2018届二轮复习与抛物线有关的热点问题课件（全国通用）

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专题 7 　解析几何 第 29 练　与抛物线有关的 热点 问题 抛物线是三种圆锥曲线之一，应用广泛，是高考的重点考查对象，抛物线方程、几何性质、直线与抛物线结合的问题都是高考热点 . 考查形式有填空题也有解答题，小题难度一般为低中档层次，解答题难度为中档偏上 . 题型 分析 高考 展望 体验 高考 高考必会题型 高考题型精练 栏目索引 体验高考 1 2 3 4 5 1.(2015· 四川改编 ) 设直线 l 与抛物线 y 2 ＝ 4 x 相交于 A ， B 两点，与圆 ( x － 5) 2 ＋ y 2 ＝ r 2 ( r ＞ 0) 相切于点 M ，且 M 为线段 AB 的中点，若这样的直线 l 恰有 4 条，则 r 的取值范围是 ________. 解析 答案 (2,4) 1 2 3 4 5 解析　 设 A ( x 1 ， y 1 ) ， B ( x 2 ， y 2 ) ， M ( x 0 ， y 0 ) ， 当直线 l 的斜率不存在时，符合条件的直线 l 必有两条 ； 当 直线 l 的斜率 k 存在时， 即 y 0 · k ＝ 2 ， 解析 1 2 3 4 5 2 ＝ 5 － x 0 ， x 0 ＝ 3 ，即 M 必在直线 x ＝ 3 上， ∵ 点 M 在圆上， 1 2 3 4 5 2.(2015· 浙江改编 ) 如图，设抛物线 y 2 ＝ 4 x 的焦点为 F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点 A ， B ， C ，其中点 A ， B 在抛物线上，点 C 在 y 轴上，则 △ BCF 与 △ ACF 的面积之比是 ________. 解析 答案 1 2 3 4 5 解析　 由图形可知， △ BCF 与 △ ACF 有公共的顶点 F ，且 A ， B ， C 三点共线， 由抛物线方程知焦点 F (1 ， 0) ，作准线 l ， 则 l 的方程为 x ＝－ 1. ∵ 点 A ， B 在抛物线上，过 A ， B 分别作 AK ， BH 与准线垂直 ， 垂足 分别为点 K ， H ，且与 y 轴分别交于点 N ， M . 由 抛物线定义，得 BM ＝ BF － 1 ， AN ＝ AF － 1 . 在 △ CAN 中， BM ∥ AN ， 1 2 3 4 5 3.(2016· 四川改编 ) 设 O 为坐标原点， P 是以 F 为焦点的抛物线 y 2 ＝ 2 px ( p >0) 上任意一点， M 是线段 PF 上的点，且 PM ＝ 2 MF ，则直线 OM 的斜率的最大值为 ________. 解析 答案 1 2 3 4 5 显然，当 y 0 <0 时， k OM <0 ； y 0 >0 时， k OM >0 ，要求 k OM 的最大值 ， 不妨 设 y 0 >0. 1 2 3 4 5 4 解析 答案 1 2 3 4 5 解析　 不妨设抛物线 C ： y 2 ＝ 2 px ( p >0) ，则圆的方程可设为 x 2 ＋ y 2 ＝ r 2 ( r >0) ， 如 图， 联立 ①②③ ，解得 p ＝ 4( 负值舍去 ) ， 即 C 的焦点到准线的距离为 4. 1 2 3 4 5 解析答案 返回 5.(2015· 上海 ) 抛物线 y 2 ＝ 2 px ( p >0) 上的动点 Q 到焦点的距离的最小值为 1 ，则 p ＝ ________. 解析　 根据抛物线的性质，我们知道当且仅当动点 Q 运动到原点的时候，才与抛物线焦点的距离最小， 2 高考 必会题型 题型一　抛物线的定义及其应用 例 1 　已知 P 为抛物线 y 2 ＝ 6 x 上一点，点 P 到直线 l ： 3 x － 4 y ＋ 26 ＝ 0 的距离为 d 1 . (1) 求 d 1 的最小值，并求此时点 P 的坐标； 解析答案 解析答案 (2) 若点 P 到抛物线的准线 的距离 为 d 2 ，求 d 1 ＋ d 2 的最小值 . ∴ d 1 ＋ d 2 ＝ d 1 ＋ PF ， 点评 点评 与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关 . 由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性，因此此类问题也有一定的难度 . “ 看到准线想焦点，看到焦点想准线 ” ，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径 . 解析答案 变式训练 1 　 (1)(2016· 浙江 ) 若抛物线 y 2 ＝ 4 x 上的点 M 到焦点的距离为 10 ，则点 M 到 y 轴的距离是 ________. 解析　 抛物线 y 2 ＝ 4 x 的焦点 F (1,0 ). 准线 为 x ＝－ 1 ，由 M 到焦点的距离为 10 ， 可知 M 到准线 x ＝－ 1 的距离也为 10 ， 故 M 的横坐标满足 x M ＋ 1 ＝ 10 ， 解 得 x M ＝ 9 ，所以点 M 到 y 轴的距离为 9. 