数学理卷·2018届贵州省都匀第一中学高三10月月考(2017

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数学理卷·2018届贵州省都匀第一中学高三10月月考(2017

都匀一中 2018 届高三第三次月考(理科)数学试卷 出题人:杨春梅 审题人:许军 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分).‎ ‎1.若集合 M = {( x, y) x + y = 0}, N = {( x, y) x2 + y 2 = 0, x Î R, y Î R} ,则有( )‎ A. M U N = M ‎1 - ai ‎B. M U N = N ‎C. M I N = M ‎D. M I N = Æ ‎2.若复数 z = ‎‎ ‎1 - i ‎( a Î R )的虚部为 2 ,则 z = ( )‎ A. 5 B. 10 C. 2 3 D. 13‎ ‎,‎ ‎3.已知幂函数 f ( x) = xa 的图象过点(3 1 ),则函数 f ( x) 在区间 é 1 , 2ù 上的最小值是( )‎ ‎3 êë 2 úû A. -1‎ ‎4.已知 a = log 2 0.1,‎ ‎B. 1‎ ‎2‎ b = 2 0.1,‎ ‎C.1 D. 2‎ c = 0.21.1 ,则 a, b, c 的大小关系是( )‎ A. a < b < c ‎B. b < c < a ‎C. c < a < b ‎1‎ ‎D. a < c < b ‎1‎ ‎5.把函数 y = log 2 (x - 1) 的图象上各点的横坐标缩短到原来的 ‎2‎ 度所得图象的函数式为( )‎ ‎倍,再向右平移 ‎2‎ ‎个单位长 A.y = log 2 (2 x + 1) ‎B.y = log 2 (2 x + 2) x 2 - 5x + 6‎ ‎C.y = log 2 (2 x -1) ‎D.y = log 2 (2 x - 2) ‎6.函数 f ( x) = ‎4 - x + lg ‎‎ x - 3‎ ‎的定义域为( )‎ A. (2 , 3) ‎B. (2 , 4) ‎C. (2 , 3)È (3 , 4] ‎D. (-1, 3)È (3 , 6] ‎7. 给出四个函数,分别满足①‎ ‎‎ f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ) ,② g ( x + y ) = g ( x )× g ( y ) ,‎ ‎③ h ( x × y ) = h ( x ) + h ( y ) ,④ m ( x × y ) = m ( x ) × m ( y ) .又给出四个函数的图象,那么正 确的匹配方案可以是( )‎ A.①甲,②乙,③丙,④丁 B.①乙,②丙,③甲,④丁 C.①丙,②甲,③乙,④丁 D.①丁,②甲,③乙,④丙 ‎8.下列四个命题:(1)函数 f ( x) 在 x > 0 时是增函数, x < 0 也是增函数,所以 f ( x) 是 增 函数;(2)若函数 f ( x) = ax 2 + bx + 2 与 x 轴没有交点,则 a > 0 且 b2 - 8a < 0 ;(3)‎ y = x 2 - 2 x - 3 的递增区间为 [1,+ ¥) ;(4) y = 1 + x 和 y = ‎(1 + x)2 表示相等函数.其 中正确命题的个数是( )‎ A. 0 B.1 C. 2 D. 3‎ ‎9.函数 y = x - 2 sin x 的图象大致是( )‎ ‎2‎ ‎10.已知函数 f ( x ) = ‎x ‎1 + x ‎+ e x ,则 ‎x1 + x2 > 0 是 ‎‎ f ( x1 ) + f ( x2 ) > f (-x1 ) + f (-x2 ) ‎的( )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件 ì cospx, x Î[0, 1]‎ í ‎11.