【数学】2020届一轮复习(理)人教通用版7-6直接证明与间接证明学案

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文档介绍

【数学】2020届一轮复习(理)人教通用版7-6直接证明与间接证明学案

‎§7.6 直接证明与间接证明 最新考纲 考情考向分析 ‎1.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法;了解分析法和综合法的思考过程和特点.‎ ‎2.了解反证法的思考过程和特点.‎ 常以立体几何中的证明及相关选修内容中平面几何,不等式的证明为载体加以考查,注意提高分析问题、解决问题的能力;在高考中主要以解答题的形式考查,难度为中档.‎ ‎1.直接证明 内容 综合法 分析法 定义 从已知条件出发,经过逐步的推理,最后达到待证结论的方法,是一种从原因推导到结果的思维方法 从待证结论出发,一步一步地寻求结论成立的充分条件,最后达到题设的已知条件或已被证明的事实的方法,是一种从结果追溯到产生这一结果的原因的思维方法 特点 从“已知”看“可知”,逐步推向“未知”,其逐步推理,实际上是要寻找它的必要条件 从“未知”看“需知”,逐步靠拢“已知”,其逐步推理,实际上是要寻找它的充分条件 步骤的 符号 表示 P0(已知)⇒P1⇒P2⇒P3⇒P4(结论)‎ B(结论)⇐B1⇐B2…⇐Bn⇐A(已知)‎ ‎2.间接证明 ‎(1)反证法的定义:‎ 一般地,由证明p⇒q转向证明 綈q⇒r⇒…⇒t t与假设矛盾,或与某个真命题矛盾,从而判定綈q为假,推出q为真的方法,叫做反证法.‎ ‎(2)应用反证法证明数学命题的一般步骤:‎ ‎①分清命题的条件和结论;‎ ‎②做出与命题结论相矛盾的假定;‎ ‎③由假定出发,应用正确的推理方法,推出矛盾的结果;‎ ‎④断定产生矛盾结果的原因,在于开始所做的假定不真,于是原结论成立,从而间接地证明命题为真.‎ 概念方法微思考 ‎1.直接证明中的综合法是演绎推理吗?‎ 提示 是.用综合法证明时常省略大前提.‎ ‎2.综合法与分析法的推理过程有何区别?‎ 提示 综合法是执因索果,分析法是执果索因,推理方式是互逆的.‎ ‎3.反证法是“要证原命题成立,只需证其逆否命题成立”的推理方法吗?‎ 提示 不是.反证法是命题中“p与綈p”关系的应用.‎ 题组一 思考辨析 ‎1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)综合法是直接证明,分析法是间接证明.( × )‎ ‎(2)分析法是从要证明的结论出发,逐步寻找使结论成立的充要条件.( × )‎ ‎(3)用反证法证明结论“a>b”时,应假设“aQ B.P=Q C.PQ2,又∵P>0,Q>0,∴P>Q.‎ ‎3.设实数a,b,c成等比数列,非零实数x,y分别为a与b,b与c的等差中项,则+等于(  )‎ A.1 B.2 C.4 D.6‎ 答案 B 解析 由题意,得x=,y=,b2=ac,‎ ‎∴xy=,‎ +== ‎== ‎== ‎==2.‎ 题组三 易错自纠 ‎4.若a,b,c为实数,且aab>b2‎ C.< D.> 答案 B 解析 a2-ab=a(a-b),‎ ‎∵a0,‎ ‎∴a2>ab.①‎ 又ab-b2=b(a-b)>0,‎ ‎∴ab>b2,②‎ 由①②得a2>ab>b2.‎ ‎5.用反证法证明命题:“设a,b为实数,则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时,要作的假设是(  )‎ A.方程x3+ax+b=0没有实根 B.方程x3+ax+b=0至多有一个实根 C.方程x3+ax+b=0至多有两个实根 D.方程x3+ax+b=0恰好有两个实根 答案 A 解析 方程x3+ax+b=0至少有一个实根的反面是方程x3+ax+b=0没有实根,故选A.