【数学】宁夏吴忠市2020届高三下学期高考模拟联考试题（文）（解析版）

【数学】宁夏吴忠市2020届高三下学期高考模拟联考试题（文）（解析版）

宁夏吴忠市2020届高三下学期高考模拟联考 数学试题（文）‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1.设集合，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为，‎ ‎，‎ 所以.‎ 故选：C.‎ ‎2.已知，其中是虚数单位，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】，，‎ ‎.‎ 故选：A.‎ ‎3.已知，则的大小关系为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】，.‎ 故选：D.‎ ‎4.已知向量，，且与夹角不大于，则的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意得：，，‎ ‎，‎ 设与夹角为，则，‎ ‎，，即，‎ ‎，解得：，即的取值范围为.‎ 故选：B.‎ ‎5.《九章算术》中有一题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟四斗．羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．”今欲衰偿之，问各出几何？其意是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿4斗粟，羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半．”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半．”打算按此比率偿还，牛、马、羊的主人各应赔偿多少粟？在这个问题中，牛主人比羊主人多赔偿了多少斗（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】羊、马、牛的主人赔偿的粟数成等比数列，公比为，设羊主人赔偿粟，‎ 则，解得：；‎ 羊主人赔偿粟，牛主人赔偿粟，牛主人比羊主人多赔偿粟.‎ 故选：.‎ ‎6.以双曲线一个焦点为圆心，为半径的圆与的渐近线相切，则的离心率等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由已知双曲线的渐近线为，选取其中一条计算，即，‎ 由点到渐近线的距离得，‎ 故有，解得 ‎ 即离心率，‎ 故选：D.‎ ‎7.某中学高二年级共有学生2400人，为了解他们的身体状况，用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本，若样本中共有男生42人，则该校高二年级共有女生（ ）‎ A. 1260 B. ‎1230 ‎C. 1200 D. 1140‎ ‎【答案】D ‎【解析】设女生总人数为：人，由分层抽样的方法可得：‎ 抽取女生人数为：人，‎ 所以，解得：‎ 故选D ‎8.已知直线a、b，平面、，且，则是的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 ‎ C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】若，如果，则不成立；‎ 若，过做一平面，且，‎ 则.‎ 所以当时，是的充分不必要条件.‎ 故选：A.‎ ‎9.将函数的图像向右平移个单位长度后得到函数的图像，且的图像关于点对称，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题得，‎ 因为的图象关于点对称，所以，，所以，‎ 因为，所以=.‎ 故选：D.‎ ‎10.已知数列的前n项和为，满足，且数列的前6项和等于321，则m的值等于（ ）‎ A. B. C. 1 D. 2‎ ‎【答案】B ‎【解析】依题意，当时，，‎ 当，，‎ 若，则数列的前6项和等于，不合题意，‎ ‎，所以数列是以为首项，‎ 公比为的等比数列，，‎ 数列的前6项和为 ‎.‎ 故选：B.‎ ‎11.已知直线与抛物线相交于A，B两点，O为坐标原点，则为（ ）‎ A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不确定 ‎【答案】C ‎【解析】直线与抛物线相交于A，B两点，‎ 所以，将直线方程化为，‎ 联立，消去，得，‎ ‎，设，‎ ‎，‎ 所以为钝角，故钝角三角形.‎ 故选：C.‎ ‎12.定义在R上的偶函数满足，当时，，设函数，则和的图象所有交点横坐标之和等于（ ）‎ A. 8 B. ‎6 ‎C. 4 D. 2‎ ‎【答案】C ‎【解析】∵定义在R上偶函数满足，‎ ‎∴函数的图象关于直线和轴对称，‎ 而函数的图象也关于直线对称，‎ 当时，，‎ 先画出函数和在上的图象，再根据对称性得到上的图象如图，‎ 由图可知，函数和在上的图象共有2个交点，且关于直线对称，‎ ‎∴函数和的图象所有交点横坐标之和为，‎ 故选：C．‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13.随着养生观念的深入，国民对餐饮卫生条件和健康营养要求提高．吃烧烤的人数日益减少，烧烤店也日益减少．某市对2015年到2019年五年间全市烧烤店盈利店铺的个数进行了统计，具体统计数据如下表：‎ 年份 ‎2015‎ ‎2016‎ ‎2017‎ ‎2018‎ ‎2019‎ 年份代号（）‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 盈利店铺的个数（y）‎ ‎260‎ ‎240‎ ‎215‎ ‎200‎ ‎180‎ 根据所给数据，得出y关于t的回归方程，估计该市2020年盈利烧烤店铺的个数为_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】,,‎ 由，则，得，故，‎ 令，得.