数学卷·2018届广东省普宁市第一中学高二上学期第二次月考理数试题 （解析版）

数学卷·2018届广东省普宁市第一中学高二上学期第二次月考理数试题 （解析版）

全*品*高*考*网， 用后离不了！第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.‎ ‎1.已知全集，则正确表示集合和关系的韦恩（Venn）图是( ) ‎ ‎ ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：,正确 考点：集合间的关系 ‎2.复数等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：‎ 考点：复数运算 ‎3.若的值等于（ ）‎ A．2 B．3 C．4 D．6‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：‎ 考点：同角间三角函数关系 ‎4.已知，，且，则 A． B． ‎ C．或 D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：设，由已知可得或，所以C正确 考点：向量坐标运算 ‎5.如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）‎ ‎ ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：此几何体为三棱锥，‎ 底面面积S= •6•3=9，‎ 体高为3，则此几何体的体积为×S×3= ×9×3=9‎ 考点：由三视图求面积、体积 ‎6.椭圆的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则的值为 A． B． C．2 D．4‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：椭圆的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，∴‎ 考点：椭圆的简单性质 ‎7.程序框图如图所示，输出S的值是( )‎ A.7 B.11 C. 12 D.25【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：程序执行中的数据变化如下：成立，输出 考点：程序框图 ‎8.在同一坐标系中，函数f(x)=xa(x＞0)，g(x)=logax的图象可能是 ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：当0＜a＜1时，函数f(x)=xa(x＞0)，g(x)=logax的图象为：‎ 此时答案D满足要求，‎ 当a＞1时，函数f(x)=xa(x＞0)，g(x)=logax的图象为：‎ 无满足要求的答案，‎ 综上：故选D，‎ 考点：函数的图象 ‎9.设x,y满足约束条件，则目标函数的最大值是 A.5 B. -1 C.-5 D.0‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：不等式对应的可行域为直线围成的三角形及其内部，当直线过三角形顶点时取得最大值5‎ 考点：线性规划问题 ‎10.已知函数在上有两个零点，则实数的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：由f（x）=0得sin（x+ ）= ，‎ 作出函数y=g（x）=sin（x+）在上的图象，如图：‎ 由图象可知当x=0时，g（0）=sin=，‎ 函数g（x）的最大值为1，‎ ‎∴要使f（x）在上有两个零点，‎ 则，即 考点：函数零点的判定定理 ‎11.已知函数f（x）=x2+bx的图象在点A（1，f（1））处的切线l与直线3x﹣y+2=0平行，若数列{}的前n项和为Sn，则S2014的值为（）‎ ‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：∵f（x）=x2+bx，∴f′（x）=2x+b ‎∵直线3x-y+2=0的斜率为k=3，‎ 函数f（x）=x2+bx的图象在点A（1，f（1））处的切线l与直线3x-y+2=0平行，‎ ‎∴f′（1）=2+b=3，解得b=1，‎ ‎∴f（x）=x2+x，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ 考点：数列的求和 ‎12.已知定义在R上的奇函数f（x），设其导函数为f′（x），当x∈（-∞，0]时，恒有xf′（x）＜f（-x），令F（x）=xf（x），则满足F（3）＞F（2x-1）的实数x的取值范围是（ ）‎ A（，2） B（-2，1）C（-1，2） D（-1，）‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 考点：利用导数研究函数的单调性 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.若实数，满足则S＝2x＋y－1的最大值为-------- ‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】‎ 试题分析：不等式对应的可行域为直线围成的三角形区域，当S＝2x＋y－1过顶点时取得最大值6‎ 考点：线性规划问题 ‎14.已知数列{an}满足：an≤an＋1，an＝n2＋λn，n∈N*，则实数λ的最小值是_______‎ ‎【答案】－3‎ ‎【解析】‎ 试题分析：∵an＝n2＋λn，‎ ‎∴an+1=（n+1）2+λ（n+1）‎ ‎∵an≤an＋1，‎ ‎∴（n+1）2+λ（n+1）-n2-λn≥0‎ 化简可得2n+1+λ≥0‎ ‎∴λ≥-2n-1，对于任意正整数n都成立，‎ ‎∴λ≥-3‎ ‎∴λ的最小值为-3‎ 考点：数列的函数特性 ‎15.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶D在西偏北的方向上，行驶600m后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度_________m. ‎ ‎ ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：设此山高h（m），则BC= h，‎ 在△ABC中，∠BAC=30°，∠CBA=105°，∠BCA=45°，AB=600．‎ 根据正弦定理得，‎ 解得h= （m）‎ 考点：解三角形的实际应用 ‎16.△ABC中，∠A＝60°，M为边BC的中点，AM＝ ，则2AB＋AC的取值范围是________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 考点：正弦定理 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17.(10分）.在中，角、、的对边分别为，且满足，，边上中线的长为.‎ ‎（I）求角和角的大小；（II）求△ABC的面积。