数学理卷·2018届贵州省都匀第一中学高三10月月考（2017

数学理卷·2018届贵州省都匀第一中学高三10月月考（2017

都匀一中 2018 届高三第三次月考（理科）数学试卷 出题人：杨春梅 审题人：许军 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分）.‎ ‎1．若集合 M = {( x, y) x + y = 0}, N = {( x, y) x2 + y 2 = 0, x Î R, y Î R} ，则有（ ）‎ A． M U N = M ‎1 - ai ‎B． M U N = N ‎C． M I N = M ‎D． M I N = Æ ‎2.若复数 z = ‎‎ ‎1 - i ‎（ a Î R ）的虚部为 2 ，则 z = （ ）‎ A． 5 B． 10 C. 2 3 D． 13‎ ‎，‎ ‎3.已知幂函数 f ( x) = xa 的图象过点（3 1 ），则函数 f ( x) 在区间 é 1 , 2ù 上的最小值是（ ）‎ ‎3 êë 2 úû A． -1‎ ‎4.已知 a = log 2 0.1,‎ ‎B． 1‎ ‎2‎ b = 2 0.1,‎ ‎C．1 D． 2‎ c = 0.21.1 ，则 a, b, c 的大小关系是（ ）‎ A． a < b < c ‎B． b < c < a ‎C． c < a < b ‎1‎ ‎D． a < c < b ‎1‎ ‎5.把函数 y = log 2 (x - 1) 的图象上各点的横坐标缩短到原来的 ‎2‎ 度所得图象的函数式为( )‎ ‎倍，再向右平移 ‎2‎ ‎个单位长 A．y = log 2 (2 x + 1) ‎B．y = log 2 (2 x + 2) x 2 - 5x + 6‎ ‎C．y = log 2 (2 x -1) ‎D．y = log 2 (2 x - 2) ‎6.函数 f ( x) = ‎4 - x + lg ‎‎ x - 3‎ ‎的定义域为( )‎ A． (2 , 3) ‎B． (2 , 4) ‎C. (2 , 3)È (3 , 4] ‎D． (-1, 3)È (3 , 6] ‎7. 给出四个函数，分别满足①‎ ‎‎ f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ) ，② g ( x + y ) = g ( x )× g ( y ) ，‎ ‎③ h ( x × y ) = h ( x ) + h ( y ) ，④ m ( x × y ) = m ( x ) × m ( y ) ．又给出四个函数的图象，那么正 确的匹配方案可以是（ ）‎ A．①甲，②乙，③丙，④丁 B．①乙，②丙，③甲，④丁 C．①丙，②甲，③乙，④丁 D．①丁，②甲，③乙，④丙 ‎8.下列四个命题：（1）函数 f ( x) 在 x > 0 时是增函数， x < 0 也是增函数，所以 f ( x) 是 增 函数；（2）若函数 f ( x) = ax 2 + bx + 2 与 x 轴没有交点，则 a > 0 且 b2 - 8a < 0 ；（3）‎ y = x 2 - 2 x - 3 的递增区间为 [1，+ ¥) ；（4） y = 1 + x 和 y = ‎(1 + x)2 表示相等函数.其 中正确命题的个数是（ ）‎ A． 0 B．1 C． 2 D． 3‎ ‎9.函数 y = x - 2 sin x 的图象大致是( )‎ ‎2‎ ‎10.已知函数 f ( x ) = ‎x ‎1 + x ‎+ e x ，则 ‎x1 + x2 > 0 是 ‎‎ f ( x1 ) + f ( x2 ) > f (-x1 ) + f (-x2 ) ‎的（ ）‎ A.充分不必要条件 B．必要不充分条件 C. 充要条件 D．