已知 f ( x) 为偶函数,当 x ³ 0 时,f ( x) = ï ‎2 ,则不等式 f ( x -1) £ 1‎ ï2 x -1, x Î ( 1 , +¥) 2‎ 的解集为( )‎ ‎1 2 4 7‎ ‎ïî ‎3 1 1 2‎ ‎2‎ ‎1 3 4 7‎ ‎‎ ‎3 1 1 3‎ A.[ , ] U [ , ]‎ ‎B.[- ‎, - ] U[ , ]‎ ‎C.[ , ] U [ , ]‎ ‎D.[- ‎, - ] U[ , ]‎ ‎4 3 3 4‎ ‎4 3 4 3‎ ‎3 4 3 4‎ ‎4 3 3 4‎ í ‎12.已知函数 f ( x) = ïì lg(- x) ,‎ ‎x < 0‎ ‎,若关于 x 的方程 f 2 ( x) - bf ( x) + 1 = 0 有 8 个不同的实 ïîx 2 - 6 x + 4 , x ³ 0‎ 数根,则实数 b 的取值范围是( )‎ æ 17 ö ‎æ 15 ö ‎æ 17 ù ‎æ 15 ö A. ç - ‎,-2 ÷ ‎B. ç - 2, ÷ ‎C. ç 2, ú ‎D. ç 2, ÷ è 4 ø ‎è 4 ø ‎è 4 û ‎è 4 ø 二、填空 题(本大题共 4 小题,每小题 5 分).‎ ‎13.‎ ‎f ( x)‎ ‎是 定 义 在 R 上 的 周 期 为 3 的 奇 函 数 , 当 0 < x < 1 时 ,‎ ‎f ( x) = 4 x , 则 f (- 7 ) + f (6 ) = .‎ ‎2‎ ( ) ‎( x + a)2 + sin x ‎14.设函数 f x = ,已知 f (2) = 5 则 f (-2) = .‎ x 2 + a 2‎ ® ® ® ‎15.已知 A, B, C 是直线 l 上的三点, O 是直线 l 外一点,向量 OA , OB , OC 满足 ® ® ® OA = [ f ( x) + f ¢(1)]OB- ln(x + 1)OC .则 f (x) 的解析式为 .‎ ‎16.对于函数 y = ‎f (x) ,若存在定义域 D 内某个区间 [a , b],使得 y = ‎f (x) 在 [a , b]上的值 域也为 [a , b],则称 y = ‎f (x) 在定义域 D 上封闭,如果函数 f ( x) = - ‎4 x ‎1 + x ‎‎ 在 R 上封闭,‎ 则 b - a = .‎ 三、解答题(共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤).‎ ‎17.在 DABC 中,内角 A, B, C 的对分别为 a , b , c ,且 cos 2B + cos B = 0 . (1)求角 B 的值;‎ ‎(2)求 b = ‎7 , a + c = 5 ,求 DABC 的面积.‎ ‎18.如图, AB 是圆 O 的直径, C 是圆 O 上异于 A, B 的一点,‎ DC ^‎ ‎BC ,DC / / EB , AC ^ CE ‎,DC = EB = 1 ,AB = 4 .‎ ‎^‎ ‎(Ⅰ)求证: DE ‎平面ACD ;‎ ‎(Ⅱ)若 AC = BC ,求平面 AED 与平面 ABE 所成的锐二面角的 余弦值.‎ ‎19.某学校简单随机抽样方法抽取了 100 名同学,对其日均课外阅读时间:(单位:分钟) 进行调查,结果如下:‎ t ‎[0,15)‎ ‎[15,30)‎ ‎[30,45)‎ ‎[45,60)‎ ‎[60,75)‎ ‎[75,90)‎ 男同学人数 ‎7‎ ‎11‎ ‎15‎ ‎12‎ ‎2‎ ‎1‎ 女同学人数 ‎8‎ ‎9‎ ‎17‎ ‎13‎ ‎3‎ ‎2‎ 若将日均课外阅读时间不低于 60 分钟的学生称为“读书迷”‎ ‎(1)将频率视为概率,估计该校 4000 名学生中“读书迷”有多少人?