数学理卷·2017届广东省清远市第三中学高三上学期第十二次周考（2016

数学理卷·2017届广东省清远市第三中学高三上学期第十二次周考（2016

广东省清远市清城区三中高三第一学期第十二次周考 数学（理）试题 ‎(本卷满分150分，时间120分钟)‎ 一、 选择题（60分，每题5分）‎ 1. 已知集合，则等于（）‎ ‎ A. B. C.(1，6) D,(1，2)‎ 2. 若复数的实部为1，则的虚部为（）‎ ‎ A. 1 B. 3 C. D.‎ 3. 已知向量若，则实数等于（）‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎4. 已知，则等于（）‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎5. 执行如图所示的程序框图，若，则输出的值为（）‎ ‎ A.10‎ ‎ B.12‎ ‎ C.14‎ ‎ D.16‎ 6. 若实数满足条件则的最大值为（）‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎7.小孔家有爷爷、奶奶、姥爷、姥姥、爸爸、妈妈，包括他共7人，一天爸爸从果园里摘了7个大小不同的梨，给家里每人一个.小孔拿了最小的一个，爷爷、奶奶、姥爷、姥姥4位老人之一拿最大的一个，则梨子的不同分法共有（ ）‎ A．96种 B．120种 C.480种 D．720种 ‎8.函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为（ ）‎ A． B．‎ C. D．‎ ‎9.设直角坐标平面内与两个定点、的距离之差的绝对值等于2的点的轨迹是.是轨迹上一点，直线垂直于轴，则（ ）‎ A． B． C.3 D．9‎ ‎10.利用计算机产生120个随机正整数，其最高位数字（如：34的最高位数字为3，567的最高位数字为5）的频数分布图如图所示，若从这120个正整数中任意取出一个，设其最高位数字为的概率为.下列选项中，最能反映与的关系的是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎11.如图，为椭圆的长轴的左、右端点，为坐标原点，为椭圆上不同于的三点，直线，围成一个平行四边形，则（ ）‎ A．5 B． C.9 D．14‎ ‎12.设是不相等的两个正数，且，给出下列结论：‎ ‎①；②；③.其中所有正确结论的序号是（ ）‎ A．①② B．①③ C.②③ D．①②③‎ 一、 填空题（20分，每题5分）‎ ‎13．（5分）+﹣=　　．‎ ‎14．（5分）设变量x，y满足，则目标函数z=2x+y的最小值为　　．‎ ‎15．（5分）已知sin2α=，则cos2（α﹣）=　　．‎ ‎16．（5分）设曲线y=xn+1（n∈N*）在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，令an=log2xn，则a1+a2+…+a15的值为　　．‎ 二、 解答题（70分）‎ ‎17.（本小题满分12分）‎ 已知等差数列满足：且成等比数列.‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式.‎ ‎（Ⅱ）记为数列的前项和，是否存在正整数，使得 若存在，求的最小值；若不存在，说明理由.‎ ‎18.某地区对12岁儿童瞬时记忆能力进行调查．瞬时记忆能力包括听觉记忆能力与视觉记忆能力.某班学生共有40人，下表为该班学生瞬时记忆能力的调查结果．例如表中听觉记忆能力为中等，且视觉记忆能力偏高的学生为3人．‎ 视觉 视觉记忆能力 偏低 中等 偏高 超常 听觉 记忆 能力 偏低 ‎0‎ ‎7‎ ‎5‎ ‎1‎ 中等 ‎1‎ ‎8‎ ‎3‎ 偏高 ‎2‎ ‎0‎ ‎1‎ 超常 ‎0‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎1‎ 由于部分数据丢失，只知道从这40‎ 位学生中随机抽取一个，视觉记忆能力恰为中等，且听觉记忆能力为中等或中等以上的概率为．‎ ‎（Ⅰ）试确定、的值；‎ ‎（Ⅱ）从40人中任意抽取3人，设具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的学生人数为，求随机变量的分布列及数学期望．‎ ‎19. （本小题满分12分）‎ 如图，在三棱柱中，为的重心，.‎ （1） 求证：平面；‎ ‎（2）若侧面底面，， ，求直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎20. （本小题满分12分）‎ 已知点是椭圆上任一点，点到直线的距离为，到点的距离为，且.