既不充分也不必要条件 ì cospx, x Î[0, 1]‎ í ‎11.已知 f ( x) 为偶函数，当 x ³ 0 时，f ( x) = ï ‎2 ，则不等式 f ( x -1) £ 1‎ ï2 x -1, x Î ( 1 , +¥) 2‎ 的解集为（ ）‎ ‎1 2 4 7‎ ‎ïî ‎3 1 1 2‎ ‎2‎ ‎1 3 4 7‎ ‎‎ ‎3 1 1 3‎ A．[ , ] U [ , ]‎ ‎B．[- ‎, - ] U[ , ]‎ ‎C．[ , ] U [ , ]‎ ‎D．[- ‎, - ] U[ , ]‎ ‎4 3 3 4‎ ‎4 3 4 3‎ ‎3 4 3 4‎ ‎4 3 3 4‎ í ‎12.已知函数 f ( x) = ïì lg(- x) ,‎ ‎x < 0‎ ‎，若关于 x 的方程 f 2 ( x) - bf ( x) + 1 = 0 有 8 个不同的实 ïîx 2 - 6 x + 4 , x ³ 0‎ 数根，则实数 b 的取值范围是（ ）‎ æ 17 ö ‎æ 15 ö ‎æ 17 ù ‎æ 15 ö A. ç - ‎,-2 ÷ ‎B. ç - 2， ÷ ‎C. ç 2， ú ‎D. ç 2， ÷ è 4 ø ‎è 4 ø ‎è 4 û ‎è 4 ø 二、填空 题（本大题共 4 小题，每小题 5 分）.‎ ‎13.‎ ‎f ( x)‎ ‎是 定 义 在 R 上 的 周 期 为 3 的 奇 函 数 ， 当 0 < x < 1 时 ，‎ ‎f ( x) = 4 x ， 则 f (- 7 ) + f (6 ) = ．‎ ‎2‎ ( ) ‎( x + a)2 + sin x ‎14．设函数 f x = ,已知 f (2) = 5 则 f (-2) = .‎ x 2 + a 2‎ ® ® ® ‎15.已知 A, B, C 是直线 l 上的三点， O 是直线 l 外一点，向量 OA , OB , OC 满足 ® ® ® OA = [ f ( x) + f ¢(1)]OB- ln(x + 1)OC .则 f (x) 的解析式为 .‎ ‎16.对于函数 y = ‎f (x) ，若存在定义域 D 内某个区间 [a , b]，使得 y = ‎f (x) 在 [a , b]上的值 域也为 [a , b]，则称 y = ‎f (x) 在定义域 D 上封闭，如果函数 f ( x) = - ‎4 x ‎1 + x ‎‎ 在 R 上封闭，‎ 则 b - a = ．‎ 三、解答题（共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.‎ ‎17.在 DABC 中，内角 A, B, C 的对分别为 a , b , c ，且 cos 2B + cos B = 0 . (1)求角 B 的值；‎ ‎(2)求 b = ‎7 , a + c = 5 ,求 DABC 的面积.‎ ‎18.如图， AB 是圆 O 的直径， C 是圆 O 上异于 A, B 的一点，‎ DC ^‎ ‎BC ，DC / / EB ， AC ^ CE ‎，DC = EB = 1 ，AB = 4 .‎ ‎^‎ ‎(Ⅰ)求证： DE ‎平面ACD ；‎ ‎(Ⅱ)若 AC = BC ，求平面 AED 与平面 ABE 所成的锐二面角的 余弦值.‎ ‎19.某学校简单随机抽样方法抽取了 100 名同学，对其日均课外阅读时间：（单位：分钟） 进行调查，结果如下：‎ t ‎[0,15)‎ ‎[15,30)‎ ‎[30,45)‎ ‎[45,60)‎ ‎[60,75)‎ ‎[75,90)‎ 男同学人数 ‎7‎ ‎11‎ ‎15‎ ‎12‎ ‎2‎ ‎1‎ 女同学人数 ‎8‎ ‎9‎ ‎17‎ ‎13‎ ‎3‎ ‎2‎ 若将日均课外阅读时间不低于 60 分钟的学生称为“读书迷”‎ ‎（1）将频率视为概率，估计该校 4000 名学生中“读书迷”有多少人？