‎ ‎(2)从已抽取的 8 名“读书迷”中随机抽取 4 位同学参加读书日宣传活动.‎ ‎①求抽取的 4 为同学中既有男同学又有女同学的概率;‎ ‎②记抽取的“读书迷”中男生人数为 X,求 X 的分布列和数学期望.‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎20.已知椭圆 E : y + x ‎‎ = 1(a > b > 0) 的上、下焦点分别为 F,F ,点 D 在椭圆上,‎ a 2 b2 1 2‎ DF2 ^ F1 F2 , DF1 F2 D 的面积为 2‎ 准线 l 经过 D 点.‎ ‎2 ,离心率 e = 2‎ ‎2‎ ‎‎ ‎.抛物线 C : x 2‎ ‎‎ = 2 py ( p > 0) 的 ‎(1)求椭圆 E 与抛物线 C 的方程;‎ ‎(2)过直线 l 上的动点 P 作抛物线的两条切线,切点为 A, B ,直线 AB 交椭圆于 M , N 两点,‎ 当坐标原点 O 落在以 MN 为直径的圆外时,求点 P 的横坐标 t 的取值范围.‎ ‎21.已知函数j(x) = ‎a x + 1‎ ‎‎ ‎, a 为正常数.‎ ‎(1)若 f ( x) = ln x +j(x),且 a = 9 ,求函数 f (x) 的单调区间;‎ ‎2‎ ‎1 2 1 2‎ ‎(2)若 g (x) = ln x +j(x) ,且对任意 x , x Î (0,2], x ¹ x ,都有 ‎‎ g (x2 ) - g (x1 ) x2 - x1‎ ‎‎ < -1,‎ 求 a 的取值范围.‎ 请考生在第 22、23 二题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分。作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。‎ ìx = 1 + t ‎22.(本小题满分 10 分)在平面直角坐标系中,直线 l 的参数方程为 í îx = -3 + t ‎‎ ‎( t 为参数),‎ 在以直角坐标系的原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C 的极坐标方 程为 r= 2 cosq .‎ sin 2 q ‎(1)求曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的普通方程;‎ ‎(2)若直线 l 与曲线 C 相交于 A、B 两点,求 DAOB 的面积.‎ ‎23.(本小题满分 10 分)设函数 f ( x) = 2x - a + 2a .‎ ‎(1)若不等式 f ( x) £ 6 的解集为{x | -6 £ x £ 4} ,求实数 a 的值;‎ ‎(2)在(1)的条件下,若不等式 f ( x) £ (k 2 -1) x - 5 的解集非空,求实数 k 的取值范围.‎ 都匀一中第三次月考理科数学答案 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 A A B D D C D A C C A C 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)‎ 题号 ‎13‎ ‎14‎ ‎15‎ ‎16‎ 答案 ‎-2‎ ‎-3‎ f (x) = ln(x + 1) + 1‎ ‎2‎ ‎6‎ 三、17.解:(1)在 DABC 中,由已知 cos 2B + cos B = 0 ,得 2 cos2 B + cos B - 1 = 0 ,计算得 出 cos B = ‎1 或 cos B = -1 (舍去).