9 解析答案 (2) 已知点 P 在抛物线 y 2 ＝ 4 x 上，那么点 P 到 Q (2 ，－ 1) 的距离与点 P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点 P 的坐标为 ________. 解析　 抛物线 y 2 ＝ 4 x 焦点为 F (1,0) ，准线为 x ＝－ 1 ， 作 PQ 垂直于准线，垂足为 M ， 根据抛物线定义， PQ ＋ PF ＝ PQ ＋ PM ， 根据三角形两边之和大于第三边， 直角三角形斜边大于直角边知： PQ ＋ PM 的最小值是点 Q 到抛物线准线 x ＝－ 1 的距离 . 题型二　抛物线的标准方程及几何性质 例 2 　 (2015· 福建 ) 已知点 F 为抛物线 E ： y 2 ＝ 2 px ( p ＞ 0) 的焦点，点 A (2 ， m ) 在抛物线 E 上，且 AF ＝ 3. (1) 求抛物线 E 的方程； 解析答案 所以抛物线 E 的方程为 y 2 ＝ 4 x . 点评 (2) 已知点 G ( － 1,0) ，延长 AF 交抛物线 E 于点 B ，证明：以点 F 为圆心且与直线 GA 相切的圆，必与直线 GB 相切 . 解析答案 点评 证明　 方法一 因为 点 A (2 ， m ) 在抛物线 E ： y 2 ＝ 4 x 上， 解析答案 点评 解析答案 所以 k GA ＋ k GB ＝ 0 ，从而 ∠ AGF ＝ ∠ BGF ，这表明点 F 到直线 GA ， GB 的距离相等 ， 故 以 F 为圆心且与直线 GA 相切的圆必与直线 GB 相切 . 点评 解析答案 证明 　方法二　设以点 F 为圆心且与直线 GA 相切的圆的半径为 r . 因为点 A (2 ， m ) 在抛物线 E ： y 2 ＝ 4 x 上， 点评 又 G ( － 1,0) ， 这表明以点 F 为圆心且与直线 GA 相切的圆必与直线 GB 相切 . (1) 由抛物线的标准方程，可以首先确定抛物线的开口方向、焦点的位置及 p 的值，再进一步确定抛物线的焦点坐标和准线方程 . (2) 求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数 p ，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程 . 点评 解析答案 变式训练 2 　 已知抛物线 C 的顶点在坐标原点 O ，其图象关于 y 轴对称且经过点 M (2,1). (1) 求抛物线 C 的方程； 解　 设抛物线 C 的方程为 x 2 ＝ 2 py ( p >0) ， 由点 M (2,1) 在抛物线 C 上，得 4 ＝ 2 p ， 则 p ＝ 2 ， ∴ 抛物线 C 的方程为 x 2 ＝ 4 y . 解析答案 (2) 若一个等边三角形的一个顶点位于坐标原点，另两个顶点在抛物线上，求该等边三角形的面积； 解　 设该等边三角形 OPQ 的顶点 P ， Q 在抛物线上， 且 P ( x P ， y P ) ， Q ( x Q ， y Q ) ， 即 ( y P － y Q )( y P ＋ y Q ＋ 4) ＝ 0. 又 y P >0 ， y Q >0 ，则 y P ＝ y Q ， | x P | ＝ | x Q | ， 即线段 PQ 关于 y 轴对称 . 解析答案 (3) 过点 M 作抛物线 C 的两条弦 MA ， MB ，设 MA ， MB 所在直线的斜率分别为 k 1 ， k 2 ，当 k 1 ＋ k 2 ＝－ 2 时，试证明直线 AB 的斜率为定值，并求出该定值 . 解　 设 A ( x 1 ， y 1 ) ， B ( x 2 ， y 2 ) ， ∴ x 1 ＋ x 2 ＝－ 12 ， ∴ 直线 AB 的斜率为定值 3. 题型三　直线和抛物线的位置关系 例 3 　 已知抛物线 C ： y ＝ mx 2 ( m >0) ，焦点为 F ，直线 2 x － y ＋ 2 ＝ 0 交抛物线 C 于 A ， B 两点， P 是线段 AB 的中点，过 P 作 x 轴的垂线交抛物线 C 于点 Q . (1) 求抛物线 C 的焦点坐标； 解析答案 (2) 若抛物线 C 上有一点 R ( x R , 2) 到焦点 F 的距离为 3 ，求此时 m 的值； 解析答案 点评 (3) 是否存在实数 m ，使 △ ABQ 是以 Q 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出 m 的值；若不存在，说明理由． 解析答案 解析答案 点评 ∴ 存在实数 m ＝ 2 ，使 △ ABQ 是以 Q 为直角顶点的直角三角形． 点评 (1) 直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系； (2) 有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式 AB ＝ x 1 ＋ x 2 ＋ p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式． (3) 涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用 “ 设而不求 ”“ 整体代入 ” 等解法． 