2020届二轮复习函数与基本初等函数（三）学案（全国通用）
年 级： 辅导科目：数学 课时数：
课 题
函数与基本初等函数（三）
教学目的
教学内容
第五节 指数与指数函数
（一）高考目标
考纲解读
1．了解指数函数模型的实际背景．
2．理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．
3．理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图像通过的特殊点．
4．知道指数函数是一类重要的函数模型．
考向预测
1．指数函数在高中数学中占有十分重要的地位，是高考重点考查的对象，热点是指数函数的图像与性质的综合应用．同时考查分类整合思想和数形结合思想．
2．幂的运算是解决与指数有关问题的基础，常与指数函数交汇命题．
（二）课前自主预习
知识梳理
1．指数幂的概念
(1)根式
如果一个数的n次方等于a(n>1且n∈N＋)，那么这个数叫做a的n次方根．也就是，若xn＝a，则x叫
做 ，其中n>1且n∈N＋.式子 叫做 ，这里n叫做 ，a叫做 ．
(2)根式的性质
①当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时，a的n次方根用符号 表示．
②当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数，这时，正数的正的n次方根用符号 表示，负的n次方根用符号 － 表示．正负两个n次方根可以合写为± (a>0)．
③()n＝ .
④当n为奇数时，＝ ；
当n为偶数时，＝|a|＝ .
⑤负数没有偶次方根．
⑥零的任何次方根都是零．
2．有理数指数幂
(1)分数指数幂的表示
①正数的正分数指数幂是
＝ (a>0，m，n∈N＋，n>1)．
②正数的负分数指数幂是
＝ ＝ (a>0，m，n∈N＋，n>1)．
③0的正分数指数幂是 ,0的负分数指数幂无意义．
(2)有理数指数幂的运算性质
①aras＝ (a>0，r，s∈Q)．
②(ar)s＝ (a>0，r，s∈Q)．
③(ab)r＝ (a>0，b>0，r∈Q)．
3．指数函数的图像与性质
定义域
值域
过定点
性质
当x>0时， ；
x<0时， .
当x>0时， ；
x<0时， .
（三）基础自测
1．若a＝(2＋)－1，b＝(2－)－1，则(a＋1)－2＋(b＋1)－2的值是( )
A．1 B. C. D.
[答案] D
[解析] a＝2－，b＝2＋，
∴(a＋1)－2＋(b＋1)－2＝＋＝＝＝＝.
2．若函数y＝(a2－3a＋3)·ax是指数函数，则有( )
A．a＝1或a＝2 B．a＝1 C．a＝2 D．a>0且a≠1
[答案] C
[解析] 由y＝(a2－3a＋3)·ax为指数函数，可得，解得即a＝2.
3．(2018·东营模拟)函数y＝的单调递增区间是( )
A．(－∞，－1] B．[2，＋∞) C. D.
[答案] D
[解析] 令t＝－x2＋x＋2≥0，得函数定义域为[－1,2]，所以t＝－x2＋x＋2在上递增，在上递减．根据“同增异减”的原则，函数y＝的单调递增区间是.
4．函数f(x)＝则f(－3)＝__________.
[答案] .
[解析] f(－3)＝f(－3＋2)＝f(－1)＝f(－1＋2)＝f(1)＝f(1＋2)＝f(3)＝2－3＝.
5．(2009·江苏文)已知a＝，函数f(x)＝ax，若实数m，n满足f(m)>f(n)，则m，n的大小关系为________
[答案] m
f(n)，
∴m0）,则log a=
[答案] 3
2.命题方向:指数函数性质的考查
[例2] 求下列函数的定义域和值域．
(1)y＝－|x＋1|；(2)y＝；(3)y＝2
[分析] 指数函数y＝ax(a>0，a≠1)的定义域为R，所以y＝af(x)的定义域与f(x)定义域相同；值域则要应用其单调性来求，复合函数则要注意“同增异减”的原则．
[解析] (1)定义域为R.因为－|x＋1|≤0，
所以y＝－|x＋1|≥0＝1，所以值域为[1，＋∞)．
(2)因为2x＋1>0恒成立，所以定义域为R.又因为y＝＝1－，而0<<1，所以－1<－<0，
解得00且a≠1)．
(1)求函数f(x)的定义域；
(2)讨论f(x)的奇偶性；
(3)求a的取值范围，使f(x)>0在定义域上恒成立．
[分析] 问题的关键是考查＋具有哪些性质，因x3对任意x∈R均有意义，其奇偶性易于考查．
[解析] (1)由于ax－1≠0，则ax≠1，得x≠0，
所以函数f(x)的定义域为{x|x≠0，x∈R}．
(2)对于定义域内任意x，有
f(－x)＝(－x)3＝(－x3)＝(－x)3＝x3＝f(x)．
∴f(x)是偶函数．
(3)当a>1时，对x>0，由指函数的性质知ax>1，
∴ax－1>0，＋>0，
又x>0时，x3>0，
∴x3>0，
即当x>0时，f(x)>0.