所以 B = ‎2‎ ‎p ‎. ………………(6 分)‎ ‎3‎ ‎(2)由余弦定理得 b2 = a 2 + c 2 - 2ac cos B .将 B = p , b = ‎3‎ ‎‎ ‎7 代入上式,整理得 (a + c)2 - 3ac = 7 ,因为 a + c = 5 ,所以 ac = 6 ,所以 DABC 的面积 S = 1 ac sin B = 3 3 .‎ ‎2 2‎ ‎18.(1)证明:∵ DC ^ 面ABC ,∴ DC ^ BC ;又 AB是圆O的直径 ,∴ AC ^ BC ;‎ AC Ç DC = C ,∴ BC ^ 面ACD ,又∵ DC // EB, DC = EB, ∴四边形 BCDE 是平行四 边形,∴ DE // BC ;∴ DE ^ 面ACD . ………………(6 分)‎ ® ‎(2)以点 C 为原点,分别以 CA, CB, CD 为 x, y, z 建立空间直角坐标系,则 A(2‎ ‎2 ,0,0), D(0 , 0 ,1) , B(0 , 2‎ ‎2 , 0), B(0 , 2‎ ‎2 ,1),∴ AD = (- 2‎ ‎2 , 0 ,1),‎ E = (0 , 2‎ ® ® D 2 , 0), AB = (- 2‎ ‎‎ ‎2 , 2‎ ‎‎ ) ® ‎2 , 0 , BE = (0 , 0 ,1) .‎ ® 设 n1 = (x , y , z )为平面 ADE 的法向量,则 ì ® ® ïn1 · AD = -2‎ í ‎2 x + z = 0‎ ‎, 令x ‎® = 1, 得 n1‎ ‎= (1, 0 , 2‎ ‎2 ).‎ ® ® ïîn1 · DE = 2‎ ‎2 y = 0‎ ® 设 n2 = (x , y , z ) 为平面 ABE 的法向量,则 ì ® ® ïn2 · AB = -2‎ ‎2 x + 2‎ ‎2 y = 0‎ ‎,‎ ‎‎ = 1,‎ ‎® = (1,1, 0).‎ í ® ® ‎令x 得 n2‎ ïîn1 · DE = z = 0‎ ® ® ‎1‎ ® ® n · n 1 2‎ 所以 cos ‎n1 , n2 = ® ‎2 = = .‎ ® 3 2 6‎ n1 · n2‎ 所以平面 AED与平面ABE 所成的锐二面角的余弦值为 ‎2‎ ‎. …………………(12 分)‎ ‎6‎ ‎19.解:(1)设该校 4000 名学生中“读书迷”有 x 人则 ‎‎ ‎8 = ‎100‎ ‎‎ x ‎4000‎ ‎‎ ‎,计算得出 x = 320 ,所以该校 4000 名学生中“读书迷”约有 320 人 …………(4 分)‎ ‎(2)抽取的 4 名同学既有男同学,又有女同学的概率 P = 1 - ‎4 13‎ C = C ‎5‎ ‎8‎ ‎4 14‎ ‎‎ ‎.(7 分)‎ ‚ X 可取 0,1,2,3.‎ ‎4 1 3‎ C ‎4‎ P(X = 0) = C5 = 1‎ ‎8 14‎ ‎, P(X = 1) = C3C5‎ C ‎4‎ ‎8‎ ‎= 3 ,‎ ‎7‎ ‎2 2 1‎ P(X = 2) = C3 C5‎ ‎= 3 , P(X = 3) = C5 = 1 .‎ C C ‎7‎ ‎14‎ ‎4 4‎ ‎8 8‎ 则 X 的分布列为:‎ x ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎1‎ ‎14‎ ‎3‎ ‎7‎ ‎3‎ ‎7‎ ‎1‎ ‎14‎ 则 X 的期望值为: E (X ) = 0 ´ 1‎ ‎+ 1´ 3 + 2 ´ 3 + 3 ´ 1 = 3‎ ‎‎ ‎…………………(12 分)‎ ‎14 7‎ ‎7 14 2‎ ‎2‎ ‎20.