)向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，则(‎2a＋b)·a＝(　　)‎ ‎ A．－1 B．0 ‎ ‎ C．1 D．2‎ ‎ C　[法一：∵a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，∴a2＝2，a·b＝－3，‎ ‎ 从而(‎2a＋b)·a＝‎2a2＋a·b＝4－3＝1.‎ ‎ 法二：∵a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，‎ ‎ ∴‎2a＋b＝(2，－2)＋(－1,2)＝(1,0)，‎ ‎ 从而(‎2a＋b)·a＝(1,0)·(1，－1)＝1，故选C．]‎ ‎4．(教材改编)已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角θ＝120°，则向量b在向量a方向上的投影为________．‎ ‎ －2　[由数量积的定义知，b在a方向上的投影为|b|cos θ＝4×cos 120°＝－2.]‎ ‎5．(2017·全国卷Ⅰ)已知向量a＝(－1,2)，b＝(m,1)．若向量a＋b与a垂直，则m＝________.‎ ‎ 7　[∵a＝(－1,2)，b＝(m,1)，‎ ‎ ∴a＋b＝(－1＋m,2＋1)＝(m－1,3)．‎ ‎ 又a＋b与a垂直，∴(a＋b)·a＝0，‎ ‎ 即(m－1)×(－1)＋3×2＝0，‎ ‎ 解得m＝7.]‎ ‎(对应学生用书第62页)‎ 平面向量数量积的运算 ‎　(1)(2016·天津高考)已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则·的值为 ‎(　　)‎ ‎ A．－　　　　 B．　　　　‎ ‎ C．　　　　 D． ‎ (2)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则·的值为________；·的最大值为________. 【导学号：79170135】‎ ‎ (1)B　(2)1　1　[(1)如图所示，＝＋.‎ ‎ 又D，E分别为AB，BC的中点，‎ ‎ 且DE＝2EF，所以＝，＝＋＝，‎ ‎ 所以＝＋.‎ ‎ 又＝－，‎ ‎ 则·＝·(－)‎ ‎ ＝·－2＋2－· ‎ ＝2－2－·.‎ ‎ 又||＝||＝1，∠BAC＝60°，‎ ‎ 故·＝－－×1×1×＝.故选B．‎ ‎ (2)法一：以射线AB，AD为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)，设E(t,0)，t∈[0,1]，则＝(t，－1)，＝(0，－1)，所以·＝(t，－1)·(0，－1)＝1.‎ ‎ 因为＝(1,0)，所以·＝(t，－1)·(1,0)＝t≤1，‎ ‎ 故·的最大值为1.‎ ‎ 法二：由图知，无论E点在哪个位置，在方向上的投影都是CB＝1，所以 eq o(DE,sup8(→))·＝||·1＝1，‎ ‎ 当E运动到B点时，在方向上的投影最大，即为DC＝1，‎ ‎ 所以(·)max＝||·1＝1.]‎ ‎ [规律方法]　　1.求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．‎ ‎ 2．(1)要有“基底”意识，关键用基向量表示题目中所求相关向量．(2)注意向量夹角的大小，以及夹角θ＝0°，90°，180°三种特殊情形．‎ ‎[变式训练1]　(1)已知＝(2,1)，点C(－1,0)，D(4,5)，则向量在方向上的投影为 (　　)‎ ‎ A．－ B．－‎3 ‎ ‎ C． D．3 ‎ (2)(2018·榆林模拟)已知在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝，＝2，点F在边CD上．若·＝3，则·的值为(　　) 【导学号：79170136】‎ ‎ A．0 B． ‎ ‎ C．－4 D．4‎ ‎ (1)C　(2)C　[(1)因为点C(－1,0)，D(4,5)，所以CD＝(5,5)，又＝(2,1)，所以向量在方向上的投影为 ‎ ||cos〈，〉＝＝＝.‎ ‎ (2)由·＝3得·(＋)＝·＝3，‎ ‎ 所以||＝1，||＝2，‎ ‎ 所以·＝(＋)·(＋)＝·＋·＋·＋·＝·＋·＝－6＋2＝－4.]‎ 平面向量数量积的性质 角度1　平面向量的模 ‎　(1)(2017·合肥二次质检)已知不共线的两个向量a，b满足|a－b|＝2且a⊥(a－2b)，则|b|＝(　　)‎ ‎ A． B．2 ‎ ‎ C．2 D．4‎ ‎ (2)(2018·西安模拟)已知平面向量a，b的夹角为，且|a|＝，|b|＝2，在△ABC中，＝‎2a＋2b，＝‎2a－6b，D为BC的中点，则||＝________.