福建省南平市2020届高三毕业班第一次综合质量检测数学（理）参考答案

福建省南平市2020届高三毕业班第一次综合质量检测数学（理）参考答案

南平市2019-2020学年高中毕业班第一次综合质量检测 理科数学试题答案及评分参考 说明：‎ ‎1、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则.‎ ‎2、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.‎ ‎3、只给整数分数. 选择题和填空题不给中间分.‎ 一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分60分．‎ ‎（1）A （2）C （3）D （4）D （5）C （6）C ‎（7）B （8） B （9）A （10）B （11）B （12）A 二、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分20分．‎ ‎（13） （14） 20 （15）2n （16） ‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎ ‎ ‎（17）（本小题满分12分）‎ 解：（1）由已知及余弦定理可得：‎ ‎，···················2分 ‎∴ ∵为锐角三角形，∴···················5分 ‎（2）由正弦定理，可得，·················6分 ‎∵，∴， ·················8分 解得，·················9分 由余弦定理得，‎ ‎，于是的周长为.·················12分 ‎(18) （本小题满分12分）‎ 证明：设交于点，，，所以，所以，在中，且，得，即，…………………2分 又平面平面，平面平面，平面，所以平面 ………………………3分 又平面，所以 ………………5分 ‎（2）平面平面，平面平面，平面，，所以平面， ……………………6分 以为原点，以射线为轴，轴，轴正半轴建立空间直角坐标系，，，，，,,……………………7分 设平面的法向量为，则，‎ 取，得………………9分 设平面的法向量为，则，取，得……………11分 设所求角为，则，‎ 所求的锐二面角余弦值为 ………………12分 ‎ (19) （本小题满分12分）‎ 解：由椭圆：的长轴长是离心率的两倍 得，即……….. ①········1分 设 联立和 整理得；········3分 所以，‎ 依题意得：，即…….. ②········5分 由①②得依题意得 所以椭圆的方程为.········6分 ‎（2）设，由得········7分 因为在椭圆上，故·······9分 ‎=.···12‎ ‎（20）（本小题满分12分）‎ ‎20.解:(1). ········1分 当时，单调递增；········2分 当时，单调递减. ········3分 所以的单调递增区间为，单调递减区间为········4分 ‎(2)由得 也就是，令，········5分 则=，由知，.‎ 设，，在单调递增，········6分 又，所以存在使得，‎ 即.········7分 当时，，在单调递减；‎ 当时，，在单调递增; ········9分 所以=.········11分 所以的取值范围是.········12分 ‎ (21) （本小题满分12分）‎ 解：（1）由，两边同时取常用对数得：；‎ 设…………………………………………………………1分 ‎，， …………………2分 ‎，………………………4分 把样本中心点代入,得: ，‎ ‎……………………………………5分 关于的回归方程为：；‎ 把代入上式， ； ‎ 活动推出第8天使用扫码支付的人次为331； …………………………………………7分 ‎（2）记一名顾客购物支付的费用为，‎ 则的取值可能为：，，，；…………………………………… 8分 ‎；；‎ ‎；…………………10分 分布列为：‎ 所以，一名顾客购物的平均费用为：‎ ‎（元）………………………12分 ‎（22）（本小题满分10分）‎ 解：（1）直线的极坐标方程化成 ‎，直线的直角坐标方程为……………2分 曲线的参数方程化成：.‎ 平方相加得，即 ………………5分 ‎（2）设点，则到直线的距离为：‎ ‎ ………………8分 当时，………………9分 设的面积为，则 ……10分 法二：也可设点 ‎23.已知函数，若的解集为.‎ ‎（1）求并解不等式；‎ ‎（2）已知：，若,对一切实数都成立，求证：‎ ‎.‎ 解：（1）由可得：，即 解集为（-1，0），所以 …………………………………3分 当时，不等式化成，解得：‎ 当时，不等式化成，解得：‎ 综上所述，解集为………………………………5分 （2） 由题意得对一切实数恒成立，‎ 从而…………………………………6分 的最小值为3 ………………………………8分 ‎，又 ‎ ‎………………………………10分