福建省三明市永安市第三中学2020届高三上学期期中考试数学（文）试题

福建省三明市永安市第三中学2020届高三上学期期中考试数学（文）试题

‎2019-2020永安三中高三上学期半期考数学（文科）试卷 第Ⅰ卷（选择题）‎ 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1.在复平面上，复数对应的点位于（　　）‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简复数，判断对应点的象限.‎ ‎【详解】，对应点为在第一象限.‎ 故答案选A ‎【点睛】本题考查了复数计算，属于简单题.‎ ‎2.已知为锐角，且，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用两角和的正弦可求的值.‎ ‎【详解】因为为锐角，且，故，‎ 又 ‎，‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查两角和正弦，利用同角的三角函数的基本关系式求一个角的另一个三角函数值时，要注意角的范围，此类问题属于容易题，.‎ ‎3.下列结论错误的是（ ）‎ A. 若“”为假命题，则均为假命题 B. “”是“”的充分不必要条件 C. 命题：“”的否定是“”‎ D. 命题：“若，则”的逆否命题为“若，则”‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 逐个分析各命题的真假后可得正确的选项.‎ ‎【详解】对于A， “”为假命题当且仅当均为假命题，故A正确；‎ 对于B，当时，若，则，故不成立，故B错误；‎ 对于C，D，分别根据存在性命题的否定和原命题的逆否命题的形式可得C，D都是正确的，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查复合命题的真假判断、充分不必要条件、存在性命题的否定及逆否命题，此类问题属于基础题.‎ ‎4.函数的部分图像如图所示，则 A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：由题图知，，最小正周期，所以，所以.因为图象过点，所以，所以，所以，令，得，所以，故选A.‎ ‎【考点】 三角函数的图像与性质 ‎【名师点睛】根据图像求解析式问题的一般方法是：先根据函数图像的最高点、最低点确定A，h的值，由函数的周期确定ω的值，再根据函数图像上的一个特殊点确定φ值．‎ ‎5.若直线被圆心坐标为（2，-1）的圆截得的弦长为，则这个圆的方程 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先设出圆的标准方程，然后求出圆心到直线的距离，通过利用垂径定理和勾股定理，求出圆的半径，得到圆的方程．‎ ‎【详解】根据题意，设圆的方程为（x-2）2+（y+1）2=r2．‎ 而圆心到直线x-y-1=0的距离为 ，‎ 根据垂径定理和勾股定理，可知 ，‎ 所以所求圆的方程为：（x-2）2+（y+1）2=4． 故选：A ‎【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，以及点到直线的距离公式的应用。已知直线被圆所截的弦长时，通常考虑由弦心距、弦长的一半（垂径定理），和圆的半径所构成的直角三角形，利用勾股定理，求出未知量。‎ ‎6.已知，则的关系为（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先利用中间数1可判断的大小，再利用中间数2可判断的大小，从而可判断的大小.‎ ‎【详解】因为，所以，‎ 而，所以，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查指数、对数的大小比较，注意利用中间数来传递不等式关系.‎ ‎7.在中，已知是延长线上一点，若，点为线段的中点，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意结合向量的运算法则整理计算即可求得最终结果.‎ ‎【详解】由题意可知：‎ ‎，‎ 据此可知：.‎ 本题选择B选项.‎ ‎【点睛】(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．‎ ‎(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．‎ ‎8.函数（其中为自然对数的底数）的图象大致为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意结合函数的奇偶性和函数的单调性整理计算即可求得最终结果.