又由(2)，f(x)为偶函数，知f(－x)＝f(x)，
当x<0时，－x>0，有f(－x)＝f(x)>0成立．
综上知a>1时，f(x)>0在定义域上恒成立．
对于00时，1>ax>0，ax＋1>0，ax－1<0，x3>0，
此时f(x)<0，不满足题意；
当x<0时，－x>0，f(－x)＝f(x)<0，也不满足题意．
[点评] (1)判定此类函数的奇偶性，常需要对所给式子变形，以达到所需要的形式，另外，还可利用求
f(－x)±f(x)来判断．
(2)可借助函数的奇偶性，研究函数的其他性质，这样做的好处是避免了自变量取值的讨论.
综上，所求a的范围是a>1.
3.命题方向：指数函数的图像应用
[例3] 已知函数y＝|x＋1|.
(1) 作出图像；(2)由图像指出其单调区间；(3)由图像指出当x取什么值时有最值．
[分析]
[解析] (1)解法1：由函数解析式可得
y＝|x＋1|＝
其图像由两部分组成：
一部分是：y＝x(x≥0)y＝x＋1(x≥－1)；
另一部分是：y＝3x(x<0)y＝3x＋1(x<－1)．
如图：
解法2：①由y＝|x|可知函数是偶函数，其图像关于y轴对称，故先作出y＝x的图像保留x≥0的部分，
当x<0时，其图像是将y＝x(x≥0)图像关于y轴对折，从而得出y＝|x|的图像．
②将y＝|x|向左移动1个单位，即可得y＝|x＋1|的图像，如图所示．
(2)由图像知函数在(－∞，－1]上是增函数，在[－1，＋∞)上是减函数．
(3)由图像知当x＝－1时，有最大值1，无最小值．
跟踪练习3：
已知实数a、b满足等式a＝b，下列五个关系式：①00时，a＝b，则有00且a≠1)．
(1)判断f(x)的奇偶性；
(2)讨论f(x)的单调性；
(3)当x∈[－1,1]时，f(x)≥b恒成立，求b的取值范围．
[分析] (1)首先看函数的定义域，而后用奇偶性定义判断；(2)单调性利用复合函数单调性易于判断，还可用导数解决；(3)恒成立问题关键是探求f(x)的最小值
[解析] (1)函数定义域为R，关于原点对称．
又∵f(－x)＝(a－x－ax)＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数．
(2)当a>1时，a2－1>0，
y＝ax为增函数，y＝a－x为减函数，从而y＝ax－a－x为增函数，∴f(x)为增函数．
当00，且a≠1时，f(x)在定义域内单调递增．
(3)由(2)知f(x)在R上是增函数，
∴在区间[－1,1]上为增函数．
∴f(－1)≤f(x)≤f(1)．
∴f(x)min＝f(－1)＝(a－1－a)＝·＝－1.
∴要使f(x)≥b在[－1,1]上恒成立，则只需b≤－1.
故b的取值范围是(－∞，－1]．
[点评] (1)函数奇偶性与单调性是高考考查的热点问题，常以指数函数为载体考查函数的性质与恒成立问题．
(2)求参数的范围也是常考内容，难度不大，但极易造成失分，因此对题目进行认真分析，必要的过程不可少，这也是高考阅卷中十分强调的问题．
跟踪练习4：
已知函数f(x)＝a2x＋2ax－1(a>0，且a≠1)在区间[－1,1]上的最大值为14，求实数a的值．
[解析] f(x)＝a2x＋2ax－1＝(ax＋1)2－2，
∵x∈[－1,1]，
(1)当01时，≤ax≤a，
∴当ax＝a时，f(x)取得最大值．
∴(a＋1)2－2＝14，∴a＝3.
综上可知，实数a的值为或3.
（五）思想方法点拨：
1．单调性是指数函数的重要性质，特别是函数图像的无限伸展性，x轴是函数图像的渐近线．当01时，x→－∞，y→0；当a>1时，a的值越大，图像越靠近y轴，递增的速度越快；当01，b>0，且ab＋a－b＝2，则ab－a－b的值等于( )
A. B．2或－2 C．－2 D．2
[答案] D
[解析] ∵a>1，b>0，∴ab>a－b.