‎ ‎6.在△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且A,B,C成等差数列,a,b,‎ c成等比数列,则△ABC的形状为________.‎ 答案 等边三角形 解析 由题意得2B=A+C,‎ ‎∵A+B+C=π,‎ ‎∴B=,又b2=ac,‎ 由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B=a2+c2-ac,‎ ‎∴a2+c2-2ac=0,‎ 即(a-c)2=0,∴a=c,‎ ‎∴A=C,‎ ‎∴A=B=C=,‎ ‎∴△ABC为等边三角形.‎ 题型一 综合法的应用 例1 已知a,b,c>0,a+b+c=1.求证:‎ ‎(1)++≤;‎ ‎(2)++≥.‎ 证明 (1)∵(++)2=(a+b+c)+2+2+2≤(a+b+c)+(a+b)+(b+c)+(c+a)=3,‎ ‎∴++≤(当且仅当a=b=c时取等号).‎ ‎(2)∵a>0,∴3a+1>1,‎ ‎∴+(3a+1)≥2=4,‎ ‎∴≥3-3a,‎ 同理得≥3-3b,≥3-3c,‎ 以上三式相加得 ‎4≥9-3(a+b+c)=6,‎ ‎∴++≥(当且仅当a=b=c=时取等号).‎ 思维升华 (1)从已知出发,逐步推理直到得出所证结论的方法为综合法;(2)计算题的计算过程也是根据已知的式子进行逐步推导的过程,也是使用的综合法.‎ 跟踪训练1 设Tn是数列{an}的前n项之积,并满足:Tn=1-an.‎ ‎(1)证明:数列是等差数列;‎ ‎(2)令bn=,证明:{bn}的前n项和Sn<.‎ 证明 (1)∵an+1== ‎⇒= ⇒-=1,‎ ‎∴-=1,‎ 又∵T1=1-a1=a1,‎ ‎∴a1=,∴==2,‎ ‎∴数列是以2为首项,公差为1的等差数列.‎ ‎(2)∵=+(n-1)×1,‎ ‎∴=n+1⇒an=(n∈N+),‎ ‎∴bn=== ‎ ‎<=,‎ ‎∴Sn=b1+b2+…+bn ‎<× ‎=×<×=.‎ 题型二 分析法的应用 例2 已知△ABC的三个内角A,B,C成等差数列,A,B,C的对边分别为a,b,c.‎ 求证:+=.‎ 证明 要证+=,‎ 即证+=3,也就是+=1,‎ 只需证c(b+c)+a(a+b)=(a+b)(b+c),‎ 需证c2+a2=ac+b2,‎ 又△ABC三内角A,B,C成等差数列,故B=60°,‎ 由余弦定理,得b2=c2+a2-2accos 60°,‎ 即b2=c2+a2-ac,故c2+a2=ac+b2成立.‎ 于是原等式成立.‎ 思维升华 (1)逆向思考是用分析法证题的主要思想,通过反推,逐步寻找使结论成立的充分条件.‎ ‎(2)证明较复杂的问题时,可以采用两头凑的办法.‎ 跟踪训练2 已知a>0,证明:-≥a+-2.‎ 证明 要证-≥ a+-2,‎ 只需证 ≥-(2-).‎ 因为a>0,所以-(2-)>0,‎ 所以只需证2≥2,‎ 即2(2-)≥8-4,‎ 只需证a+≥2.‎ 因为a>0,a+≥2显然成立 ,‎ 所以要证的不等式成立.‎ 题型三 反证法的应用 例3 设a>0,b>0,且a+b=+.证明:‎ ‎(1)a+b≥2;‎ ‎(2)a2+a<2与b2+b<2不可能同时成立.‎ 证明 由a+b=+=,a>0,b>0,得ab=1.‎ ‎(1)由均值不等式及ab=1,‎ 有a+b≥2=2,即a+b≥2,当且仅当a=b=1时,等号成立.‎ ‎(2)假设a2+a<2与b2+b<2同时成立,‎ 则由a2+a<2及a>0,得00,‎ 即cos(A+C)>0,所以A+C是锐角,‎ 从而B>,故△ABC必是钝角三角形.‎ ‎2.分析法又称执果索因法,已知x>0,用分析法证明<1+时,索的因是(  )‎ A.x2>1 B.x2>4‎ C.x2>0 D.x2>1‎ 答案 C 解析 因为x>0,所以要证<1+,‎ 只需证()2<2,‎ 即证0<,即证x2>0,‎ 因为x>0,所以x2>0成立,‎ 故原不等式成立.