‎ ‎【详解】,‎ 所以为偶函数,图象关于轴对称，选项BD错误；‎ 由函数的解析式可得：，，‎ 据此可知函数在上不是单调递增函数，选项C错误.‎ 本题选择A选项.‎ ‎【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．‎ ‎9.已知圆的方程为，平面上有两点，点在圆上，则的面积的最大值是（ ）．‎ A. 6 B. 3 C. 2 D. 1‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出点到的距离的最大值后利用面积公式可求面积的最大值.‎ ‎【详解】直线的方程为：，‎ 所以到直线的距离为4，故到的距离的最大值为，‎ 故的面积的最大值为，‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查圆中的最值的求法，一般地，我们可根据条件将圆上动点到直线距离的最值问题转化为圆心到直线的距离问题，此类问题属于基础题.‎ ‎10.为了得到函数的图像，可以将函数的图像（ ）‎ A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向右平移个单位 D. 向左平移个单位 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 因为，且==，‎ 所以由=，知，即只需将的图像向右平移个单位，故选B ‎11.若直线，被圆截得弦长为4，则的最小值是（ ）．‎ A. 9 B. 4 C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由圆的一般方程可以得到圆的标准方程，从而得到圆的半径为2，故直线必定经过圆心，从而，利用基本不等式可以得到的最小值.‎ ‎【详解】圆的标准方程为：，故圆的半径为.‎ 因为直线被圆截得弦长为4，‎ 所以直线必定经过圆心，所以即，‎ 又，‎ 因为，由基本不等式有，‎ 当且仅当时等号成立，‎ 所以最小值为9，‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查圆的一般方程与标准方程的互化及基本不等式的应用，应用基本不等式求最值时，注意“一正”、“二定”、“三相等”.‎ ‎12.已知定义在R上的偶函数，其导函数为．当时，恒有，若，则不等式的解集为 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据为偶函数，则也为偶函数，利用导数可以判断在为减函数，则不等式可转化为，解不等式即可得到答案。‎ ‎【详解】解：是定义在R上的偶函数， 。‎ 时，恒有，‎ 又，‎ 在为减函数。‎ 为偶函数， 也为偶函数 在为增函数。‎ 又，，即，化简得，得。故选A。‎ ‎【点睛】通过构造新函数来研究函数单调性是本题一大亮点，同时利用抽象函数的单调性、奇偶性解不等式是常考考点，要牢牢掌握。‎ 第Ⅱ卷（非选择题）‎ 二、填空题：本大题共4小题。‎ ‎13.已知函数，则的值是______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 算出后可求的值.‎ ‎【详解】，故.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查分段函数的函数值的求法，注意自变量的值的范围以便代入正确的解析式求解，此类问题属于基础题.‎ ‎14.已知向量，，若，则________．‎ ‎【答案】7‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 运用向量的加减运算和向量垂直的条件：数量积为0，计算即可得到．‎ ‎【详解】解：，，，‎ ‎，‎ 解得 故答案为：7‎ ‎【点睛】本题考查平面向量的数量积的坐标表示和性质，考查向量垂直的条件，考查运算能力，属于基础题．‎ ‎15.等比数列的各项均为正数，且，则 .‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由题意知，且数列的各项均为正数，所以，‎ ‎，‎ ‎．‎ 考点：1．考查等比数列的基本性质；2．对数的基本运算．‎ ‎16.若曲线与直线始终有交点，则的取值范围是_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 由题设可知有解，即有解，令借，则，所以，由于，故，结合正弦函数的图像可知，则 ‎，应填答案。‎ 点睛：解答本题的思路是依据题设条件将其转化为方程有解，进而分离参数，然后通过三角换元将其转化为求函数的值域问题，最后借助正弦函数的图像求出其值域使得问题获解。