‎ 故答案为：‎ ‎14.若变量x、y满足约束条件，则函数的最小值等于_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】不等式组表示的可行域如图所示：‎ 根据得到，‎ 表示直线在轴上的截距.‎ ‎，解得，即.‎ 当函数经过时，取得最小值.‎ ‎.‎ 故答案为：.‎ ‎15.已知函数，且，则_________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，‎ ‎，，‎ ‎，‎ 故答案为：.‎ ‎16.如图，在边长等于2正方形中，点Q是中点，点M，N分别在线段上移动（M不与A，B重合，N不与C，D重合），且，沿着将四边形折起，使得面面，则三棱锥体积的最大值为________；当三棱锥体积最大时，其外接球的表面积为________．‎ ‎ ‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】依题意设,则,‎ 因为,所以,又面面，面面，所以面，‎ 所以是三棱锥的高，‎ 所以三棱锥的体积，‎ 当时，有最大值，‎ ‎（2）由（1）知道三棱锥体积取得最大值时, ，‎ 折起如图所示：依题意可建立如图所示空间直角坐标系：所以,,,，‎ 设三棱锥外接球的球心为，‎ ‎ ，‎ 解所以，‎ 外接球面积为.‎ 故答案为：.‎ ‎ ‎ 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答．‎ ‎（一）必考题：共60分．‎ ‎17.已知在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足．‎ ‎（1）求角C的大小；‎ ‎（2）若，的面积等于，求c边长．‎ 解：（1）由正弦定理可知，‎ ‎，‎ ‎，‎ 即 ‎，‎ ‎，‎ ‎（2），‎ ‎18.已知四棱锥中，面面，底面为矩形，且，，，O为的中点，点E在上，且．‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）在上是否存在一点F，使面，若存在，试确定点F的位置．‎ ‎（1）证明：连接,，如图，‎ 在四棱锥中，，O为的中点，‎ ‎，又面面，‎ 面，‎ 在矩形中，，，‎ 由勾股定理知，解得，‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ 又，‎ 面,又平面，‎ ‎（2）解：存在F为PB的三等分点(靠近点B).‎ 证明：取BC的三等分点M (靠近点C ) ,连接AM , 如图 易知,‎ 四边形是平行四边形，‎ ‎，‎ 取BM中点N，连接ON，‎ ‎ N为BM中点， N为BC的三等分点(靠近点B )，‎ 连接，‎ ‎,‎ 又，‎ 平面平面，又平面 面 ‎19.近年来，我国电子商务行业迎来了蓬勃发展新机遇，但是电子商务行业由于缺乏监管，服务质量有待提高．某部门为了对本地的电商行业进行有效监管，调查了甲、乙两家电商的某种同类产品连续十天的销售额（单位：万元），得到如下茎叶图：‎ ‎（1）根据茎叶图判断甲、乙两家电商对这种产品的销售谁更稳定些？‎ ‎（2）如果日销售额超过平均销售额，相应的电商即被评为优，根据统计数据估计两家电商一个月（按30天计算）被评为优的天数各是多少．‎ 解：（1）(万元)，‎ ‎，‎ ‎(万元)‎ 因为，‎ 所以甲电商对这种产品的销售更稳定.‎ ‎（2）由题中茎叶图可知，甲电商该类产品这10天的日销售额数据超过122万元的为126，128，132，134，141，共5天，即评为优的频率为，由此可估计一个月30天甲被评为优的天数为天，‎ 乙电商该类产品这10天的日销售额数据超过126万元的为132，136，139，148，共4天，即评为优的频率为，由此可估计一个月30天乙被评为优的天数为天.‎ ‎20.已知椭圆的离心率为，过椭圆内点的直线与椭圆E相交于A，B两点，C为椭圆的左顶点，当直线过点时，的面积为．‎ ‎（1）求椭圆E的方程；‎ ‎（2）求证：当直线l不过C点时，为定值．‎ ‎（1）解：由题意可知，‎ 又，‎ ‎，‎ ‎，‎ 所求椭圆的标准方程为 ‎（2）证明：设，‎ 由直线l不过C点可设，‎ 联立直线与椭圆方程，可得：‎ ‎，‎ 即为定值.‎ ‎21.已知函数．‎ ‎（1）求函数的最大值；‎ ‎（2）若函数存在两个零点，证明：．‎ 解：（1）函数定义域是，由题意，‎ 当时，，递增，当时，，递减，‎ 所以时，取得唯一的极大值也是最大值．‎ ‎（2）由（1），即时，有两个零点，（），则，，‎ 由，得，‎ 令，则，，，‎ ‎，显然成立，‎ 要证，即证，‎ 只要证，即证，（），‎ 令，，‎ ‎，，‎ 令，则，，‎ 令，‎ ‎，，‎ 令，‎ ‎，时，是减函数，所以时，，‎ 所以是减函数，，即（），‎ 所以是减函数，，所以，在时是减函数，‎ ‎，即，所以在上是减函数，，‎ 所以，即，‎ 综上，成立．‎ ‎（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．‎ ‎【选修4-4：坐标系与参数方程】‎ ‎22.已知圆C的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．‎ ‎（1）求圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程；‎ ‎（2）求直线l被圆C截得弦的长．‎ 解：（1）（为参数），，‎ 圆C的普通方程；‎ ‎，‎ 又代入上式得：.‎ 直线l的直角坐标方程.‎ ‎（2）圆的圆心坐标为，设圆心到直线的距离为，‎ ‎，‎ 弦长.‎ ‎【选修4-5：不等式选讲】‎ ‎23.已知函数．‎ ‎(1)若，求实数x的取值范围；‎ ‎(2)若对于任意实数x，不等式恒成立，求实数a的值范围．‎ 解：(1)由题，；当时，，解得；‎ 当时，恒成立，解得；‎ 当时，，解得.综上有.‎ 故实数x的取值范围为 ‎(2)因为，当时，；‎ 当时，；当时，.‎ 故的最小值为.‎ 故，即，解得.‎ 故实数a的值范围为