‎ ‎3.设f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)单调递减,若x1+x2>0,则f(x1)+f(x2)的值(  )‎ A.恒为负值 B.恒等于零 C.恒为正值 D.无法确定正负 答案 A 解析 由f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)单调递减,可知f(x)是R上的单调递减函数,由x1+x2>0,可知x1>-x2,f(x1)1;②a+b=2;③a+b>2;④a2+b2>2;‎ ‎⑤ab>1.‎ 其中能推出:“a,b中至少有一个大于1”的条件是(  )‎ A.②③ B.①②③ C.③ D.③④⑤‎ 答案 C 解析 若a=,b=,则a+b>1,‎ 但a<1,b<1,故①推不出;‎ 若a=b=1,则a+b=2,故②推不出;‎ 若a=-2,b=-3,则a2+b2>2,故④推不出;‎ 若a=-2,b=-3,则ab>1,故⑤推不出;‎ 对于③,即a+b>2,则a,b中至少有一个大于1,‎ 下面用反证法证明:‎ 假设a≤1且b≤1,‎ 则a+b≤2与a+b>2矛盾,‎ 因此假设不成立,a,b中至少有一个大于1.‎ ‎6.用反证法证明“若x2-1=0,则x=-1或x=1”时,应假设________.‎ 答案 x≠-1且x≠1‎ 解析 “x=-1或x=1”的否定是“x≠-1且x≠1”.‎ ‎7.如果a+b>a+b成立,则a,b应满足的条件是__________________________.‎ 答案 a≥0,b≥0且a≠b 解析 ∵a+b-(a+b)‎ ‎=(a-b)+(b-a)‎ ‎=(-)(a-b)‎ ‎=(-)2(+).‎ ‎∴当a≥0,b≥0且a≠b时,(-)2(+)>0.‎ ‎∴a+b>a+b成立的条件是a≥0,b≥0且a≠b.‎ ‎8.已知点An(n,an)为函数y=图象上的点,Bn(n,bn)为函数y=x图象上的点,其中n∈N+,设cn=an-bn,则cn与cn+1的大小关系为____________.‎ 答案 cn+10,b>0,如果不等式+≥恒成立,则m的最大值为________.‎ 答案 9‎ 解析 因为a>0,b>0,所以2a+b>0.‎ 所以不等式可化为m≤(2a+b)‎ ‎=5+2.‎ 因为5+2≥5+4=9,当且仅当a=b时,等号成立,‎ 即其最小值为9,所以m≤9,即m的最大值等于9.‎ ‎10.在不等边三角形ABC中,a为最大边,要想得到∠A为钝角的结论,三边a,b,c应满足________.‎ 答案 a2>b2+c2‎ 解析 由余弦定理cos A=<0,得b2+c2-a2<0,即a2>b2+c2.‎ ‎11.若a,b,c是不全相等的正数,求证:‎ lg+lg+lg>lg a+lg b+lg c.‎ 证明 ∵a,b,c∈(0,+∞),‎ ‎∴≥ >0,≥ >0,≥ >0.‎ 由于a,b,c是不全相等的正数,‎ ‎∴上述三个不等式中等号不能同时成立,‎ ‎∴··>abc>0成立.‎ 上式两边同时取常用对数,得 lg>lg abc,‎ ‎∴lg+lg+lg>lg a+lg b+lg c.‎ ‎12.若f(x)的定义域为[a,b],值域为[a,b](a-2),使函数h(x)=是区间[a,b]上的“四维光军”函数?若存在,求出a,b的值;若不存在,请说明理由.‎ 解 (1)由题设得g(x)=(x-1)2+1,其图象的对称轴为x=1,区间[1,b]在对称轴的右边,所以函数在区间[1,b]上单调递增.由“四维光军”函数的定义可知,‎ g(1)=1,g(b)=b,‎ 即b2-b+=b,‎ 解得b=1或b=3.‎ 因为b>1,所以b=3.