数学理卷·2018届黑龙江省大庆铁人中学高三上学期期中考试（2017

数学理卷·2018届黑龙江省大庆铁人中学高三上学期期中考试（2017

大庆铁人中学 2015 级高三·上学期期中考试 数学(理)试题 考试时间：2017 年 11 月 22 日 答题时长（分钟）：120 分值：150 命题人： 审题人： 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有 一个是符合题目要求的.） (1)已知集合 A={x|x2-2x-3≤0}，B={x|4x≥2}，则 A∪B=（ ） A. ]3,2 1[ B. )3,2 1[ C. )3,( D. ),1[  2. 已知复数 iz 2 3 2 1  ，则  || zz A . i2 3 2 1  B . i2 3 2 1  C . i2 3 2 1  D i2 3 2 1  3. 已知向量 )1,2(),2,1(),1,3(  cba ，若 ),,( Ryxcybxa  则  yx （ ） 2.A 1.B 0.C 2 1.D 4.已知函数 f(x)＝ 322  xx ，则该函数的单调递增区间为 ( ) A. (－∞，1] B. [3，＋∞) C. (－∞，－1] D. [1，＋ ∞) 5.已知 )3sin(2)(   xxf ，则“∀x∈R，f（x+π）=f（x）”是“ω=2”的（ ） A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 6.若 na 是等差数列， 0103  aa ， 011 S ，则在 11321 ,,, SSSS  中最小的是（ ） A . 4S B . 5S C . 6S D . 9S 7.已知 sin α－π 4 ＝7 2 10 ，cos 2α＝ 7 25 ，则 sin α＝( ) A.4 5 B．－4 5 C.3 5 D．－3 5 8.P0(x0，y0)是曲线 y＝3ln x＋x＋k(k∈R)上的一点，曲线在点 P0 处的切线方程 为 4x－y－1＝0，则实数 k 的值为( ) A．2 B．－2 C．－1 D．－4 9.某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三 角形组成，正方形的边长为 2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各 个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（ ） A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 10.已知 )(xf 是定义在 R 上的偶函数，且在  0, 上是增函数设  7log4fa  ，       3log 2 1fb ，  6.02.0fc  ，则 cba ,, 的大小关系是( ) A. ． abc  B ． acb  C. ． cab  D.． cba  11. 已知△ABC 中，| | 10, 16,BC AB AC D      为边 BC 的中点，则| |AD  等于 A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 12.已知函数      10,23 ,01,31 1 )( 2 xxx xxxg ,若方程 g(x)－mx－m＝0 有且仅有两个不等的 实根，则实数 m 的取值范围是( ) A． )2,0[]2,4 9(  B． ]2,0[]2,4 11(  C． ]2,0[]2,4 9(  D． )2,0[]2,4 11(  第(II)卷 (非选择题，共 90 分) 二．填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在题中横线上）． 13．函数  2( ) 3 log 6f x x x    的定义域是________． 14. 已知数列{ }na 的前 n 项和为 nS ，且 2,1 11   nn Saa ，则 na ________． 15.已知△ABC 是边长为 2 的等边三角形，设点 D ， E 分别是 AB ， BC 的中点，连接 DE 并延长到点 F ，使得 ,2EFDE  则  BCAF _________________． 16.已知函数 )(xf 的导函数为 )(' xf ，若函数 )(xf 满足 x xxfxxf ln)()('  ， 且 eef 1)(  ，则不等式: exefxf  )1()1( 的解集为__________________ 三．解答题（本大题共 6 小题，第 17 题 10 分,其余每题 12 分，解题写出详细必要的解答过 程） 17.(本小题满分 10 分） 已知数列{ }na 的前 n 项和为 nS ，且  NnnnSn (,22 ） （Ⅰ）求数列{ }na 的通项公式. （Ⅱ）设 1 1   nn n aab ，求数列{ }nb 的前 n 项和 nT . 