又∵ab＋a－b＝2，
∴(ab＋a－b)2＝a2b＋a－2b＋2＝8，
∴(ab－a－b)2＝a2b＋a－2b－2＝4，∴ab－a－b＝2.
2．若函数y＝ax＋b－1 (a>0，且a≠1)的图像经过第二、三、四象限，则一定有( )
A．00 B．a>1，且b>0
C．01，且b<0
[答案] C
[解析] 如图所示，图像与y轴的交点在y轴的负半轴上，即a0＋b－1<0，
∴b<0，又图像经过第二、三、四象限，
∴0f(a)>f(b)，则下列关系式中一定成立的是( )
A．3c>3b B．3b>3a C．3c＋3a>2 D．3c＋3a<2
[答案] D
[解析] 作f(x)＝|3x－1|的图像如图所示，由图可知，
要使cf(a)>f(b)成立，
则有c<0且a>0，
∴3c<1<3a，
∴f(c)＝1－3c，f(a)＝3a－1.
又f(c)>f(a)，∴1－3c>3a－1，
即3a＋3c<2，故选D.
4．函数的y＝3x图像与函数y＝x－2的图像关于( )
A．点(－1,0)对称 B．直线x＝1对称
C．点(1,0)对称 D．直线x＝－1对称
[答案] B
[解析] y＝3xy＝xy＝x－2，在同一坐标系中作出y＝3x，y＝3x－2图像，结合选项知选B.
5．函数y＝ax在[0,1]上的最大值与最小值的和为3，则a的值为( )
A. B．2 C．4 D.
[答案] B
[解析] 当a>0，a≠1时，y＝ax是定义域上的单调函数，因此其最值在x∈[0,1]的两个端点得到，
于是必有1＋a＝3，∴a＝2.
6．若函数y＝4x－3·2x＋3的定义域为集合A，值域为[1,7]，集合B＝(－∞，0]∪[1,2]，则集合A与集合B的关系为( )
A．AB B．A＝B C．BA D．A⊆B
[答案] A
[解析] ∵y＝2＋的值域为[1,7]，
∴2x∈[2,4]．
∴x∈[1,2]，即A＝[1,2]．∴AB.
7．(2018·陕西文)下列四类函数中，具有性质“对任意的x>0，y>0，函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)f(y)”的是( )
A．幂函数 B．对数函数 C．指数函数 D．余弦函数
[答案] C
[解析] 本题考查幂函数，指数函数、对数函数、余弦函数的性质．对任意的x>0，y>0，
只有指数函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)·f(y)．
8．(2018·济宁模拟)已知函数f(x)满足：当x≥4时，f(x)＝x；当x<4时，f(x)＝f(x＋1)，则f(2＋log23)＝( )
A. B. C. D.
[答案] A
[解析] ∵2<3<4＝22，
∴10且a≠1)的图像有两个公共点，则a的取值范围是________．
[答案]
[解析] 数形结合．由图可知0<2a<1，
作出01两种图像易知只有00，且a≠1)．
考向预测
1．对数运算是高中学习的一种重要运算，而对数函数又是最重要的一类基本初等函数，因此该节内容是高考的重点．
2．考查热点是对数式的运算和对数函数的图像、性质的综合应用，同时考查分类整合、数形结合、函数与方程思想．
3．常以小题的形式考查对数函数的图像、性质，或与其他知识交汇以解答题的形式出现．
（二）课前自主预习
知识梳理
1．对数的概念
(1)对数的定义
如果 ，那么数b叫做以a为底N的对数，记作 .其中 叫做对数的底数， 叫做真数．
(2)几种常见对数
对数形式
特点
记法
一般对数
底数为a(a>0且a≠1)
.
常数对数
底数为 .
.
自然对数
底数为 .
.
2.对数的性质与运算法则
(1)对数的性质
①alogaN＝ ；②logaaN＝ (a>0且a≠1)．
(2)对数的重要公式
①换底公式： logbN＝ (a，b均大于零且不等于1)；
②logab＝，推广logab·logbc·logcd＝ .
(3)对数的运算法则
如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么
①loga(MN)＝ ；
②loga＝ ；
③logaMn＝ (n∈R)；
④logamMn＝logaM.
3．对数函数的图像与性质
a>1
01时， .
当01时， .