‎ ‎（2）从已抽取的 8 名“读书迷”中随机抽取 4 位同学参加读书日宣传活动．‎ ‎①求抽取的 4 为同学中既有男同学又有女同学的概率；‎ ‎②记抽取的“读书迷”中男生人数为 X，求 X 的分布列和数学期望．‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎20.已知椭圆 E : y + x ‎‎ = 1(a > b > 0) 的上、下焦点分别为 F，F ,点 D 在椭圆上，‎ a 2 b2 1 2‎ DF2 ^ F1 F2 , DF1 F2 D 的面积为 2‎ 准线 l 经过 D 点.‎ ‎2 ，离心率 e = 2‎ ‎2‎ ‎‎ ‎.抛物线 C : x 2‎ ‎‎ = 2 py ( p > 0) 的 ‎（1）求椭圆 E 与抛物线 C 的方程；‎ ‎（2）过直线 l 上的动点 P 作抛物线的两条切线，切点为 A, B ,直线 AB 交椭圆于 M , N 两点，‎ 当坐标原点 O 落在以 MN 为直径的圆外时，求点 P 的横坐标 t 的取值范围.‎ ‎21.已知函数j(x) = ‎a x + 1‎ ‎‎ ‎, a 为正常数.‎ ‎(1)若 f ( x) = ln x +j(x)，且 a = 9 ，求函数 f (x) 的单调区间；‎ ‎2‎ ‎1 2 1 2‎ ‎(2)若 g (x) = ln x +j(x) ，且对任意 x , x Î (0,2]， x ¹ x ，都有 ‎‎ g (x2 ) - g (x1 ) x2 - x1‎ ‎‎ < -1，‎ 求 a 的取值范围.‎ 请考生在第 22、23 二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。‎ ìx = 1 + t ‎22.（本小题满分 10 分）在平面直角坐标系中，直线 l 的参数方程为 í îx = -3 + t ‎‎ ‎（ t 为参数），‎ 在以直角坐标系的原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C 的极坐标方 程为 r= 2 cosq ．‎ sin 2 q ‎（1）求曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的普通方程；‎ ‎（2）若直线 l 与曲线 C 相交于 A、B 两点，求 DAOB 的面积．‎ ‎23.（本小题满分 10 分）设函数 f ( x) = 2x - a + 2a ．‎ ‎（1）若不等式 f ( x) £ 6 的解集为{x | -6 £ x £ 4} ，求实数 a 的值；‎ ‎（2）在（1）的条件下，若不等式 f ( x) £ (k 2 -1) x - 5 的解集非空，求实数 k 的取值范围.‎ 都匀一中第三次月考理科数学答案 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 A A B D D C D A C C A C 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）‎ 题号 ‎13‎ ‎14‎ ‎15‎ ‎16‎ 答案 ‎-2‎ ‎-3‎ f (x) = ln(x + 1) + 1‎ ‎2‎ ‎6‎ 三、17.解：(1)在 DABC 中，由已知 cos 2B + cos B = 0 ,得 2 cos2 B + cos B - 1 = 0 ，计算得 出 cos B = ‎1 或 cos B = -1 (舍去).所以 B = ‎2‎ ‎p ‎. ………………（6 分)‎ ‎3‎ ‎(2)由余弦定理得 b2 = a 2 + c 2 - 2ac cos B .