18.(本小题满分 12 分） 设函数 )2sin()6sin()(   xxxf ，其中 0＜ω＜3，已知 0)6( f . （Ⅰ）求ω； （Ⅱ）将函数 )(xfy  的图象上各点的横坐标伸长为原来的 2 倍（纵坐标不变），再将 得到的图象向左平移 4  个单位，得到函数 )(xgy  的图象，求 )(xg 在 ]4 3,4[  上的最 小值． 19.(本小题满分 12 分） 已知{an}为等差数列，前 n 项和为 Sn（n∈N+），{bn}是首项为 2 的等比数列，且公比大 于 0，b2+b3=12，b3=a4-2a1，S11=11b4． （Ⅰ）求{an}和{bn}的通项公式； （Ⅱ）求数列{a2nb2n-1}的前 n 项和 nT （n∈N+）． 20.(本小题满分 12 分） 已知向量 2( 3cos ,1), (sin ,cos 1)m x n x x    ，函数 1( ) 2f x m n    ， （Ⅰ）若   30, ,4 3x f x     ，求 cos2x 的值； （Ⅱ）在 ABC 中，角 , ,A B C 对边分别是 , ,a b c ，且满足 2 cos 2 3b A c a  ，当 B 取 最大值时， 1,a ABC  面积为 4 3 ，求 sin sin a c A C   的值. 21. (本小题满分 12 分） 已知函数 xx axaxf  22ln)( （Ⅰ）讨论 )(xf 的单调性； （Ⅱ）若对任意 m，n∈(0，e)且 m≠n，有 1)()(   nm nfmf 恒成立，求实数 a 的取值 范围． 22.(本小题满分 12 分） 已知函数 .)( 2 axxexf x  ． （Ⅰ）若曲线 )(xfy  在点 x=0 处的切线斜率为 1，求函数 f（x）在[0，1]上的最值； （Ⅱ）令 )(2 1)()( 22 axxfxg  ，若 0x 时， 0)( xg 恒成立，求实数 a 的取值 范围； （Ⅲ）当 0a 且 0x 时，证明: 1ln)( 2  xxxxexxf ． 大庆铁人中学 2015 级高三·上学期期中考试 数学(理)试题答案 一、选择题： DDCB CCCA BCDA 二、填空题： 13 ]6,3[ 14.        )2(23 )1(,1 2 n n a nn 15． 2 1 16 ),0( e 三．解答题： 17、（5+5）解：当 1n 时， 31 a 当 2n 时，  1nnn SSa 12 n 满足 1n ， 12  nan (2)由 an＝2n＋1 可知 bn＝ 1 anan＋1＝ 1 （2n＋1）（2n＋3）＝ 1 2 1 2n＋3. 设数列{bn}的前 n 项和为 Tn，则 Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝ 1 2 1 － 1 2n＋3＝ n 3（2n＋3）.= )32(3]32 1 3 1[2 1  n n n 18、（6+6）解：（Ⅰ）函数 f（x）=sin（ωx- ）+sin（ωx- ） =sinωxcos -cosωxsin -sin（ -ωx） = sinωx-cosωx = sin（ωx- ）， 又 f（ ）= sin（ ω- ）=0， ∴ ω- =kπ，k∈Z， 解得ω=6k+2， 又 0＜ω＜3， ∴ω=2； （Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）= sin（2x- ）， 将函数 y=f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的 2 倍（纵坐标不变），得到函数 y= sin （x- ）的图象； 再将得到的图象向左平移 个单位，得到 y= sin（x+ - ）的图象， ∴函数 y=g（x）= sin（x- ）； 当 x∈[- ， ]时，x- ∈[- ， ]， ∴sin（x- ）∈[- ，1]， ∴当 x=- 时，g（x）取得最小值是- × =-． 19、（6+6）解：（1） )62sin()(  xxf ， 3 2 62640   xx 6 5 624 3,,46262 2 3 3 2 1   xorx 3 6)62cos(4626   xx 6 323]6)62cos[(2cos  xx （2）2)由 2bcos A≤2c－a，得 2sin Bcos A≤2sin C－sin A, 所以 2sin Bcos A≤2sin(A＋B)－sin A， 所以 2sin Bcos A≤2(sin Acos B＋cos Asin B)－sin A, 所以 2sin Acos B≥sin A，所以 cos B≥ 2 3 ，  B0 得 60  B 有 3,4 3,30.1  cSBa 由余弦定理的 ,1b 且 sin sin a c A C   2sin  B b 20.