直线与椭圆交于不同两点（都在轴上方），且.‎ （1） 求椭圆的方程；‎ （2） 当为椭圆与轴正半轴的交点时，求直线方程；‎ ‎（3）对于动直线，是否存在一个定点，无论如何变化，直线 总经过此定点？若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由.‎ ‎21. （本小题满分12分）‎ 已知函数.‎ （1） 若曲线在点处与直线相切，求的值；‎ （2） 若函数有两个零点，试判断的符号，并证明.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.‎ （1） 求曲线的普通方程；‎ （2） 经过点（平面直角坐标系中点）作直线交曲线于两点，若恰好为线段的三等分点，求直线的斜率.‎ ‎23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数.‎ （1） 解不等式；‎ ‎（2）若，，且，求证：.‎ 数学（理）答案 一、1-12：CBDABC CBDADD 二、‎ 13、 ‎14、 15、 16、﹣4‎ 三、17、解：（1）设数列公差为d,由 ‎ 解得d=0或d=4 ‎ 故=2或=4n-2 ‎ ‎(2)当=2时，‎ ‎.不存在正整数n，使得 当=4n-2时，‎ 由 解得n>30或n<-10(舍去) ‎ 此时存在正整数n使得且n的最小值为31. ‎ 综上，当=2时，不存在正整数n，使得 当=4n-2时，存在正整数n使得且n的最小值为31. ‎ ‎18.20.解：（Ⅰ）由表格数据可知，视觉记忆能力恰为中等，且听觉记忆能力为中等或中等以上的学生共有人．记“视觉记忆能力恰为中等，且听觉记忆能力为中等或中等以上”为事件，‎ 则，解得．所以．答：的值为6，的值为2．...4分 ‎（Ⅱ）由于从40位学生中任意抽取3位的结果数为，其中具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的学生共24人，从40位学生中任意抽取3位，其中恰有位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的结果数为，所以从40位学生中任意抽取3位，其中恰有位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的概率为，的可能取值为0，1，2，3，‎ 因为，，‎ ‎，，‎ 所以的分布列为:‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 所以．‎ ‎ （或服从参数为N=40，M=3，n=24的超几何分布，）‎ 答：随机变量的数学期望为 ‎19.证明：（1）连接，并延长，交于点，过作，交于点，分别连接.‎ 因为是的重心，所以.‎ 又，所以.‎ 又据三棱柱性质知，‎ 所以.‎ 又因为平面，平面，‎ 所以平面.‎ 又因为，平面，‎ 所以平面平面.‎ 又因为平面，‎ 所以平面.‎ ‎（2）连接.‎ 因为，，，‎ 所以，‎ 所以，所以.‎ 因为侧面底面，侧面底面，平面，‎ 所以平面.‎ 因为，，所以是等边三角形，‎ 所以.‎ 以为原点，分别以为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，‎ 则，，，，，‎ 所以，，，，‎ 所以.‎ 设平面的一个法向量为，则 所以 令得，‎ 所以.‎ 所以.即直线与平面所成角的正弦值为.‎ ‎20.（1）设，则，，‎ ‎∴，化简，得，∴椭圆的方程为.‎ ‎（2），，∴，‎ 又∵，∴，.‎ 代入解，得（舍）∴，‎ ‎，∴.即直线方程为.‎ ‎（3）∵，∴.‎ 设，，直线方程为.代直线方程入，得 ‎.‎ ‎∴，，∴=‎ ‎，‎ ‎∴，‎ ‎∴直线方程为，‎ ‎∴直线总经过定点.‎ ‎21.解：（1），又∵.‎ 所以.………………3分 ‎（2）函数的定义域是.‎ 若，则.‎ 令，则.‎ 又据题设分析知，‎ ‎∴，.‎ 又有两个零点，且都大于0，‎ ‎∴，不成立.‎ 据题设知 不妨设，，.‎ 所以. ‎ 所以.‎ 又，‎ 所以 ‎.‎ 引入，则.‎ 所以在上单调递减.‎ 而，所以当时，.‎ 易知，，‎ 所以当时，；当时，.‎ ‎22.解：（1）由曲线的参数方程，得 所以曲线的普通方程为.‎ ‎（2）设直线的倾斜角为，则直线的参数方程为 ‎（为参数）.‎ 代入曲线的直角坐标方程，得 ‎，‎ 所以 由题意可知.‎ 所以，即.‎ 解得.‎ 所以直线的斜率为.‎ 23. 解：（1）‎ 当时，则，解得；‎ 当时，不成立；‎ 当时，由，解得 所以原不等式的解集为或.‎ ‎（2）即.‎ 因为，，‎ 所以，‎ 所以.故所证不等式成立.‎