提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用 “ 点差法 ” 求解． 点评 解析答案 返回 (2) y 轴上是否存在点 P ，使得当 k 变动时，总有 ∠ OPM ＝ ∠ OPN ？说明理由 . 解析答案 解　 存在符合题意的点，证明如下： 设 P (0 ， b ) 为符合题意的点， M ( x 1 ， y 1 ) ， N ( x 2 ， y 2 ) ，直线 PM ， PN 的斜率分别为 k 1 ， k 2 . 将 y ＝ kx ＋ a 代入 C 的方程得 x 2 － 4 kx － 4 a ＝ 0. 故 x 1 ＋ x 2 ＝ 4 k ， x 1 x 2 ＝－ 4 a . 解析答案 返回 当 b ＝－ a 时，有 k 1 ＋ k 2 ＝ 0 ， 则直线 PM 的倾斜角与直线 PN 的倾斜角互补， 故 ∠ OPM ＝ ∠ OPN ，所以点 P (0 ，－ a ) 符合题意 . 高考 题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1. 如图所示，过抛物线 y 2 ＝ 2 px ( p >0) 的焦点 F 的直线 l 交抛物线于点 A 、 B ，交其准线 l ′ 于点 C ，若 BC ＝ 2 BF ，且 AF ＝ 3 ，则此抛物线的方程为 ________. 解析 答案 y 2 ＝ 3 x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析　 如图，分别过点 A ， B 作准线的垂线 ， 分别 交准线于点 E ， D ， 设 BF ＝ a ，则由已知得 ： BC ＝ 2 a ， 由定义得： BD ＝ a ，故 ∠ BCD ＝ 30°. 在直角三角形 ACE 中， ∵ AF ＝ 3 ， ∴ AE ＝ 3 ， AC ＝ 3 ＋ 3 a ， 由 2 AE ＝ AC ，得 3 ＋ 3 a ＝ 6 ，从而 得 a ＝ 1 ， ∵ BD ∥ FG ， 因此抛物线方程为 y 2 ＝ 3 x . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 2. 已知抛物线关于 x 轴对称，它的顶点在坐标原点 O ，并且经过点 M (2 ， y 0 ). 若点 M 到该抛物线焦点的距离为 3 ，则 OM ＝ ________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析 答案 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析　 由抛物线方程，得 F (2,0) ，准线方程为 x ＝－ 2. 设 A ， B ， C 坐标分别为 ( x 1 ， y 1 ) ， ( x 2 ， y 2 ) ， ( x 3 ， y 3 ) ， 则由抛物线的定义 ， 知 FA ＋ FB ＋ FC ＝ x 1 ＋ 2 ＋ x 2 ＋ 2 ＋ x 3 ＋ 2 ＝ x 1 ＋ x 2 ＋ x 3 ＋ 6. 所以 ( x 1 － 2 ＋ x 2 － 2 ＋ x 3 － 2 ， y 1 ＋ y 2 ＋ y 3 ) ＝ (0,0) ， 则 x 1 － 2 ＋ x 2 － 2 ＋ x 3 － 2 ＝ 0 ， 即 x 1 ＋ x 2 ＋ x 3 ＝ 6 ， ＝ x 1 ＋ x 2 ＋ x 3 ＋ 6 ＝ 12. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5. 已知抛物线 C ： y 2 ＝ 8 x 的焦点为 F ，点 M ( － 2,2) ，过点 F 且斜率为 k 的直线与 C 交于 A ， B 两点，若 ∠ AMB ＝ 90° ，则 k ＝ ________. 解析 答案 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析　 抛物线 C ： y 2 ＝ 8 x 的焦点为 F (2,0) ， 由题意可知直线 AB 的斜率一定存在， 所以设直线方程为 y ＝ k ( x － 2) ，代入抛物线方程可得 k 2 x 2 － (4 k 2 ＋ 8) x ＋ 4 k 2 ＝ 0 ， 设 A ( x 1 ， y 1 ) ， B ( x 2 ， y 2 ) ， 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解得 k ＝ 2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 6. 已知 A ( x 1 ， y 1 ) 是抛物线 y 2 ＝ 8 x 的一个动点， B ( x 2 ， y 2 ) 是圆 ( x － 2) 2 ＋ y 2 ＝ 16 上的一个动点，定点 N (2,0) ，若 AB ∥ x 轴，且 x 1 < x 2 ，则 △ NAB 的周长 l 的取值范围是 ________. 