解:(1)根据题意可得 F1 (0 , c), F2 (0 , - c), c ‎‎ = a 2‎ ‎‎ - b2‎ ‎‎ ‎, DF2 ^ F1 F2 ,令 x = c ,可得 ‎2‎ y = ± b ‎‎ ‎2‎ ‎,可得 DF ‎= b , DF F D 的面积为 S = 1 F F ‎‎ · DF ‎= 1 · 2c · b = 2 2 ,‎ ‎2‎ a 2 a 1 2‎ ‎2 1 2 2 2 a 将 e = ‎2 c b2‎ 代入上式可得 b = 2 ,由 e = 代入可得 e2 = 1 - ‎2 a a 2‎ ‎= 1 ,可得 a = 2‎ ‎2‎ ‎‎ ‎2 , c = 2 .‎ ‎2‎ ‎2‎ 即有椭圆 E 的方程为 y + x ‎‎ = 1 ;由 D 的纵坐标为 - 2 ,抛物线的准线方程为 y = -2 ,即 ‎8 4‎ 有抛物线 C 的方程为 x 2 = 8 y ;..................................(5 分)‎ ‎(2)设 A(x1 , y1 ), B(x2 , y2 ) , M (x3 , y3 ), N (x4 , y4 ) ,由 ‎ y = ‎‎ ‎1 x 2‎ ‎8‎ ‎‎ ‎,可得 y¢ = ‎‎ ‎1 x ,‎ ‎4‎ PA : y - y ‎= 1 x ‎‎ x - x ‎‎ ‎,将 P(t , - 2) 代入可得 - 2 - y ‎= 1 x (t - x ) ,以及 y = 1 x 2 ,‎ ‎1 1 ( 1 ) ‎4‎ ‎1 4 1 1‎ ‎1 8 1‎ 可得 y ‎= 1 tx ‎‎ + 2 ,同理可得 y ‎= 1 tx ‎+ 2 ,即有直线 AB 的方程为 y = 1 tx + 2 ,将直 ‎1 4 1‎ ‎2 4 2 4‎ 线 AB 的 方 程 代 入 椭 圆 方 程 , 可 得 (32 + t 2 )x 2 + 16tx - 64 = 0 ,‎ D = 256t 2 + 256(32 + t 2 ) > 0 ,‎ x3 + x ‎‎ ‎4 = - ® ‎‎ ‎16t t 2 + 32‎ ® ‎‎ ‎, x3 x4‎ ‎‎ = - 64 ,‎ ‎32 + t 2‎ æ 2 ö 2‎ 即有 OM · ON = x x ‎‎ + y y ‎= ç1 + t ‎÷ x x ‎+ t (x ‎+ x ) + 4 = 64 - 8t = ‎320‎ ‎- 8 ,‎ ‎3 4 3 4 ç è ø ® ® ‎16 ÷ 3‎ ‎4 2 3 4‎ ‎320‎ ‎32 + t 2‎ ‎32 + t 2‎ 由点 O 在圆外,可得 OM · ON > 0 ,即为 ‎‎ ‎32 + t 2‎ ‎- 8 > 0 ,计算得出 - 2‎ ‎2 < t < 2 2 .‎ ‎1 a x 2 + (2 - a )x + 1 9‎ ‎21.解:(1) f ¢(x) = - = x (x + 1)2‎ ‎1‎ ‎‎ x(x + 1)2‎ ‎,∵ a = ,令 f ¢(x) > 0 ,‎ ‎2‎ 得 x < ‎或 x > 2 ,又∵ f (x) 定义域为 (0,+ ¥) ‎2‎ æ 1 ö ‎‎ æ 1 ö ‎∴函数 f (x) 的单调增区间为 ç 0 ,‎ ‎÷ ,(2 , + ¥) 单调减区间为 ç 2 , 2 ÷ ...........(4 分)‎ è 2 ø è ø g (x ‎) - g (x ) ‎g (x ‎) - g (x ) ‎g (x ‎) + x ‎- [g (x ) + x ] ‎(2)∵‎ ‎2 1‎ x2 - x1‎ ‎< -1,∴‎ ‎2‎ x2 - x1‎ ‎1 + 1 < 0 ,∴‎ ‎2 2 1‎ x2 - x1‎ ‎1 < 0 ,‎ 设 h(x) = g (x) + x ,根据题意, h(x)在 (0 , 2] 上是减函数.