将 B = p ， b = ‎3‎ ‎‎ ‎7 代入上式，整理得 (a + c)2 - 3ac = 7 ，因为 a + c = 5 ，所以 ac = 6 ，所以 DABC 的面积 S = 1 ac sin B = 3 3 .‎ ‎2 2‎ ‎18.(1)证明：∵ DC ^ 面ABC ,∴ DC ^ BC ；又 AB是圆O的直径 ，∴ AC ^ BC ；‎ AC Ç DC = C ,∴ BC ^ 面ACD ,又∵ DC // EB, DC = EB, ∴四边形 BCDE 是平行四 边形，∴ DE // BC ；∴ DE ^ 面ACD . ………………（6 分）‎ ® ‎(2)以点 C 为原点，分别以 CA, CB, CD 为 x, y, z 建立空间直角坐标系，则 A(2‎ ‎2 ，0，0), D(0 , 0 ,1) ， B(0 , 2‎ ‎2 , 0), B(0 , 2‎ ‎2 ,1),∴ AD = (- 2‎ ‎2 , 0 ,1),‎ E = (0 , 2‎ ® ® D 2 , 0), AB = (- 2‎ ‎‎ ‎2 , 2‎ ‎‎ ) ® ‎2 , 0 , BE = (0 , 0 ,1) .‎ ® 设 n1 = (x , y , z )为平面 ADE 的法向量，则 ì ® ® ïn1 · AD = -2‎ í ‎2 x + z = 0‎ ‎, 令x ‎® = 1, 得 n1‎ ‎= (1, 0 , 2‎ ‎2 ).‎ ® ® ïîn1 · DE = 2‎ ‎2 y = 0‎ ® 设 n2 = (x , y , z ) 为平面 ABE 的法向量，则 ì ® ® ïn2 · AB = -2‎ ‎2 x + 2‎ ‎2 y = 0‎ ‎,‎ ‎‎ = 1,‎ ‎® = (1,1, 0).‎ í ® ® ‎令x 得 n2‎ ïîn1 · DE = z = 0‎ ® ® ‎1‎ ® ® n · n 1 2‎ 所以 cos ‎n1 , n2 = ® ‎2 = = .‎ ® 3 2 6‎ n1 · n2‎ 所以平面 AED与平面ABE 所成的锐二面角的余弦值为 ‎2‎ ‎. …………………（12 分）‎ ‎6‎ ‎19．解：（1）设该校 4000 名学生中“读书迷”有 x 人则 ‎‎ ‎8 = ‎100‎ ‎‎ x ‎4000‎ ‎‎ ‎，计算得出 x = 320 ，所以该校 4000 名学生中“读书迷”约有 320 人 …………（4 分）‎ ‎（2）抽取的 4 名同学既有男同学，又有女同学的概率 P = 1 - ‎4 13‎ C = C ‎5‎ ‎8‎ ‎4 14‎ ‎‎ ‎.（7 分）‎ ‚ X 可取 0,1,2,3.‎ ‎4 1 3‎ C ‎4‎ P(X = 0) = C5 = 1‎ ‎8 14‎ ‎, P(X = 1) = C3C5‎ C ‎4‎ ‎8‎ ‎= 3 ,‎ ‎7‎ ‎2 2 1‎ P(X = 2) = C3 C5‎ ‎= 3 , P(X = 3) = C5 = 1 .‎ C C ‎7‎ ‎14‎ ‎4 4‎ ‎8 8‎ 则 X 的分布列为：‎ x ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎1‎ ‎14‎ ‎3‎ ‎7‎ ‎3‎ ‎7‎ ‎1‎ ‎14‎ 则 X 的期望值为: E (X ) = 0 ´ 1‎ ‎+ 1´ 3 + 2 ´ 3 + 3 ´ 1 = 3‎ ‎‎ ‎…………………（12 分）‎ ‎14 7‎ ‎7 14 2‎ ‎2‎ ‎20.