‎ ‎【答案】（I）（II） ‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）利用余弦定理表示出cosA，将已知等式变形后代入求出cosA的值，确定出角A的度数，将2bsinA=a利用正弦定理化简求出sinB的值，即可确定出角B的大小；（Ⅱ）由A=B，利用等角对等边得到AC=BC，设AC=BC=x，利用余弦定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出AC与BC的长，再由sinC的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积 试题解析：：（Ⅰ）由得：，即，‎ ‎∴由余弦定理得：，‎ ‎∵A为三角形内角，‎ ‎∴A=，‎ 由2bsinA=a，利用正弦定理化简得：2sinBsinA=sinA，即sinB=，‎ 则B=；‎ ‎（Ⅱ）由A=B，得到AC=BC=x，可得，‎ 由余弦定理得，‎ 解得：x=，‎ 则S△ABC=AC•BC•sinC=×××=‎ 考点：余弦定理；正弦定理 ‎18.（12分）已知等差数列{an}满足：a1＝2，且．‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)记Sn为数列的前n项和，求Sn ‎【答案】(1) an＝2或an＝4n－2，(2) 或 ‎【解析】‎ 试题分析：(1)由转化为用表示，解方程可得值，从而求得通项公式；(2)由（1）得到数列的通项公式，从而结合等差数列得到其前n项和 试题解析：(1)设等差数列{an}的公差为d，依题意，化简得：d2－4d＝0，‎ 解得d＝0或d＝4.‎ 当d＝0时，an＝2；‎ 当d＝4时，an＝2＋(n－1)·4＝4n－2，‎ 从而得数列{an}的通项公式为an＝2或an＝4a－2.-------6分 ‎(2) 1.当d＝0 ---------9分 ‎2.当d＝4时， ----12分 考点：等差数列通项公式及求和公式 ‎19.（12分）甲船在A处观察到乙船在它的北偏东60°方向的B处，两船相距a n mile，乙船向正北方向行驶．若甲船的速度是乙船速度的 倍，问甲船应沿什么方向前进才能最快追上乙船？相遇时乙船行驶了多少n mile?‎ ‎【答案】甲船应沿北偏东30°方向前进才能最快追上乙船，两船相遇时乙船行驶了a n mile.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由题意及方位角的定义画出简图，设到C点甲船上乙船，乙到C地用的时间为t，乙船速度追为v，则BC=tv，AC=tv，B=120°，在三角形中利用正弦定理及余弦定理即可求解 试题解析：如图所示，‎ 设两船在C处相遇，并设∠CAB＝θ，乙船行驶距离BC 为x n mile，则AC＝x，由正弦定理得 sin θ＝＝，而θ<60°，‎ ‎∴θ＝30°，即∠ACB＝30°，AB＝BC＝a.‎ 答 甲船应沿北偏东30°方向前进才能最快追上乙船，两船相遇时乙船行驶了a n mile.‎ 考点：余弦定理；正弦定理 ‎20.（12分）△ABC中角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a(1＋cosC)＋c(1＋cosA)＝3b.‎ ‎(1)求证：a，b，c成等差数列；‎ ‎(2)求cosB的最小值．‎ ‎【答案】(1)详见解析(2) ‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）利用正弦定理，结合条件，即可证明a，b，c成等差数列；（2）利用余弦定理，结合基本不等式，即可求cosB的最小值 试题解析：(1)证明：由正弦定理得sinA(1＋cosC)＋sinC(1＋cosA)＝3sinB ‎⇒sinA＋sinC＋sinAcosC＋cosAsinC＝3sinB ‎⇒sinA＋sinC＋sin(A＋C)＝3sinB ‎⇒sinA＋sinC＝2sinB.‎ 由正弦定理知a＋c＝2b，‎ 所以a，b，c成等差数列．--------5分 ‎(2)cosB＝＝＝＝‎ ‎≥‎ 所以当a＝c时，(cosB)min＝.-------12分 考点：等差数列的性质；余弦定理 ‎21.（12分）小王在年初用50万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元．小王在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第x年年底出售，其销售价格为25－x万元(国家规定大货车的报废年限为10年)．‎ ‎(1)大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？‎ ‎(2)在第几年年底将大货车出售，能使小王获得的年平均利润最大(利润＝累计收入＋销售收入－总支出)?‎ ‎【答案】(1) 从第3年开始运输累计收入超过总支出(2)第5年年底将大货车出售 ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由n总收入减去总支出得到大货车到第n年年底的运输累计收入与总支出的差，然后求解一元二次不等式得答案；（2）由利润=累计收入+销售收入-总支出得到第n年年底将大货车出售时小王获得的年利润，然后利用基本不等式求最值 试题解析：(1)设大货车到第x年年底的运输累计收入与总支出的差为y万元则y＝25x－－50，‎ ‎ (0＜x≤10，x∈N)，即y＝－x2＋20x－50，(0＜x≤10，x∈N)，‎ 由－x2＋20x－50＞0，‎ 解得10－5＜x＜10＋5，‎ 而2＜10－5＜3，‎ 故从第3年开始运输累计收入超过总支出．----5分 ‎(2)因为利润＝累计收入＋销售收入－总支出．‎ 所以销售二手货车后，小王的年平均利润为 ‎＝ ＝ (－x2＋19x－25)＝‎ ‎19－，而19－≤19－2 ＝9，----11分 当且仅当x＝5时取得等号．即小王应当在第5年年底将大货车出售，才能使年平均利润最大 ------12分 考点：函数模型的选择与应用 ‎22.（12分）实系数一元二次方程x2＋ax＋2b＝0有两个根，一个根在区间(0，1)内，另一个根在区间(1，2)内，‎ 求：1.(a－1)2＋(b－2)2的值域．‎ ‎2.的取值范围；‎ ‎【答案】(1) (8，17) (2) ‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由一元二次方程根的分布可得到解不等式组可得到的不等式，从而得到其对应的可行域，将(a－1)2＋(b－2)2转化为与间的距离；将转化为斜率求解 试题解析：(1)因为(a－1)2＋(b－2)2表示区域内的点(a，b)与定点(1，2)之间距离的平方，‎ 所以(a－1)2＋(b－2)2∈(8，17)．-----------6分 ‎(2) -------------------8分 的几何意义是点(a，b)和点D(1，2)连线的斜率．‎ 因为由图可知kAD＜＜kCD，‎ 所以＜＜1，即∈-----------10分 ‎.--------12分 考点：一元二次方程的根的分布与系数的关系 ‎ ‎