2017-2018学年福建省莆田市第七中学高二上学期期末考试数学（理）试题 解析版

2017-2018学年福建省莆田市第七中学高二上学期期末考试数学（理）试题 解析版

‎2017-2018学年福建省莆田市第七中学高二上学期期末考试（数学理）‎ 一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)‎ ‎1．已知空间两点P(－1,2，－3)，Q(3，－2，－1)，则P、Q两点间的距离是(　A　)‎ A．6　　　　　　　　 B．2 C．36　　　 D．2 ‎[解析]　由空间两点间距离公式，‎ 得|PQ|＝＝6. ‎ ‎2.不论m为何值，直线(m－2)x－y＋3m＋2＝0恒过定点(　C　)‎ A．(3,8)　　　　　　　 B．(8,3)‎ C．(－3,8) D．(－8,3)‎ ‎[解析]　直线方程(m－2)x－y＋3m＋2＝0可化为 m(x＋3)－2x－y＋2＝0，‎ ‎∴x＝－3时，m∈R，y＝8，故选C．‎ ‎3．过两点(－1,1)和(3,9)的直线在x轴上的截距是(　A　)‎ A．－ B．－ C． D．2‎ ‎[解析]　由题意，得过两点(－1,1)和(3,9)的直线方程为y＝2x＋3. 令y＝0，则x＝－，‎ ‎∴直线在x轴上的截距为－，故选A．‎ ‎4．方程x2＋y2＋ax＋2ay＋a2＋a－1＝0表示圆，则a的取值范围是(　D　)‎ A．a<－2或a> B．－1 D．a<1‎ ‎[解析]　由题意知，a2＋(2a)2－4＝－4a＋4>0. ‎ ‎∴a<1. 故选D．‎ ‎5．已知直线l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0与l2：2(k－3)x－2y＋3＝0平行，则k的值是(　C　)‎ A．1或3 B．1或5‎ C．3或5 D．1或2‎ ‎[解析]　当k＝3时，两直线显然平行；当k≠3时，由两直线平行，斜率相等，得－＝. 解得k＝5，故选C．‎ ‎6．圆O1：x2＋y2－4x－6y＋12＝0与圆O2：x2＋y2－8x－6y＋16＝0的位置关系是(　A　)‎ A．内切 B．外离 ‎ C．内含 D．相交 ‎[解析]　圆O1的圆心O1(2,3)，半径r1＝1，圆O2的圆心O2(4,3)，半径r2＝3. |O1O2|＝＝2，r2－r1＝2，∴|O1O2|＝r2－r1，故两圆内切. ‎ ‎7．设α、β是两个不同的平面，l、m是两条不同的直线，且l⊂α，m⊂β. (　A　)‎ A．若l⊥β，则α⊥β B．若α⊥β，则l⊥m C．若l∥β，则α∥β D．若α∥β，则l∥m ‎[解析]　选项A中，平面与平面垂直的判定，故正确；选项B中，当α⊥β时，l、m可以垂直，也可以平行；选项C中，l∥β时，α、β可以相交；选项D中，α∥β时，l、m也可以异面. 故选A．‎ ‎8．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是(　C　)‎ A．4　　　　　　 B．‎ C． D．2‎ ‎9．如图，BC是Rt△ABC的斜边，PA⊥平面ABC，PD⊥BC，则图中直角三角形的个数是(　A　)‎ A．8 B．7‎ C．6 D．5‎ ‎[解析]　易知PA⊥AC，PA⊥AD，PA⊥AB，BC⊥AD，BC⊥PD，AC⊥AB. 图中的直角三角形分别为△PAC，△PAD，△PAB，△ADC，△ADB，△PCD，△PDB，△ABC，共8个，故选A．‎ ‎10．如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为(　C　)‎ A．20π B．24π C．28π D．32π ‎[解析]　该几何体的表面积由圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和圆柱的一个底面圆的面积组成. 