当00，且a≠1)的反函数，其图像经过点(，a)，则f(x)＝( )
A．log2x B． C. D．x2
[答案] B
[解析] 考查反函数的概念，指对函数的关系及对数的运算性质．函数y＝ax的反函数是f(x)＝logax，
∵其图像经过点(，a)，∴a＝loga，∴a＝，
∴f(x)＝
4．已知f(x)＝|logax|(0f >f B．f >f(2)>f
C．f >f(2)>f D．f >f >f(2)
[答案] D
[解析] ∵0loga>loga>0.
又loga＝－loga2，∴|loga|＝|loga2|，
∴|loga|>|loga|>|loga2|，
即f >f >f(2)．
5．[(1－log63)2＋log62·log618]÷log64＝________.
[答案] 1
[解析] 原式＝[(log62)2＋log62·(1＋log63)]÷2log62
＝[(log62)2＋log62＋log62·log63]÷2log62＝log62＋＋log63＝log6(2×3)＋＝＋＝1.
6．设f(x)＝则满足f(x)＝的x值为__________．
[答案] 3
[解析] 当x≤1时，令2－x＝，则x＝2，不合题意；
当x>1时，令log81x＝，则x＝81＝3.
综上，x＝3.
7．已知定义域为R的函数f(x)为奇函数，且满足f(x＋2)＝－f(x)，当x∈[0,1]时，f(x)＝2x－1.
(1)求f(x)在[－1,0)上的解析式；
(2)求f(log 24)．
[解析] (1)令x∈[－1,0)，则－x∈(0,1]，
∴f(－x)＝2－x－1.又∵f(x)是奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)，
∴－f(x)＝f(－x)＝2－x－1，
∴f(x)＝－x＋1.
(2)∵log24＝－log224∈(－5，－4)，
∴log24＋4∈(－1,0)，
∵f(x＋2)＝－f(x)，
∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，
∴f(x)是以4为周期的周期函数，
∴f(log24)＝f(log24＋4)＝－log24＋4＋1＝－24·＋1＝－.
（四）典型例题
1.命题方向：对数的运算
[例1] 求值：
(1)2(lg)2＋lg·lg5＋；
(2)31＋log36－24＋log23＋103lg3＋log34－1；
(3)(lg2)3＋(lg5)3＋3lg2·lg5.
[分析] 灵活运用公式和性质进行计算，注意公式的逆用．
[解析] (1)原式＝lg(2lg＋lg5)＋＝lg(lg2＋lg5)＋1－lg＝lg＋1－lg＝1.
(2)原式＝3·3log36－16·2log23＋10lg27＋32－log316＝18－48＋27＋＝－.
(3)原式＝(lg2＋lg5)[(lg2)2－lg2·lg5＋(lg5)2]＋3lg2·lg5
＝(lg2)2－lg2·lg5＋(lg5)2＋3lg2·lg5＝(lg2＋lg5)2＝1.
[点评] 对数运算中注意逆用对数运算法则，若对数运算中出现不同的底，注意利用换底公式统一“底”，再进行运算．
跟踪练习1
计算下列各题：
(1)； (2)log3log5[log210－(3)－7log72]．
[解析] (1)原式＝＝＝1.
(2)原式＝log3·log5[2log210－(3)－7log72]
＝·log5(10－3－2)＝·log55＝－.
2.命题方向：对数的概念及运算性质
[例2] 已知x、y、z为正数，
(1)求使2x＝py的p的值；
(2)求与(1)中所求的p的差最小的整数；
(3)求证=
(4)比较3x,4y,6z的大小．
[解析] (1)设3x＝4y＝6z＝k(显然k≠1)，
则x＝log3k，y＝log4k，z＝log6k.
由2x＝py得2log3k＝plog4k＝p·，
∵log3k≠0，∴p＝2log34.
(2)p＝2log34＝log316，∴2，∴p－2>3－p，故与p的差最小的整数是3.
(3)证明：－＝－＝logk6－logk3＝logk2＝logk4＝＝.
(4)∵k>1，∴lgk>0
3x－4y＝(lg64－lg81)<0，
4y－6z＝(lg36－lg64)<0，
∴3x<4y<6z.
[点评] 本题的解答利用了ax＝N(a>0且a≠1)⇔x＝logaN，即指数式与对数式的互化，另外，在分析该题时，可
用方程思想作指导，将条件中的等式看作是关于x，y，z的方程组．
跟踪练习2
(1)若2a＝5b＝10，求＋的值；
(2)若xlog34＝1，求4x＋4－x的值．
[解析] (1)由已知a＝log210，b＝log510，
则＋＝lg2＋lg5＝lg10＝1.