‎ 当 1 £ x £ 2 时 , h(x) = ln x + ‎a x + 1‎ ‎+ x , h¢(x) = 1 - x ‎a (x + 1)2‎ ‎+ 1 , 令 h¢(x) £ 0 , 得 (x + 1)2‎ a ³ ‎‎ + (x + 1)2 = x 2 + 3x ‎+ 1 + 3 ,对 x Î [1, 2]上恒成立,设 m(x) = x 2 + 3x + 1 + 3 ,‎ x 则 m¢(x) = 2 x + 3 - 1‎ x 2‎ ‎x ‎,∵1 £ x £ 2 ,∴ m¢(x) = 2 x + 3 - 1‎ x 2‎ ‎x > 0 ,∴ m(x) 在 [1, 2]上递 增,则当 x = 2 时, m(x) 有最大值为 27 ,∴ a ³ 27 .‎ ‎2 2‎ 当 0 < x < 1 时, h(x) = - ln x + ‎‎ a x + 1‎ ‎‎ + x , h¢(x) = - 1 - x ‎‎ a (x + 1)2‎ ‎‎ + 1 ,令 h¢(x) £ 0 ,得 (x + 1)2‎ a ³ - x ‎‎ + (x ‎‎ + 1)2 = ‎‎ x 2 + ‎x - 1 - 1‎ x ‎‎ ‎,设 t ‎‎ (x) ‎= x 2 + x - 1 - 1 ,则 t¢(x) x ‎= 2 x + 1 + 1 > 0‎ x 2‎ ‎∴ t (x) 在 (0 ,1) 上是增函数,∴ t (x) < t (1) = 0 ,∴ a ³ 0 ,综上所述, a ³ 27 .........(12 分)‎ ‎2‎ ‎22.解:(1)由曲线 C 的极坐标方程是: r= 2 cosq ,得 r2 sin 2 q = 2rcosq .‎ sin 2 q ì x = 1 + t ‎∴由曲线 C 的直角坐标方程是: y 2 = 2x .由直线 l 的参数方程 í î y = t - 3‎ ‎‎ ‎,得 t = 3 + y 代入 x = 1+ t 中消去 t 得: x - y - 4 = 0 ,所以直线 l 的普通方程为: x - y - 4 = 0 ....(5 分)‎ ‎(2)将直线 l 的参数方程代入曲线 C 的普通方程 y 2 = 2x ,得 t 2 - 8t + 7 = 0 ,设 A, B 两点对 ‎2 2‎ 应的参数分别为 t1 , t2 ,所 AB = ‎2 t1 - t2 = ‎2 (t1 + t2 )‎ ‎- 4t1t2 = ‎2 8 - 4 ´ 7 = 6 2 ,‎ -4‎ 因为原点到直线 x - y - 4 = 0 的距离 d = = 2 2 ,所以 DAOB 的面积是 ‎1 + 1‎ ‎1 AB gd = 1 ´ 6 2 ´ 2 2 = 12 . ....................(10 分)‎ ‎2 2‎ ‎23.解:(1)∵ 2x - a + 2a £ 6 ,∴ 2x - a £ 6 - 2a ,∴ 2a - 6 £ 2x - a £ 6 - 2a ,‎ ‎∴ 3 a - 3 £ x £ 3 - a . f ( x) £ 6 的解集为{x | -6 £ x £ 4},‎ ‎2 2‎ ì 3 a - 3 = -6‎ ï 2‎ í ï 3 - a = 4‎ îï 2‎ ‎,解得 a = -2‎ ‎....(5 分)‎ ‎(2)由(1)得 f ( x) = 2x + 2 - 4 .∴ 2x + 2 - 4 £ (k 2 -1) x - 5 ,化简 2x + 2 +1 £ (k 2 -1) x ì 2 x + 3, x ³ -1‎ î 令 g ( x) = 2x + 2 + 1 = í-2 x - 1, x < -1‎ ‎‎ ‎, y = g ( x) 的图象如要使不等式 f ( x) £ (k 2 -1) x - 5‎ 的解集非空,需 k 2 - 1 > 2 ,或 k 2 - 1 £ -1 ,∴ k 的取值范是 {k | k > ‎‎ ‎3或k < - ‎‎ ‎3或k = 0} .......(10 分)‎
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