‎ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17.2022年北京冬奥会的申办成功与“3亿人上冰雪”口号的提出，将冰雪这个冷项目迅速炒“热”．北京某综合大学计划在一年级开设冰球课程，为了解学生对冰球运动的兴趣，随机从该校一年级学生中抽取了100人进行调查，其中女生中对冰球运动有兴趣的占，而男生有10人表示对冰球运动没有兴趣额．‎ ‎（1）完成列联表，并回答能否有的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”？‎ 有兴趣 没兴趣 合计 男 ‎55‎ 女 合计 ‎（2）已知在被调查的女生中有5名数学系的学生，其中3名对冰球有兴趣，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至少有2人对冰球有兴趣的概率．‎ 附表：‎ ‎0.150‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎【答案】（1）有（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题中数据得到列联表，然后计算出，与临界值表中的数据对照后可得结论。（2）由题意得概率为古典概型，根据古典概型概率公式计算可得所求。‎ ‎【详解】（1）根据已知数据得到如下列联表 有兴趣 没有兴趣 合计 男 ‎45‎ ‎10‎ ‎55‎ 女 ‎30‎ ‎15‎ ‎45‎ 合计 ‎75‎ ‎25‎ ‎100‎ 由列联表中的数据可得 因为，‎ 所以有90%的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”． ‎ ‎(2)记5人中对冰球有兴趣的3人为A、B、C，对冰球没有兴趣的2人为m、n，‎ 则从这5人中随机抽取3人，所有可能的情况为：（A,m,n）,（B,m,n）,（C,m,n）,（A,B,m）,‎ ‎（A,B,n）,（B,C,m）,（B,C,n）,（A,C,m）,（A,C,n）,（A,B,C），共10种情况， ‎ 其中3人都对冰球有兴趣的情况有（A,B,C），共1种，2人对冰球有兴趣的情况有（A,B,m）,（A,B,n）,（B,C,m）,（B,C,n）,（A,C,m）,（A,C,n），共6种， ‎ 所以至少2人对冰球有兴趣的情况有7种，‎ 因此，所求概率为。‎ ‎【点睛】由于独立性检验有其独特的作用，其原理不难理解和掌握，但解题时需要注意计算的准确性和判断的正确性，对独立性检验的考查多以解答题的形式出现，一般为容易题，多与概率、统计等内容综合命题．‎ ‎18.的内角，，所对的边分别为，，．向量与平行．‎ ‎（Ⅰ）求；‎ ‎（Ⅱ）若，求的面积．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：（1）根据平面向量，列出方程，在利用正弦定理求出的值，即可求解角的大小；（2）由余弦定理，结合基本不等式求出的最大值，即得的面积的最大值.‎ 试题解析：（1）因为向量与平行，‎ 所以，‎ 由正弦定理得，‎ 又，从而tanA＝，由于00，所以c＝3.‎ 故△ABC的面积为bcsinA＝.‎ 考点：平面向量的共线应用；正弦定理与余弦定理.‎ ‎19.已知等差数列满足：，其前项和为．‎ ‎（1）求数列的通项公式及；‎ ‎（2）若，求数列的前项和．‎ ‎【答案】(1) ，． (2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）算出基本量后可求及；‎ ‎（2）利用裂项相消法可求.‎ ‎【详解】解：（1）设等差数列的公差为，则，‎ 解得：，‎ ‎∴，．‎ ‎（2），‎ ‎∴数列的前项和为 ‎【点睛】等差数列或等比数列的处理有两类基本方法：（1）利用基本量即把数学问题转化为关于基本量的方程或方程组，再运用基本量解决与数列相关的问题；（2）利用数列的性质求解即通过观察下标的特征和数列和式的特征选择合适的数列性质处理数学问题．数列求和关键看通项的结构形式，如果通项是等差数列与等比数列的和，则用分组求和法；如果通项是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；如果通项可以拆成一个数列连续两项的差，那么用裂项相消法；如果通项的符号有规律的出现，则用并项求和法.‎ ‎20.在平面直角坐标系中，直线与圆相切，圆心的坐标为．‎ ‎（1）求圆的方程；‎ ‎（2）设直线与圆没有公共点，求取值范围；‎ ‎（3）设直线与圆交于、两点，且，求的值．