(2)由已知x＝log43
则4x＋4－x＝4log43＋4－log43＝3＋＝.
3.命题方向：对数函数的图像与性质
[例3] 已知函数f(x)＝loga(2－ax)，是否存在实数a，使函数f(x)在[0,1]上是x的减函数，若存在，求a的取值范围．
[分析] 参数a既出现在底数上，又出现在真数上，应全面审视对a的取值范围的制约．
[解析] ∵a>0，且a≠1，
∴u＝2－ax是x的减函数．
又f(x)＝loga(2－ax)在[0,1]是减函数，
∴函数y＝logau是u的增函数，且对x∈[0,1]时，
u＝2－ax恒为正数．
其充要条件是 即11，
在区间(－∞，1－]上是减函数，
所以g(x)＝x2－ax－a在区间(－∞，1－]上也是单调减函数，且g(x)>0.
∴，即.
解得2－2≤a<2.
（五）思想方法点拨
1．指数式ab＝N与对数式logaN＝b的关系以及这两种形式的互化是对数运算法则的关键．
2．在运用性质logaMn＝nlogaM时，要特别注意条件，在无M>0的条件下应为logaMn＝nloga|M|(n∈N*且n为偶数)．
3．注意对数恒等式、对数换底公式及等式logambn＝·logab，logab＝在解题中的灵活应用．
4．指数函数y＝ax与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，要能从概念、图像和性质三个方面理解它们之间的联系与区别．
5．比较两个幂值的大小是一种常见的题型，也是一类容易做错的题目．解决这类问题时，首先要分清是底数相同还是指数相同．如果底数相同，可利用指数函数的单调性；如果指数相同，可利用图像(如下表)．
同一坐标系下的图像关系
当底大于1时，底越大，图像越靠近坐标轴；当底小于1大于0时，底越小，图像靠近坐标轴，如果底数、指数都不同，则要利用中间变量．
（六）课后强化作业
一、选择题
1．(2018·四川文)函数y＝log2x的图像大致是( )
A B C D
[答案] C
[解析] 考查对数函数的图像．
2．(2018·天津理)设函数f(x)＝若f(a)>f(－a)，则实数a的取值范围是( )
A．(－1,0)∪(0,1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－1,0)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(0,1)
[答案] C
[解析] 当a>0时，由f(a)>f(－a)得，log2a>loga，∴a>1；当a<0时，由f(a)>f(－a)得，
log(－a)>log2(－a)，∴－1b>c>0，则、、的大小关系是( )
A.>> B.>>
C.>> D.>>
[答案] B
[解析] ∵、、可看作函数图像上的点与原点所确定的直线的斜率，结合函数f(x)＝log2(x＋1)的图像及a>b>c>0可知>>.故选B.
5．已知logx1＝logax2＝loga＋1x3>0,00，画出图像后知选D.
6．设函数f(x)＝loga(x＋b)(a>0且a≠1)的图像过点(2,1)，其反函数的图像过点(2,8)，则a＋b等于( )
A．6 B．5 C．4 D．3
[答案] C
[解析] 由题意得解得a＝3，b＝1.
于是a＋b＝4，选C.
[点评] 反函数的图像和原函数的图像关于直线y＝x对称．点P(a，b)在原函数y＝f(x)的图像上⇔点P′(b，a)在反函数y＝g(x)的图像上．解答该题是不需要求出反函数的．
7．(2018·全国卷Ⅰ理)设a＝log32，b＝ln2，c＝5－，则( )
A．alog2e>1，所以a2＝log24>log23，所以c0)的图像关于直线y＝x对称，则f(x)＝________.
[答案] 3x(x∈R)
[解析] y＝f(x)是函数y＝log3x(x>0)的反函数．
11．已知函数f(x)＝2x，等差数列{an}的公差为2，若f(a2＋a4＋a6＋a8＋a10)＝4，
则log2[f(a1)·f(a2)·f(a3)·…·f(a10)]＝________.
[答案] －6
[解析] ∵f(a2＋a4＋a6＋a8＋a10)＝4，f(x)＝2x，
∴a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝2，
∵{an}为公差d＝2的等差数列，
∴a1＋a2＋…＋a10＝2(a2＋a4＋a6＋a8＋a10)－5d＝－6.
∴log2[f(a1)·f(a2)·…·f(a10)]＝log2[2a1·2a2·…·2a10]＝log22a1＋a2＋…＋a10＝－6.