‎ ‎(2)假设存在常数a,b (a>-2),使函数h(x)=是区间[a,b]上的“四维光军”函数,‎ 因为h(x)=在区间(-2,+∞)上单调递减,‎ 所以有即 解得a=b,这与已知矛盾.故不存在.‎ ‎13.已知函数f(x)=x,a,b是正实数,A=f ,B=f(),C=f ,则A,B,C的大小关系为(  )‎ A.A≤B≤C B.A≤C≤B C.B≤C≤A D.C≤B≤A 答案 A 解析 ∵≥≥,‎ 又f(x)=x在R上是减函数.‎ ‎∴f ≤f()≤f ,即A≤B≤C.‎ ‎14.有三张卡片,分别写有1和2,1和3,2和3.甲、乙、丙三人各取走一张卡片,甲看了乙的卡片后说:“我与乙的卡片上相同的数字不是2”,乙看了丙的卡片后说:“我与丙的卡片上相同的数字不是1”,丙说:“我的卡片上的数字之和不是5”,则甲的卡片上的数字是________.‎ 答案 1和3‎ 解析 由丙说:“我的卡片上的数字之和不是5”可知,丙为“1和2”或“1和3”,又乙说“我与丙的卡片上相同的数字不是1”,所以乙只可能为“2和3”,又甲说“我与乙的卡片上相同的数字不是2”,所以甲只能为“1和3”.‎ ‎15.已知函数f(x)=2e2x-2ax+a-2e-1,其中a∈R,e为自然对数的底数.若函数f(x)在区间(0,1)内有两个零点,则a的取值范围是(  )‎ A.(2e-1,2e2-2e-1) B.(2,2e-1)‎ C.(2e2-2e-1,2e2) D.(2,2e2)‎ 答案 A 解析 f(x)=2e2x-2ax+a-2e-1,‎ 则f′(x)=4e2x-2a,x∈(0,1),‎ ‎∵4<4e2x<4e2,‎ ‎∴①若a≥2e2时,f′(x)<0,函数f(x)在(0,1)内单调递减,‎ 故在(0,1)内至多有一个零点,故舍去;‎ ‎②若a≤2时,f′(x)>0,函数f(x)在(0,1)内单调递增,‎ 故在(0,1)内至多有一个零点,故舍去;‎ ‎③若20,h(x)为增函数;当x∈(2e,2e2)时,h′(x)<0,h(x)为减函数,所以h(x)max=h(2e)=-1<0,即f(x)min<0恒成立,所以函数f(x)在区间(0,1)内有两个零点,则解得a∈(2e-1,2e2-2e-1),故选A.‎ ‎16.对于给定的正整数k,若数列{an}满足an-k+an-k+1+…+an-1+an+1+…+an+k-1+an+k=2kan对任意正整数n(n>k)总成立,则称数列{an}是“P(k)数列”.‎ ‎(1)证明:等差数列{an}是“P(3)数列”;‎ ‎(2)若数列{an}既是“P(2)数列”,又是“P(3)数列”,证明:{an}是等差数列.‎ 证明 (1)因为{an}是等差数列,设其公差为d,‎ 则an=a1+(n-1)d,从而,当n≥4时,‎ an-k+an+k=a1+(n-k-1)d+a1+(n+k-1)d ‎=2a1+2(n-1)d=2an,k=1,2,3,‎ 所以an-3+an-2+an-1+an+1+an+2+an+3=6an,‎ 因此等差数列{an}是“P(3)数列”.‎ ‎(2)数列{an}既是“P(2)数列”,又是“P(3)数列”,因此,‎ 当n≥3时,an-2+an-1+an+1+an+2=4an,①‎ 当n≥4时,an-3+an-2+an-1+an+1+an+2+an+3‎ ‎=6an.②‎ 由①知,an-3+an-2=4an-1-(an+an+1),③‎ an+2+an+3=4an+1-(an-1+an).④‎ 将③④代入②,得an-1+an+1=2an,其中n≥4,‎ 所以a3,a4,a5,…是等差数列,设其公差为d′.‎ 在①中,取n=4,则a2+a3+a5+a6=4a4,‎ 所以a2=a3-d′,‎ 在①中,取n=3,则a1+a2+a4+a5=4a3,‎ 所以a1=a3-2d′,所以数列{an}是等差数列.‎
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