其中，圆锥的底面半径为2，母线长为＝4，圆柱的底面半径为2，高为4，故所求表面积S＝π×2×4＋2π×2×4＋π×22＝28π. ‎ ‎11．用平行于圆锥底面的平面截圆锥，所得截面面积与底面面积的比是1∶3，这截面把圆锥母线分为两段的比是(　B　)‎ A．1∶3 B．1∶(－1)‎ C．1∶9 D．∶2‎ ‎[解析]　如图由题意可知，⊙O1与⊙O2面积之比为1∶3，‎ ‎∴半径O1A1与OA之比为1∶，‎ ‎∴＝，∴＝. ‎ ‎12.已知圆C方程为(x－2)2＋(y－1)2＝9，直线l的方程为3x－4y－12＝0，在圆C上到直线l的距离为1的点有几个(　B　)‎ A．4 B．3‎ C．2 D．1‎ ‎[解析]　圆心C(2,1)，半径r＝3，‎ 圆心C到直线3x－4y－12＝0的距离d＝＝2，‎ 即r－d＝1. ‎ ‎∴在圆C上到直线l的距离为1的点有3个. ‎ 二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)‎ ‎13．若点(2，k)到直线3x－4y＋6＝0的距离为4，则k的值等于__－2或8__. ‎ ‎[解析]　由题意，得＝4，‎ ‎∴k＝－2或8. ‎ ‎14．两平行直线l1：3x＋4y－2＝0与l2：6x＋8y－5＝0之间的距离为____. ‎ ‎[解析]　直线l2的方程可化为3x＋4y－＝0，故两平行直线l1、l2之间的距离d＝＝. ‎ ‎15．若直线x＋y－a＝0与圆x2＋y2－2x＝0相切，则a的值为__－1或3__. [解析]　圆心为(1,0)，半径r＝1，由题意，得＝1，∴a＝－1或3. ‎ ‎16.已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为__π__. ‎ 三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)‎ ‎17．(本题满分10分)直线l经过直线x＋y－2＝0和直线x－y＋4＝0的交点，且与直线3x－2y＋4＝0平行，求直线l的方程. ‎ ‎[解析]　解法一：由，得. ‎ 即直线l过点(－1,3). ‎ ‎∵直线l的斜率为，∴直线l的方程为y－3＝(x＋1)，即3x－2y＋9＝0. ‎ 解法二：由题意可设直线l的方程为x－y＋4＋λ(x＋y－2)＝0，‎ 整理得(1＋λ)x＋(λ－1)y＋4－2λ＝0，‎ ‎∵直线l与直线3x－2y＋4＝0平行，‎ ‎∴－2(1＋λ)＝3(λ－1)，∴λ＝. ‎ ‎∴直线l的方程为x－y＋＝0，即3x－2y＋9＝0. ‎ ‎18．(本题满分12分)(2015·北京文，18)如图，在三棱锥V－ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC＝BC＝，O、M分别为AB、VA的中点. ‎ ‎(1)求证：VB∥平面MOC；‎ ‎(2)求证：平面MOC⊥平面VAB；‎ ‎(3)求三棱锥V－ABC的体积. ‎ ‎[解析]　(1)∵O、M分别为AB、VA的中点，‎ ‎∴OM∥VB. ‎ 又∵VB⊄平面MOC，OM⊂平面MOC ‎∴VB∥平面MOC. ‎ ‎(2)∵AC＝BC，O为AB的中点，‎ ‎∴OC⊥AB. ‎ 又∵平面VAB⊥平面ABC，且OC⊂平面ABC，平面VAB∩平面ABC＝AB ‎∴OC⊥平面VAB. 又∵OC⊂平面MOC ‎∴平面MOC⊥平面VAB. ‎ ‎(3)在等腰直角三角形ACB中，AC＝BC＝，‎ ‎∴AB＝2，OC＝1. ‎ ‎∴等边三角形VAB的面积S△VAB＝. ‎ 又∵OC⊥平面VAB，‎ ‎∴三棱锥C－VAB的体积等于×OC×S△VAB＝. ‎ 又∵三棱锥V－ABC的体积与三棱锥C－VAB的体积相等，‎ ‎∴三棱锥V－ABC的体积为. ‎ ‎19．