‎ ‎ (1)B　(2)2　[(1)由a⊥(a－2b)得a·(a－2b)＝|a|2－‎2a·b＝0.又∵|a－b|＝2，∴|a－b|2＝|a|2－‎2a·b＋|b|2＝4，则|b|2＝4，|b|＝2，故选B．‎ ‎ (2)因为＝(＋)‎ ‎ ＝(‎2a＋2b＋‎2a－6b)＝‎2a－2b，‎ ‎ 所以||2＝4(a－b)2＝4(a2－2b·a＋b2)‎ ‎ ＝4×(3－2×2××cos＋4)＝4，‎ ‎ 所以||＝2.]‎ 角度2　平面向量的夹角 ‎　(1)已知单位向量e1与e2的夹角为α，且cos α＝，向量a＝3e1－2e2与b＝3e1－e2的夹角为β，则cos β＝________.‎ ‎ (2)若向量a＝(k,3)，b＝(1,4)，c＝(2,1)，已知‎2a－3b与c的夹角为钝角，则k 的取值范围是________．‎ ‎ (1)　(2)∪　[(1)因为a2＝(3e1－2e2)2‎ ‎ ＝9－2×3×2×12×cos α＋4＝9，‎ ‎ 所以|a|＝3，‎ ‎ 因为b2＝(3e1－e2)2＝9－2×3×1×12×cos α＋1＝8，‎ ‎ 所以|b|＝2，‎ ‎ a·b＝(3e1－2e2)·(3e1－e2)‎ ‎ ＝9e－9e1·e2＋2e＝9－9×1×1×＋2＝8，‎ ‎ 所以cos β＝＝＝.‎ ‎ (2)∵‎2a－3b与c的夹角为钝角，‎ ‎ ∴(‎2a－3b)·c＜0，‎ ‎ 即(2k－3，－6)·(2,1)＜0，‎ ‎ ∴4k－6－6＜0，‎ ‎ ∴k＜3.‎ ‎ 又若(‎2a－3b)∥c，则2k－3＝－12，即k＝－.‎ ‎ 当k＝－时，‎2a－3b＝(－12，－6)＝－‎6c，‎ ‎ 即‎2a－3b与c反向．‎ ‎ 综上，k的取值范围为∪.]‎ 角度3　平面向量的垂直 ‎　(2016·山东高考)已知向量a＝(1，－1)，b＝(6，－4)．若a⊥(ta＋b)，则实数t的值为________．‎ ‎ －5　[∵a＝(1，－1)，b＝(6，－4)，∴ta＋b＝(t＋6，－t－4)．‎ ‎ 又a⊥(ta＋b)，则a·(ta＋b)＝0，即t＋6＋t＋4＝0，解得t＝－5.]‎ ‎ [规律方法]　　1.求两向量的夹角：cos θ＝，要注意θ∈[0，π]．‎ ‎ 2．两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是：a⊥b⇔a·b＝0⇔|a－b ‎|＝|a＋b|.‎ ‎ 3．求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有：‎ ‎ (1)a2＝a·a＝|a|2或|a|＝.‎ ‎ (2)|a±b|＝＝.‎ ‎ (3)若a＝(x，y)，则|a|＝.‎ 平面向量与三角函数的综合 ‎　(2018·佛山模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知向量m＝，n＝(sin x，cos x)，x∈.‎ ‎ (1)若m⊥n，求tan x的值；‎ ‎ (2)若m与n的夹角为，求x的值． 【导学号：79170137】‎ ‎ [解]　(1)因为m＝，n＝(sin x，cos x)，m⊥n.‎ ‎ 所以m·n＝0，即sin x－cos x＝0，‎ ‎ 所以sin x＝cos x，所以tan x＝1.‎ ‎ (2)因为|m|＝|n|＝1，所以m·n＝cos＝，‎ ‎ 即sin x－cos x＝，‎ ‎ 所以sin＝，‎ ‎ 因为0＜x＜，所以－＜x－＜，‎ ‎ 所以x－＝，即x＝.‎ ‎ [规律方法]　　平面向量与三角函数的综合问题的解题思路 ‎ (1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．‎ ‎ ‎ ‎(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数的定义域内的有界性，求得值域等．‎ ‎[变式训练2]　(2018·郴州模拟)已知向量a＝，b＝(cos x，－1)．‎ ‎ (1)当a∥b时，求tan 2x的值；‎ ‎ (2)求函数f(x)＝(a＋b)·b在上的值域．‎ ‎ [解]　(1)∵a∥b，a＝，b＝(cos x，－1)‎ ‎ ∴sin x·(－1)－·cos x＝0，‎ ‎ 即sin x＋cos x＝0，‎ ‎ 得sin x＝－cos x，‎ ‎ ∴tan x＝＝－，‎ ‎ ∴tan 2x＝＝.‎ ‎ (2)∵a＝，b＝(cos x，－1)，‎ ‎ ∴a·b＝sin xcos x－，b2＝cos2x＋(－1)2＝cos2x＋1，‎ ‎ ∴f(x)＝(a＋b)·b＝a·b＋b2＝sin xcos x－＋cos2x＋1＝sin 2x＋(1＋cos 2x)－＝sin.‎ ‎ ∵x∈，∴2x＋∈，‎ ‎ ∴sin∈，‎ ‎ ∴f(x)＝sin∈.‎ ‎ 故函数f(x)＝(a＋b)·b在上的值域为.‎