‎ ‎【答案】(1) (2) (3) 或．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用直线和圆相切可求圆的半径，从而得到圆的标准方程.‎ ‎（2）利用圆心到直线的距离大于半径可求的取值范围.‎ ‎（3）设，由可得，联立直线方程和圆的方程，消去后利用韦达定理化简得到一个与有关的方程，解方程后可求的值.‎ ‎【详解】解：（1）设圆的方程是（为圆的半径），‎ ‎∵为圆心的圆与直线相切，‎ ‎∴所求圆的半径，‎ ‎∴所求的圆方程是．‎ ‎（2）圆心到直线的距离 ‎∵与圆没有公共点，‎ ‎∴即，解得．‎ 的取值范围为.‎ ‎（3）设 消去，得到方程，‎ 由已知可得，判别式，化简得，‎ ‎①‎ 由于，可得，‎ 又，‎ 得②‎ 由①②得，故或，它们满足，‎ 故或．‎ ‎【点睛】直线与圆的位置关系问题，有两种基本的处理策略：‎ ‎（1）利用平面几何中的一些定理、性质进行转化，如垂径定理、相交弦定理、切线长定理等；‎ ‎（2）一般可通过联立方程组并消元得到关于或的一元二次方程，再把要求解的目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系中含有或，最后利用韦达定理把关系式转化为某一个变量的方程，解此方程即可.‎ ‎21.设函数，，，记.‎ ‎（1）求曲线在处的切线方程；‎ ‎（2）求函数的单调区间；‎ ‎（3）当时，若函数没有零点，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）曲线在处的切线方程；（2）当时，函数的增区间是，当时，函数的增区间是，减区间是；（3）实数的取值范围为.‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：（1）求曲线在处的切线方程，由导数的几何意义得，对函数求导得，既得函数在处的切线的斜率为，又，得切点，由点斜式可得切线方程；（2）求函数的单调区间，由题意得，，求函数的单调区间，先确定函数的定义域为，由于含有对数函数，可对函数求导得，，由于含有参数，需对讨论，分，两种情况，从而得函数的单调区间；（3）当时，若函数没有零点，即无解，由（2）可知，当时，函数的最大值为，只要小于零即可，由此可得的取值范围．‎ 试题解析：(1)，则函数在处的切线的斜率为.又，‎ 所以函数在处切线方程为,即 ‎ ‎（2），，（）.‎ ‎①当时，，在区间上单调递增；‎ ‎②当时，令，解得；令，解得.‎ 综上所述，当时，函数的增区间是；‎ 当时，函数的增区间是，减区间是. ‎ ‎（3）依题意，函数没有零点，即无解.‎ 由（2）知，当时，函数在区间上为增函数,区间上为减函数，‎ 由于，只需，‎ 解得.‎ 所以实数的取值范围为. ‎ 考点：函数与导数，导数的几何意义，函数的单调性，函数的零点．‎ 四、选考题：请考生在第22,23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题记分．‎ ‎22.在平面直角坐标系中，直线过点，倾斜角为，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是.‎ ‎（1）写出直线的参数方程和曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）若，设直线与曲线交于两点，求的面积.‎ ‎【答案】(1)答案见解析；(2).‎ ‎【解析】‎ 试题分析：‎ ‎（1）由直线参数方程的定义可得 的参数方程，根据极坐标和直角坐标间的转化公式可得所求方程．（2）求出直线的参数方程，代入抛物线方程后根据参数方程中参数的几何意义求得，求得点后可得三角形的面积．‎ 试题解析：‎ ‎(1)由题意可得直线的参数方程为：‎ ‎，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 将代入上式，可得，‎ ‎∴曲线的直角坐标方程为． ‎ ‎（2）当时，直线的参数方程为 代入可得 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎23.已知函数.‎ ‎（1）当a=2时，求不等式的解集；‎ ‎（2）设函数.当时，，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）当时；（2）由 等价于 ‎，解之得.‎ 试题解析： （1）当时，.‎ 解不等式，得.‎ 因此，的解集为.‎ ‎（2）当时，，‎ 当时等号成立，‎ 所以当时，等价于. ①‎ 当时，①等价于，无解.‎ 当时，①等价于，解得.‎ 所以的取值范围是.‎ 考点：不等式选讲.‎ ‎ ‎