（5+7） 解：（I）设等差数列{an}的公差为 d，等比数列{bn}的公比为 q． 由已知 b2+b3=12，得 b1（q+q2）=12，而 b1=2，所以 q+q2-6=0． 又因为 q＞0，解得 q=2．所以，bn=2n． 由 b3=a4-2a1，可得 3d-a1=8①． 由 S11=11b4，可得 a1+5d=16②， 联立①②，解得 a1=1，d=3，由此可得 an=3n-2． 所以，数列{an}的通项公式为 an=3n-2，数列{bn}的通项公式为 bn=2n． （II）设数列{a2nb2n-1}的前 n 项和为 Tn， 由 a2n=6n-2，b2n-1= 4n，有 a2nb2n-1=（3n-1）4n， 故 Tn=2×4+5×42+8×43+…+（3n-1）4n， 4Tn=2×42+5×43+8×44+…+（3n-1）4n+1， 上述两式相减，得-3Tn=2×4+3×42+3×43+…+3×4n-（3n-1）4n+1 = =-（3n-2）4n+1-8 得 Tn= ． 所以，数列{a2nb2n-1}的前 n 项和为 ． 21、（6+6）解：(1)由题意知 2 ' )2)(()( x axaxxf  ①当 a＝0 时，f′＝1>0，所以 f 在上单调递增； ②当 a>0 时，由 f′<0 得 00 得 x>a，所以 f 在上单调递减，在上单调递增； ③当 a<0 时，由 f′<0 得 00 得 x>－2a， 所以 f 在上单调递减，在上单调递增． 综上，a＝0 时，f 在 ),0(  上单调递增；a>0 时，f 在 ),0( a 上单调递减，在 ),( a 上 单调递增；a<0 时，f 在 )2,0( a 上单调递减，在 ),2(  a 上单调递增． (2)若 m>n，由 1)()(   nm nfmf <1 得 nnfmmf  )()( 若 m0 时，由 g′<0 得 00 得 x>2a， 所以 g 在 )2,0( a 上单调递减，在 ),2( a 上单调递增，所以 2a≥e，即 a≥ e 2； ③当 a<0 时，在 ),0(  上，都有 g′<0，所以 g 在 ),0(  上单调递减，即在 ),0( e 上也 单调递减．综上，实数 a 的取值范围为 ),2[)0,(  e (2) 0)(,0)0(),,0(,0)2()(  ehheaxaxh 即可 22. （3+6+3）解：（1）∵f′（x）=ex-2x-a，∴f′（0）=1-a=1，∴a=0， ∴f′（x）=ex-2x，记 h（x）=ex-2x，∴h′（x）=ex-2，令 h′（x）=0 得 x=ln2． 当 0＜x＜ln2 时，h′（x）＜0，h（x）单减；当 ln2＜x＜1 时，h′（x）＞0，h（x）单增， ∴h（x）min=h（ln2）=2-2ln2＞0， 故 f′（x）＞0 恒成立，所以 f（x）在[0，1]上单调递增， ∴f（x）min=f（0）=1，f（x）max=f（1）=e-1． （2）∵g（x）=ex-（x+a）2，∴g′（x）=ex-x-a． 令 m（x）=ex-x-a，∴m′（x）=ex-1， 当 x≥0 时，m′（x）≥0，∴m（x）在[0，+∞）上单增，∴m（x）min=m（0）=1-a． （i）当 1-a≥0 即 a≤1 时，m（x）≥0 恒成立，即 g′（x）≥0，∴g（x）在[0，+∞）上单增， ∴g（x）min=g（0）=1- ≥0，解得- ≤a≤ ，所以- ≤a≤1． （ii）当 1-a＜0 即 a＞1 时，∵m（x）在[0，+∞）上单增，且 m（0）=1-a＜0， 当 1＜a＜e2-2 时，m（ln（a+2））=2-ln（2+a）＞0， ∴∃x0∈（0，ln（a+2）），使 m（x0）=0，即 e =x0+a． 当 x∈（0，x0）时，m（x）＜0，即 g′（x）＜0，g（x）单减； 当 x∈（x0，ln（a+2））时，m（x）＞0，即 g′（x）＞0，g（x）单增． ∴g（x）min=g（x0）=e -（x0+a）2=e -e =e （1-e ）≥0， ∴e ≤2 可得 0＜x0≤ln2，由 e =x0+a， ∴a=e -x0． 记 t（x）=ex-x，x∈（0，ln2]， ∴t′（x）=ex-1＞0，∴t（x）在（0，ln2]上单调递增， ∴t（x）≤t（ln2）=2-2ln2，∴1＜a≤2-2ln2， 综上，a∈[- ，2-ln2]． （3）证明：f（x）-ex≥xlnx-x2-x+1 等价于 ex-x2-ex≥xlnx-x2-x+1， 即 ex-ex≥xlnx-x+1． ∵x＞0，∴等价于 -lnx--e+1≥0． 令 h（x）= -lnx--e+1， 则 h′（x）= ． ∵x＞0，∴ex-1＞0． 当 0＜x＜1 时，h′（x）＜0，h（x）单减； 当 x＞1 时，h′（x）＞0，h（x）单增． ∴h（x）在 x=1 处有极小值，即最小值， ∴h（x）≥h（1）=e-1-e+1=0， ∴a=0 且 x＞0 时，不等式 f（x）-ex≥xlnx-x2-x+1 成立．