解析 　 抛物线的准线 l ： x ＝－ 2 ，焦点 F (2,0) ， 由抛物线定义可得 AF ＝ x 1 ＋ 2 ， 圆 ( x － 2) 2 ＋ y 2 ＝ 16 的圆心为 (2,0) ，半径为 4 ，又定点 N (2,0) ， ∴△ NAB 的周长即为 △ FAB 的周长＝ AF ＋ AB ＋ BF ＝ x 1 ＋ 2 ＋ ( x 2 － x 1 ) ＋ 4 ＝ 6 ＋ x 2 ， ∵ 抛物线 y 2 ＝ 8 x 及 B ( x 2 ， y 2 ) 在圆 ( x － 2) 2 ＋ y 2 ＝ 16 上， ∴ x 2 ∈ (2,6) ， ∴ 6 ＋ x 2 ∈ (8,12). (8,12) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 7. 如图，从点 M ( x 0, 4) 发出的光线，沿平行于抛物线 y 2 ＝ 8 x 的对称轴方向射向此抛物线上的点 P ，经抛物线反射后，穿过焦点射向抛物线上的点 Q ，再经抛物线反射后射向直线 l ： x － y － 10 ＝ 0 上的点 N ，经直线反射后又回到点 M ，则 x 0 ＝ ________. 解析 　 由题意得 P (2,4) ， F (2,0) ⇒ Q (2 ，－ 4) ， 因此 N (6 ，－ 4) ， 因为 QN ∥ PM ， 所以 MN ⊥ QN ，即 x 0 ＝ 6. 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 解析　 由题意可得直线的斜率存在且不等于 0 ， 设直线 l 的方程为 y ＝ kx ＋ 2 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 解析　 设 A ( x 0 ， y 0 ) ，则 AB ＝ x 0 ， BC ＝ 1 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 0 或－ 8 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析　 因为点 M ， N 关于直线 y ＝ x ＋ m 对称， 所以 MN 的垂直平分线为 y ＝ x ＋ m ， 所以直线 MN 的斜率为－ 1. 设线段 MN 的中点为 P ( x 0 ， x 0 ＋ m ) ， 直线 MN 的方程为 y ＝－ x ＋ b ，则 x 0 ＋ m ＝－ x 0 ＋ b ， 所以 b ＝ 2 x 0 ＋ m . 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 因为 MN 的中点 P 在抛物线 y 2 ＝ 18 x 上， 解得 m ＝ 0 或 m ＝－ 8. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 11. 如图，已知两条抛物线 E 1 ： y 2 ＝ 2 p 1 x ( p 1 >0) 和 E 2 ： y 2 ＝ 2 p 2 x ( p 2 >0) ，过原点 O 的两条直线 l 1 和 l 2 ， l 1 与 E 1 ， E 2 分别交于 A 1 ， A 2 两点， l 2 与 E 1 ， E 2 分别交于 B 1 ， B 2 两点 ． (1) 证明： A 1 B 1 ∥ A 2 B 2 ； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 (2) 过 O 作直线 l ( 异于 l 1 ， l 2 ) 与 E 1 ， E 2 分别交于 C 1 ， C 2 两点．记 △ A 1 B 1 C 1 与 △ A 2 B 2 C 2 的面积分别为 S 1 与 S 2 ， 求 的 值 ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解　 由 (1) 知 A 1 B 1 ∥ A 2 B 2 ， 同理可得 B 1 C 1 ∥ B 2 C 2 ， C 1 A 1 ∥ C 2 A 2 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 12. 已知抛物线 y 2 ＝ 2 px ( p >0) 的焦点为 F ， A ( x 1 ， y 1 ) ， B ( x 2 ， y 2 ) 是过 F 的直线与抛物线的两个交点，求证： 则 y 1 ， y 2 是方程 (*) 的两个实数根，所以 y 1 y 2 ＝－ p 2 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 解析答案 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (3) 以 AB 为直径的圆与抛物线的准线相切 . 证明　 设 AB 的中点为 M ( x 0 ， y 0 ) ，分别过 A ， B 作准线的垂线 ， 垂足 为 C ， D ，过 M 作准线的垂线， 所以以 AB 为直径的圆与抛物线的准线相切 .