解：（1）根据题意可得 F1 (0 , c)， F2 (0 , - c)， c ‎‎ = a 2‎ ‎‎ - b2‎ ‎‎ ‎, DF2 ^ F1 F2 ，令 x = c ，可得 ‎2‎ y = ± b ‎‎ ‎2‎ ‎，可得 DF ‎= b ， DF F D 的面积为 S = 1 F F ‎‎ · DF ‎= 1 · 2c · b = 2 2 ，‎ ‎2‎ a 2 a 1 2‎ ‎2 1 2 2 2 a 将 e = ‎2 c b2‎ 代入上式可得 b = 2 ，由 e = 代入可得 e2 = 1 - ‎2 a a 2‎ ‎= 1 ，可得 a = 2‎ ‎2‎ ‎‎ ‎2 , c = 2 .‎ ‎2‎ ‎2‎ 即有椭圆 E 的方程为 y + x ‎‎ = 1 ；由 D 的纵坐标为 - 2 ，抛物线的准线方程为 y = -2 ，即 ‎8 4‎ 有抛物线 C 的方程为 x 2 = 8 y ；..................................（5 分）‎ ‎（2）设 A(x1 , y1 )， B(x2 , y2 ) ， M (x3 , y3 )， N (x4 , y4 ) ，由 ‎ y = ‎‎ ‎1 x 2‎ ‎8‎ ‎‎ ‎，可得 y¢ = ‎‎ ‎1 x ，‎ ‎4‎ PA : y - y ‎= 1 x ‎‎ x - x ‎‎ ‎，将 P(t , - 2) 代入可得 - 2 - y ‎= 1 x (t - x ) ，以及 y = 1 x 2 ，‎ ‎1 1 ( 1 ) ‎4‎ ‎1 4 1 1‎ ‎1 8 1‎ 可得 y ‎= 1 tx ‎‎ + 2 ，同理可得 y ‎= 1 tx ‎+ 2 ，即有直线 AB 的方程为 y = 1 tx + 2 ，将直 ‎1 4 1‎ ‎2 4 2 4‎ 线 AB 的 方 程 代 入 椭 圆 方 程 ， 可 得 (32 + t 2 )x 2 + 16tx - 64 = 0 ，‎ D = 256t 2 + 256(32 + t 2 ) > 0 ，‎ x3 + x ‎‎ ‎4 = - ® ‎‎ ‎16t t 2 + 32‎ ® ‎‎ ‎， x3 x4‎ ‎‎ = - 64 ，‎ ‎32 + t 2‎ æ 2 ö 2‎ 即有 OM · ON = x x ‎‎ + y y ‎= ç1 + t ‎÷ x x ‎+ t (x ‎+ x ) + 4 = 64 - 8t = ‎320‎ ‎- 8 ，‎ ‎3 4 3 4 ç è ø ® ® ‎16 ÷ 3‎ ‎4 2 3 4‎ ‎320‎ ‎32 + t 2‎ ‎32 + t 2‎ 由点 O 在圆外，可得 OM · ON > 0 ，即为 ‎‎ ‎32 + t 2‎ ‎- 8 > 0 ，计算得出 - 2‎ ‎2 < t < 2 2 .‎ ‎1 a x 2 + (2 - a )x + 1 9‎ ‎21.解：（1） f ¢(x) = - = x (x + 1)2‎ ‎1‎ ‎‎ x(x + 1)2‎ ‎，∵ a = ，令 f ¢(x) > 0 ，‎ ‎2‎ 得 x < ‎或 x > 2 ，又∵ f (x) 定义域为 (0，+ ¥) ‎2‎ æ 1 ö ‎‎ æ 1 ö ‎∴函数 f (x) 的单调增区间为 ç 0 ,‎ ‎÷ ，(2 , + ¥) 单调减区间为 ç 2 , 2 ÷ ...........（4 分）‎ è 2 ø è ø g (x ‎) - g (x ) ‎g (x ‎) - g (x ) ‎g (x ‎) + x ‎- [g (x ) + x ] ‎（2）∵‎ ‎2 1‎ x2 - x1‎ ‎< -1，∴‎ ‎2‎ x2 - x1‎ ‎1 + 1 < 0 ，∴‎ ‎2 2 1‎ x2 - x1‎ ‎1 < 0 ，‎ 设 h(x) = g (x) + x ，根据题意， h(x)在 (0 , 2] 上是减函数.