(本题满分12分)在△ABC中，BC边上的高所在的直线方程为x－2y＋1＝0，∠A的平分线所在的直线方程为y＝0. 若B的坐标为(1,2)，求△ABC三边所在直线方程及点C坐标. ‎ ‎[解析]　BC边上高AD所在直线方程x－2y＋1＝0，‎ ‎∴kBC＝－2，‎ ‎∴BC边所在直线方程为：y－2＝－2(x－1)即2x＋y－4＝0. ‎ 由，得A(－1,0)，‎ ‎∴直线AB：x－y＋1＝0，点B(1,2)关于y＝0的对称点B′(1，－2)在边AC上，‎ ‎∴直线AC：x＋y＋1＝0，‎ 由，得点C(5，－6). ‎ ‎20．(本题满分12分)(2017·江苏，15)如图，在三棱锥A－BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD. ‎ 求证：(1)EF∥平面ABC；‎ ‎(2)AD⊥AC. ‎ ‎[解析]　(1)在平面ABD内，因为AB⊥AD，EF⊥AD，所以EF∥AB. ‎ 又因为EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，‎ 所以EF∥平面ABC. ‎ ‎(2)因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，BC⊂平面BCD，BC⊥BD，‎ 所以BC⊥平面ABD. ‎ 因为AD⊂平面ABD，所以BC⊥AD. ‎ 又AB⊥AD，BC∩AB＝B，AB⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，所以AD⊥平面ABC. 又因为AC⊂平面ABC，所以AD⊥AC. ‎ ‎21．(本题满分12分)已知圆C与y轴相切，圆心在直线x－3y＝0上，且经过点A(6,1)，求圆C的方程. ‎ ‎[解析]　∵圆心在直线x－3y＝0上，‎ ‎∴设圆心坐标为(3a，a)，‎ 又圆C与y轴相切，∴半径r＝3|a|，圆的标准方程为(x－3a)2＋(y－a)2＝9a2，‎ 又∵过点A(6,1)，‎ ‎∴(6－3a)2＋(1－a)2＝9a2，即a2－38a＋37＝0，‎ ‎∴a＝1或a＝37，‎ ‎∴所求圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x－111)2＋(y－37)2＝12 321. ‎ ‎22．(本题满分12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥CD，AD∥BC，∠ADC＝∠PAB＝90°，BC＝CD＝AD. ‎ ‎(1)在平面PAD内找一点M，使得直线CM∥平面PAB，并说明理由；‎ ‎(2)证明：平面PAB⊥平面PBD. ‎ ‎[解析]　(1)取棱AD的中点M(M∈平面PAD)，点M即为所求的一个点. ‎ 理由如下：‎ 因为AD∥BC，BC＝AD，所以BC∥AM，且BC＝AM，‎ 所以四边形AMCB是平行四边形，‎ 从而CM∥AB. ‎ 又AB⊂平面PAB，CM⊄平面PAB，‎ 所以CM∥平面PAB. ‎ ‎(说明：取棱PD的中点N，则所找的点可以是直线MN上任意一点)‎ ‎(2)由已知，PA⊥AB，PA⊥CD，‎ 因为AD∥BC，BC＝AD，所以直线AB与CD相交. ‎ 所以PA⊥平面ABCD. ‎ 从而PA⊥BD. ‎ 连接BM，‎ 因为AD∥BC，BC＝AD，‎ 所以BC∥MD，且BC＝MD. ‎ 所以四边形BCDM是平行四边形. ‎ 所以BM＝CD＝AD，所以BD⊥AB. ‎ 又AB∩AP＝A，所以BD⊥平面PAB. ‎ 又BD⊂平面PBD. ‎ 所以平面PAB⊥平面PBD. ‎