‎ 当 1 £ x £ 2 时 ， h(x) = ln x + ‎a x + 1‎ ‎+ x ， h¢(x) = 1 - x ‎a (x + 1)2‎ ‎+ 1 ， 令 h¢(x) £ 0 ， 得 (x + 1)2‎ a ³ ‎‎ + (x + 1)2 = x 2 + 3x ‎+ 1 + 3 ，对 x Î [1, 2]上恒成立，设 m(x) = x 2 + 3x + 1 + 3 ，‎ x 则 m¢(x) = 2 x + 3 - 1‎ x 2‎ ‎x ‎，∵1 £ x £ 2 ，∴ m¢(x) = 2 x + 3 - 1‎ x 2‎ ‎x > 0 ，∴ m(x) 在 [1, 2]上递 增，则当 x = 2 时， m(x) 有最大值为 27 ，∴ a ³ 27 .‎ ‎2 2‎ 当 0 < x < 1 时， h(x) = - ln x + ‎‎ a x + 1‎ ‎‎ + x ， h¢(x) = - 1 - x ‎‎ a (x + 1)2‎ ‎‎ + 1 ，令 h¢(x) £ 0 ，得 (x + 1)2‎ a ³ - x ‎‎ + (x ‎‎ + 1)2 = ‎‎ x 2 + ‎x - 1 - 1‎ x ‎‎ ‎，设 t ‎‎ (x) ‎= x 2 + x - 1 - 1 ，则 t¢(x) x ‎= 2 x + 1 + 1 > 0‎ x 2‎ ‎∴ t (x) 在 (0 ,1) 上是增函数，∴ t (x) < t (1) = 0 ，∴ a ³ 0 ，综上所述， a ³ 27 .........（12 分）‎ ‎2‎ ‎22．解：（1）由曲线 C 的极坐标方程是： r= 2 cosq ，得 r2 sin 2 q = 2rcosq ．‎ sin 2 q ì x = 1 + t ‎∴由曲线 C 的直角坐标方程是： y 2 = 2x ．由直线 l 的参数方程 í î y = t - 3‎ ‎‎ ‎，得 t = 3 + y 代入 x = 1+ t 中消去 t 得： x - y - 4 = 0 ，所以直线 l 的普通方程为： x - y - 4 = 0 ．．．．（5 分）‎ ‎（2）将直线 l 的参数方程代入曲线 C 的普通方程 y 2 = 2x ，得 t 2 - 8t + 7 = 0 ，设 A, B 两点对 ‎2 2‎ 应的参数分别为 t1 , t2 ，所 AB = ‎2 t1 - t2 = ‎2 (t1 + t2 )‎ ‎- 4t1t2 = ‎2 8 - 4 ´ 7 = 6 2 ，‎ -4‎ 因为原点到直线 x - y - 4 = 0 的距离 d = = 2 2 ，所以 DAOB 的面积是 ‎1 + 1‎ ‎1 AB gd = 1 ´ 6 2 ´ 2 2 = 12 ． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（10 分）‎ ‎2 2‎ ‎23．解：（1）∵ 2x - a + 2a £ 6 ，∴ 2x - a £ 6 - 2a ，∴ 2a - 6 £ 2x - a £ 6 - 2a ，‎ ‎∴ 3 a - 3 £ x £ 3 - a . f ( x) £ 6 的解集为{x | -6 £ x £ 4}，‎ ‎2 2‎ ì 3 a - 3 = -6‎ ï 2‎ í ï 3 - a = 4‎ îï 2‎ ‎，解得 a = -2‎ ‎．．．．（5 分）‎ ‎（2）由（1）得 f ( x) = 2x + 2 - 4 ．∴ 2x + 2 - 4 £ (k 2 -1) x - 5 ，化简 2x + 2 +1 £ (k 2 -1) x ì 2 x + 3, x ³ -1‎ î 令 g ( x) = 2x + 2 + 1 = í-2 x - 1, x < -1‎ ‎‎ ‎， y = g ( x) 的图象如要使不等式 f ( x) £ (k 2 -1) x - 5‎ 的解集非空，需 k 2 - 1 > 2 ，或 k 2 - 1 £ -1 ，∴ k 的取值范是 {k | k > ‎‎ ‎3或k < - ‎‎ ‎3或k = 0} ．．．．．．．（10 分）‎